聚焦模型思想發(fā)展核心素養(yǎng)
——對中考壓軸題“胡不歸”模型的思考

廣東省肇慶市高新區(qū)龍湖學(xué)校(526238) 康雯

湖南省郴州市第十九中學(xué)(423000) 馬佳

數(shù)學(xué)模型是指根據(jù)特定的研究目的,采用形式化的數(shù)學(xué)語言,抽象地、概括地表征所研究對象地主要特征、關(guān)系所形成地一種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)[1].滲透模型思想是義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)教育的目標(biāo)要求;建立模型思想對于學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)知發(fā)展具有重要價值作用;“體會和理解數(shù)學(xué)與外部世界的聯(lián)系”是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一個重要方面和模型思想養(yǎng)成的基本策略[2].“胡不歸”問題本身源于物理科學(xué)中光在不同介質(zhì)中地傳播現(xiàn)象,同時也蘊含著深厚的人文背景,既體現(xiàn)了學(xué)科融合,也能在日常教學(xué)當(dāng)中培養(yǎng)學(xué)生的情感態(tài)度價值觀.該問題是進(jìn)行數(shù)學(xué)建模的好素材.模型思想作為數(shù)學(xué)的一種基本思想在中考試題中頻頻得到考查,在初中數(shù)學(xué)課堂中,幫助學(xué)生積累建模經(jīng)驗、形成模型意識、掌握建模方法、形成一定的模型應(yīng)用能力,既有助于學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的提升,也有助于開拓學(xué)生解題思維,提高學(xué)生解題能力,解決中考難題時更加得心應(yīng)手.

1 “胡不歸”問題模型(a+k·b(k ＞0,k /=1))

一個小伙子在A地當(dāng)學(xué)徒,當(dāng)他得悉在家鄉(xiāng)B地的年老父親病危的消息后,便立即請假啟程趕回.如圖1,AC是一條驛道,驛道靠B地一側(cè)全是沙礫地帶.為了急切回家,小伙子選擇了全是沙礫地帶的直線路徑AB,但當(dāng)他氣喘吁吁地來到父親床前,老人剛剛過世.小伙子不覺失聲痛哭.有人告訴小伙子,老人在彌留之際,還在不斷喃喃叨念:“胡不歸?胡不歸?……”并深為憐惜地反問道:“你為何不先坐個馬車,沿驛道走一程再走沙礫地呢?

圖1

在這個傳說中,老人在彌留之際沒有見到兒子著實令人感到遺憾,不禁引人思考,小伙子能用更短的時間到家嗎?由于在驛道和沙礫地的行走速度不一樣,小伙子如果先在驛道上走一程后,再走沙礫地,總用時會更短嗎?如果存在這種可能,在驛道上行走多遠(yuǎn)再走沙礫地才使得行走的時間最短?

解決這個問題的方法有等效法、微元法、極值法等,在物理學(xué)科中,“胡不歸”問題可采用力的平衡原理的力學(xué)方法、光的傳播規(guī)律得出的費馬原理比較法等方法解決;在數(shù)學(xué)學(xué)科中,一般采用等效法,即構(gòu)造一條線段代替原來的kPA+PB(k ＞0,k /=1)中的kPA.使得kPA+PB兩條折線轉(zhuǎn)化為一條直線,求直線的最小值，即求出kPA+PB的最小值，確定p點的位置.

圖2

從情境中可知,驛道上的行駛速度要比沙礫地上的行駛速度快,即V1＞V2,小伙子從A地到B地所需要的時間求趕路花費的最短時間,關(guān)鍵是求出的最小值.由于是常數(shù),可用k代替,即求kPA+PB的最小值.

解題步驟:第一步過點A在直線AC另一側(cè)作直線AM,使得得到一條長度為的替換線段就轉(zhuǎn)換成了求;第二步,根據(jù)“垂線段最短”原理有:過B點作AM的垂線與AC交于點P,以PA為邊的三角形變成直角三角形,有BP+PE的值最小,此時t取得最小值,即先走一段驛道AP,再走一段砂地PB用時最短;第三步,計算求出相關(guān)數(shù)據(jù).

2 原題再現(xiàn)

2.1 ka+b(k ＜1)型

例1在平面直角坐標(biāo)系中,將二次函數(shù)y=ax2(a ＞0)的圖象向右平移1 個單位,再向下平移2 個單位,得到如圖所示的拋物線,該拋物線與x軸交于點A、B(點A在點B的左側(cè)),OA=1,經(jīng)過點A的一次函數(shù)y=kx+b(k /=0)的圖象與y軸正半軸交與點C,且與拋物線的另一個交點為D,ΔABD的面積為5.

圖3

(1)求拋物線和一次函數(shù)的解析式;

(2)拋物線上的動點E在一次函數(shù)的圖象下方,求ΔACE面積的最大值,并求出此時點E的坐標(biāo);

(3)若點P為x軸上任意一點,在(2)的結(jié)論下,求的最小值.

【分析】該題為2019年綿陽市中考第24 題(共25 題),第(3)問中,點A和點E為定點,且PA所在直線的位置不發(fā)生改變,求的最小值,可采用“胡不歸”模型進(jìn)行求解.解題的關(guān)鍵在于過點A構(gòu)造直線把轉(zhuǎn)化為點P到直線l的距離,進(jìn)而利用“直線外一點到直線上點的所有連線中垂線段最短”即可求得的最小值.

(2)E的坐標(biāo)為時,ΔACE的面積取得最大值.

過點A作直線過點P向直線l作垂線,垂足為G,那么.

第二步,探究最小值.

作EH ⊥l于H,那么在RtΔEGH中,EH ＜EG.而在ΔEGP當(dāng)中,EG ＜PE+PG.所以當(dāng)點G與點H重合時,PE+PG取得最小值,最小值是EH.

第三步,計算最小值.

過點E作y軸的平行線交直線l于點M,那么在RtΔEMH中,所以所以的最小值為3.

2.2 ma+nb(m,n ＞0,m/=n)型

例2(19 天津第25 題).已知拋物線y=x2-bx+c(b,c為常數(shù),b ＞0),經(jīng)過點A(-1,0),點M(m,0)是x軸正半軸上的動點.

(1)當(dāng)b=2 時,求拋物線的頂點坐標(biāo);

(2)點D(b,yD)在拋物線上,當(dāng)AM=AD,m=5 時,求b的值;

【解析】(1)拋物線的頂點坐標(biāo)為(1,-4).

圖4

作QH垂直x軸于點H.在RtΔQMH中,∠QMH=所以在等腰RtΔAMG中,所以所以.整理得,解得b=4.

2.3 多線段轉(zhuǎn)化為ma+nb(m,n ＞0,m/=n)型

例3如圖5,菱形ABCD的對角線AC上有一動點P,BC=6,∠ABC=150°,則線段AP+BP+PD的最小值為____.

圖5

【分析】該題求三條線段的和,可用熟悉的“費馬點”模型進(jìn)行求解.在該題中,由于菱形的性質(zhì)可得BP=PD,所以AP+BP+PD=AP+2BP=AP+2PB,此時就轉(zhuǎn)化成了ma+nb(m,n ＞0,m/=n)型的胡不歸問題.

【解析】作射線AE,使得∠PAE=30°,作PF ⊥AE,則當(dāng)B、P、F三點一線時,AP+BP+PD的值最小,過點B作BH ⊥AE,AP+BP+PD=2BH=2·.

3 試題感悟

3.1 溯本清源,激發(fā)建模興趣

由于數(shù)學(xué)建模問題本身具有綜合性、復(fù)雜性等特點,在實際的建模教學(xué)過程中學(xué)生普遍對模型的建立理解不到位.數(shù)學(xué)建模思想能力考查常出現(xiàn)在近幾年的中考當(dāng)中,翻閱歷年中考真題,中考壓軸題中常有與函數(shù)圖像結(jié)合起來進(jìn)行考查的幾何模型.學(xué)生遇到此類題型往往不知從何下手,存在畏難心理,甚至直接放棄該題解答.幾何模型常有深厚的實際生活背景,多來源于實際的工程問題,如“胡不歸”問題可看作是一道時間最優(yōu)化問題.教學(xué)中,要從學(xué)生熟悉的生活情境入手,引導(dǎo)學(xué)生通過建模解決問題,激發(fā)學(xué)生建模的主動性,幫助學(xué)生克服數(shù)學(xué)建模的畏難情緒,樹立建模解題的信心.

3.2 技術(shù)助力,經(jīng)歷建模過程

在數(shù)學(xué)建模過程中,由于數(shù)學(xué)建模問題情境的復(fù)雜性,許多教師在數(shù)學(xué)建模之前先對數(shù)學(xué)建模問題進(jìn)行相關(guān)的假設(shè),甚至直接從問題背景中提取數(shù)學(xué)問題讓學(xué)生進(jìn)行求解.但是實際生活中的問題本就十分復(fù)雜,雖然經(jīng)過教師處理降低了問題的復(fù)雜的程度,體現(xiàn)出問題的本質(zhì);但對學(xué)生而言,學(xué)生沒有建模的體驗,對于抽象的數(shù)學(xué)模型的建立難以理解,應(yīng)用數(shù)學(xué)模型解題就無從談起,應(yīng)該給學(xué)生留有對問題進(jìn)行合理假設(shè)的機會,讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)建模解題的便捷的樂趣.課程標(biāo)準(zhǔn)中明確指出引導(dǎo)學(xué)生對實際問題進(jìn)行合理假設(shè)是數(shù)學(xué)建模的一個重要步驟,因而缺乏讓學(xué)生從實際問題中抽象出數(shù)學(xué)問題的教學(xué)不過就是習(xí)題課的常規(guī)講解.

如何讓學(xué)生在課堂中經(jīng)歷完整的建模過程呢?信息技術(shù)的高速發(fā)展為解決這個問題提供了思路.一、現(xiàn)代化信息技術(shù)融入數(shù)學(xué)建模課堂導(dǎo)入.如在“胡不歸”問題的教學(xué)中,將問題用生動形象的微課進(jìn)行展示,既能有效提高教學(xué)效率,也能使學(xué)生獲得更加生動直觀的體驗,提高數(shù)學(xué)建模的興趣.二、借助動態(tài)數(shù)學(xué)技術(shù)比如幾何畫板來進(jìn)行探究.幾何模型的學(xué)習(xí)離不開良好的直觀想象素養(yǎng),借助動態(tài)軟件改變圖形形狀、大小,拖動點以觀察圖形變化等,給學(xué)生以直觀體驗,發(fā)展直觀想象素養(yǎng).三、借助動態(tài)數(shù)學(xué)技術(shù)直觀驗證結(jié)論.四、利用動態(tài)數(shù)學(xué)技術(shù)助力變式教學(xué),一般化數(shù)學(xué)模型.借助動態(tài)數(shù)學(xué)技術(shù)改變問題的非關(guān)鍵屬性,使學(xué)生從變化中找到不變的規(guī)律.

3.3 檢驗?zāi)Ｐ?變式遷移運用

檢驗并完善數(shù)學(xué)模型是數(shù)學(xué)建模的重要一環(huán).在實際教學(xué)過程中,許多教師和學(xué)生容易忽略檢驗數(shù)學(xué)模型的步驟,對問題缺乏深度思考,難以形成數(shù)學(xué)模型.教師在進(jìn)行數(shù)學(xué)建模教學(xué)前應(yīng)對問題模型形成深度理解,在數(shù)學(xué)建模過程中通過問題引領(lǐng),引導(dǎo)學(xué)生從問題中揭露模型本質(zhì),熟練應(yīng)用模型,發(fā)展核心素養(yǎng).