讓學(xué)生經(jīng)歷真實(shí)的數(shù)學(xué)探究

【摘要】本文以《積的變化規(guī)律》教學(xué)實(shí)踐為例，圍繞探尋積的變化規(guī)律這個問題，提出聚焦真問題、提出真猜想、經(jīng)歷真探究的教學(xué)策略，以讓學(xué)生經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題的探究過程，滲透數(shù)學(xué)思想。

【關(guān)鍵詞】《積的變化規(guī)律》 數(shù)學(xué)思想 教學(xué)實(shí)踐

【中圖分類號】G 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A

【文章編號】0450-9889（2021）13-0080-02

《積的變化規(guī)律》是乘法計算中自然存在的規(guī)律，即當(dāng)一個因數(shù)不變，積與另一個因數(shù)存在正比例的關(guān)系。在教學(xué)中，筆者將教學(xué)目標(biāo)設(shè)定為兩個方面：一是要讓學(xué)生掌握“一個乘數(shù)不變，另一個乘數(shù)乘幾得到的積等于原來的積乘幾”的這一變化規(guī)律，從而理解這一規(guī)律的內(nèi)涵，并能夠運(yùn)用規(guī)律進(jìn)行數(shù)學(xué)計算;二是要讓學(xué)生經(jīng)歷觀察、比較、發(fā)現(xiàn)等數(shù)學(xué)活動，積累探索規(guī)律的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)，培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生直觀、想象、抽象和推理的能力。在這個過程中，教師要給學(xué)生的不是講解和指導(dǎo)，而是信任和引導(dǎo)，讓學(xué)生滿懷信心地開展自主探究。因此，筆者從“真”問題入手，帶領(lǐng)學(xué)生開展“真”探究。

一、聚焦“真”問題

對數(shù)學(xué)教學(xué)而言，要激發(fā)學(xué)生真實(shí)的學(xué)習(xí)需要，教師可側(cè)重于問題導(dǎo)向，創(chuàng)設(shè)不可預(yù)知的情境，打破學(xué)生認(rèn)知上的平衡，從而激發(fā)學(xué)生探究“真問題”的欲望。為此筆者在教學(xué)實(shí)踐中設(shè)置了認(rèn)知障礙，引導(dǎo)學(xué)生聚焦問題的本質(zhì)開展自主探究。

筆者先出示口算題，要求學(xué)生快速口答。

20×3，20×6，20×30，80×3，100×3，37037×24等。前面幾道題學(xué)生的回答都非常順利，但是最后一道算式大家都出現(xiàn)了困難。此時筆者馬上報出答案888888。學(xué)生很好奇，紛紛想要知道筆者是怎么算的。筆者讓學(xué)生猜一猜，并且給大家出示一個“小秘密”——37037×3=111111，讓學(xué)生猜想這兩道算式之間有什么關(guān)聯(lián)。由此順勢揭開探索積的變化規(guī)律的課題。通過這樣的問題設(shè)置，激發(fā)了學(xué)生主動探究的動力。

二、提出“真”猜想

對學(xué)生而言，猜想能力的培養(yǎng)需要經(jīng)歷猜想的過程，逐步深入問題的本質(zhì)。因此，教師要進(jìn)行啟發(fā)和引領(lǐng)，讓學(xué)生通過觀察和比較，發(fā)現(xiàn)知識的共同本質(zhì)，從而接近規(guī)律的內(nèi)核，進(jìn)行有意義的“真”猜想。

筆者先出示算式20×3=60，引導(dǎo)學(xué)生將其和20×6、20×30、80×3、100×3這幾道算式進(jìn)行比較，讓學(xué)生觀察乘數(shù)和積分別會發(fā)生什么改變，說說自己有什么發(fā)現(xiàn)。（如圖1）

生甲發(fā)現(xiàn)：一個乘數(shù)不變，另一個乘數(shù)乘2（乘10），積也乘2（乘10）;一個乘數(shù)不變，另一個乘數(shù)乘4（乘5），積也乘4（乘5）。

生乙也發(fā)現(xiàn)：一個乘數(shù)不變，另一個乘數(shù)乘幾，積也跟著乘幾。

兩名學(xué)生的猜想都得到了大家的認(rèn)可，此時筆者第一次追問：“比一比他們的發(fā)現(xiàn)有什么不同？請說說你的理由。”這個問題激發(fā)了學(xué)生的思維，促使學(xué)生思考。學(xué)生指出，甲同學(xué)通過比較，把幾個數(shù)固定，得出結(jié)論;而乙同學(xué)沒有固定這幾個數(shù)，這幾個數(shù)可以是任意數(shù)，他把甲同學(xué)的2個發(fā)現(xiàn)概括成了一句話，得到了具有普遍性的結(jié)論。學(xué)生還認(rèn)識到，乙同學(xué)把乘數(shù)的范圍擴(kuò)大了，也就是說可以換成別的算式。由此學(xué)生初步概括出“一個乘數(shù)不變，另一個乘數(shù)乘幾積也跟著乘幾”的結(jié)論，為接下來驗(yàn)證猜想提供了資源。

為了讓學(xué)生對猜想的認(rèn)識更加深刻、明確，緊接著，筆者第二次追問：“學(xué)生甲只看了一組例子就大膽猜想所有的乘法算式積的變化都有這樣的規(guī)律。你們同意嗎？”此時學(xué)生陷入了思考：“是否有例外呢？”他們陷入了不確定的思索之中。由此，學(xué)生從原來的確定到不確定，進(jìn)入問題不斷探索中，讓思維不斷延伸，通過對現(xiàn)實(shí)的認(rèn)知，充分暴露學(xué)生似是而非的思維偏差，引導(dǎo)學(xué)生逐步明確自己對數(shù)學(xué)現(xiàn)象的認(rèn)識范圍所存在的誤差，帶領(lǐng)學(xué)生繼續(xù)探究結(jié)論，進(jìn)而不知不覺地進(jìn)入真實(shí)的探究軌道，進(jìn)一步加深學(xué)生對規(guī)律的認(rèn)識。

三、經(jīng)歷“真”探究

學(xué)生通過經(jīng)歷數(shù)學(xué)猜想的過程，為接下來驗(yàn)證猜想打好了基礎(chǔ)。筆者追問：“要想發(fā)現(xiàn)乘法算式積的變化規(guī)律是否正確，你應(yīng)該怎么辦呢？”這樣把驗(yàn)證猜想的主動權(quán)還給學(xué)生。

學(xué)生甲認(rèn)為要繼續(xù)舉例驗(yàn)證，學(xué)生乙認(rèn)為可以結(jié)合乘法算式的意義畫圖驗(yàn)證。筆者提示學(xué)生可以舉例，也可以結(jié)合乘法算式的意義畫出示意圖。學(xué)生獨(dú)立驗(yàn)證，把2×5=10作為原來的算式，一個乘數(shù)5不變，另一個乘數(shù)2乘2得到4，積就等于原來的積乘2;一個乘數(shù)不變，另一個乘數(shù)2乘3得到6，積就等于原來的積乘3。學(xué)生覺得舉2個例子還不夠，繼續(xù)往下舉例，但這樣的例子舉不完，就用省略號表示。經(jīng)過畫圖和舉例驗(yàn)證，學(xué)生發(fā)現(xiàn)，“一個乘數(shù)不變，另一個乘數(shù)乘幾積也乘幾”是正確的。（如圖2）

此外，還有一名學(xué)生把7×30=210作為原來的算式，第1個乘數(shù)不變，第2個乘數(shù)×2得到的積是原來的積乘2，第2個乘數(shù)×3，得到的積是原來的積乘3，以此類推，學(xué)生繼續(xù)列舉，例子越來越多，最后用省略號表示。通過畫圖和舉例驗(yàn)證，學(xué)生發(fā)現(xiàn)“一個乘數(shù)不變，另一個乘數(shù)乘幾，積也乘幾”是正確的結(jié)論。（如圖3）

此時筆者再次引導(dǎo)學(xué)生思考：“為什么要舉兩組不同的算式？你從中發(fā)現(xiàn)了什么？”學(xué)生認(rèn)為，多舉幾個例子看是不是符合這個結(jié)論，通過舉例驗(yàn)證這個規(guī)律是正確的。有學(xué)生提出，要用乘法的意義畫圖質(zhì)疑這個規(guī)律。學(xué)生通過舉例和圖示給出質(zhì)疑：2×5=10表示每行5人有2行，一共是10個人。每行人數(shù)不變，行數(shù)乘2，總?cè)藬?shù)就有2個10;行數(shù)乘4，總?cè)藬?shù)就有4個10;行數(shù)乘6，總?cè)藬?shù)就有6個10;行數(shù)乘8，總?cè)藬?shù)就有8個10，等等。由此，學(xué)生得出規(guī)律：“一個乘數(shù)不變，另一個乘數(shù)乘幾，原來的積就乘幾?！保ㄈ鐖D4）

以上環(huán)節(jié)，教師因勢利導(dǎo)，放手讓學(xué)生驗(yàn)證猜想，學(xué)生從單純的同一認(rèn)知層面的舉例，經(jīng)過交流、質(zhì)疑、爭辯，表述驗(yàn)證的過程，逐步發(fā)現(xiàn)了驗(yàn)證的必要性。通過驗(yàn)證規(guī)律的過程，學(xué)生也在不斷地確認(rèn)規(guī)律。通過這樣深層交流“真”驗(yàn)證的過程，經(jīng)歷“真”探究，學(xué)生不斷獲得豐富的體驗(yàn)，對積的變化規(guī)律有了深刻的認(rèn)識。

總之，對抽象的數(shù)學(xué)規(guī)律而言，教師要充分利用幾何直觀的特點(diǎn)，將其簡單化、具體化。在本課教學(xué)中，筆者帶領(lǐng)學(xué)生從舉具體的實(shí)例驗(yàn)證到借助幾何直觀進(jìn)行多元表述，這是一個真實(shí)探究的過程，這個過程聚焦學(xué)生的真實(shí)學(xué)情，關(guān)注學(xué)生的真實(shí)回應(yīng)，從而有效地推動學(xué)生的“真”探究，實(shí)現(xiàn)“真”學(xué)習(xí)。

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【作者簡介】陳紅（1977— ），女，廣西玉林人，大學(xué)本科學(xué)歷，一級教師，研究方向?yàn)樾W(xué)數(shù)學(xué)教育。

（責(zé)編 黃健清）