重視數(shù)學(xué)概念的意義建構(gòu)
——以“平均變化率”教學(xué)為例

王思儉

目前，不少教師將數(shù)學(xué)概念課上成了平鋪直敘的學(xué)生自學(xué)課，還有的教師將其上成了著眼于培養(yǎng)解題能力的技能訓(xùn)練課。對(duì)如何在概念課上有效地落實(shí)立德樹人的根本任務(wù)，如何運(yùn)用數(shù)學(xué)活動(dòng)更好地培養(yǎng)人，如何充分挖掘數(shù)學(xué)對(duì)象背后的數(shù)學(xué)思維價(jià)值，如何實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)的科學(xué)與人文價(jià)值，缺乏深入研究和思考。數(shù)學(xué)概念教學(xué)一般包括概念的引入、內(nèi)涵與外延的明確、概念的應(yīng)用等環(huán)節(jié)。教學(xué)過程不只是讓學(xué)生接受、記憶、模仿和練習(xí)，更主要的是要讓學(xué)生自主探究，構(gòu)建出自己的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，使數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成為發(fā)展智力、提升科學(xué)思維和人文思維的過程，在此過程中少不了教師對(duì)問題驅(qū)動(dòng)的運(yùn)用。因此，把握數(shù)學(xué)概念課的核心，提高教學(xué)效率，是擺在廣大數(shù)學(xué)教師面前的一個(gè)不容回避的課題，也是亟待解決的問題。筆者以“平均變化率”一課教學(xué)為例試作說明。

一、學(xué)情分析

本節(jié)課的授課對(duì)象是江蘇省蘇州中學(xué)高二（2）班的學(xué)生，該班數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)成績(jī)?cè)谀昙?jí)第三四名徘徊，學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情很高，解決問題的思路較多，思維較為活躍，但容易忽視對(duì)基礎(chǔ)題的訓(xùn)練，不夠重視對(duì)教材的研讀。

二、教學(xué)設(shè)計(jì)理念

1.設(shè)計(jì)理念。

問題是數(shù)學(xué)思想的源泉，是數(shù)學(xué)思維的動(dòng)力。在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，沒有問題就沒有學(xué)生的思維活動(dòng)，有了問題，學(xué)生的好奇心才能被激發(fā)，思維才能被啟動(dòng)。因此，沒有問題驅(qū)動(dòng)的教學(xué)必定是大量的機(jī)械重復(fù)訓(xùn)練。數(shù)學(xué)就是在問題的不斷提出與解決中發(fā)展的，數(shù)學(xué)的一切概念、公式、定理，都是因解決問題的需要而產(chǎn)生的。學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力也是由于問題解決得以提升。

教學(xué)設(shè)計(jì)的流程圖如圖1 所示，該流程是一個(gè)強(qiáng)調(diào)問題驅(qū)動(dòng)的探究式學(xué)習(xí)過程。

圖1 教學(xué)流程圖

2.教學(xué)目標(biāo)。

（1）能從生活實(shí)踐中理解并掌握平均變化率的定義，培養(yǎng)學(xué)生會(huì)用數(shù)學(xué)眼光去觀察事件，會(huì)發(fā)現(xiàn)問題，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象、數(shù)據(jù)分析等素養(yǎng)。

（2）滲透數(shù)學(xué)思想方法，增強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)思維去分析事件、分析問題并解決問題的能力，強(qiáng)化數(shù)學(xué)研討交流的意識(shí)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)素養(yǎng)。

（3）經(jīng)歷代數(shù)、幾何視角探究平均變化率的主要過程，讓學(xué)生體驗(yàn)其中的數(shù)學(xué)思想，讓學(xué)生會(huì)用數(shù)學(xué)語言去表述事件，培養(yǎng)學(xué)生直觀想象、邏輯推理素養(yǎng)。

三、教學(xué)過程

1.概念引入。

利用上課前的幾分鐘，回放校運(yùn)動(dòng)會(huì)100米決賽的視頻。

教師：同學(xué)們，你們還記得在校秋季田徑運(yùn)動(dòng)會(huì)上，在100 米的決賽中，我們班誰的名次最好？成績(jī)是多少？

生：是孫同學(xué)，成績(jī)是12秒9。

師：好成績(jī)！有沒有50米的項(xiàng)目？

生：沒有。

教師（出示PPT）：請(qǐng)看問題1（1）。在某次校運(yùn)動(dòng)會(huì)，甲同學(xué)100 米的成績(jī)是13.9 秒，乙同學(xué)50米的成績(jī)是7.9秒，你認(rèn)為誰的成績(jī)好?

【設(shè)計(jì)意圖】引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)眼光觀察事件，為平均變化率鋪墊。

生：不在同一個(gè)項(xiàng)目組，不具有可比性。

師：不比較他們的名次，還可以用什么來衡量他們的成績(jī)？

生2：也可以用每米所用的時(shí)間來比較成績(jī)，結(jié)果也是甲的成績(jī)好。

師：很好?，F(xiàn)在看問題1（2）。在經(jīng)營某商品時(shí)，甲掙到10 萬元，乙掙到2 萬元，如何比較和評(píng)價(jià)甲、乙兩人的經(jīng)營成果？

生3：他們用的時(shí)間沒有給出，因此無法比較。

師：那現(xiàn)在補(bǔ)充條件——在經(jīng)營某商品中，甲用5 年時(shí)間掙到10 萬元，乙用5 個(gè)月時(shí)間掙到2 萬元，如何比較和評(píng)價(jià)甲、乙兩人的經(jīng)營成果？

【設(shè)計(jì)意圖】鼓勵(lì)學(xué)生用已有的數(shù)學(xué)知識(shí)解決生活中的問題，再一次為平均變化率的概念做鋪墊。

師：現(xiàn)在看問題2。已知德國心理學(xué)家艾賓浩斯關(guān)于記憶保持量的研究數(shù)據(jù)（見表1）和艾賓浩斯的遺忘曲線（見圖2），你們從圖上看到什么現(xiàn)象？能否用數(shù)學(xué)語言表述？

表1 記憶保持量數(shù)據(jù)

圖2 艾賓浩斯遺忘曲線

【設(shè)計(jì)意圖】此為數(shù)學(xué)在其他學(xué)科中的應(yīng)用，通過學(xué)生常經(jīng)歷的“遺忘”體驗(yàn)，既激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)熱情，又引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)到“溫故知新”的重要性，同時(shí)讓學(xué)生思考怎樣刻畫遺忘的快慢程度。

生：曲線剛開始時(shí)非常陡峭，后來越來越平緩。

師：你們用“陡峭”“平緩”來描述曲線的變化，通俗易懂。能否用數(shù)學(xué)語言來描述呢？

生4：圖像上兩點(diǎn)連線斜率率由大變小。

生5：應(yīng)該是斜率的絕對(duì)值由大變小。

師：正確！圖像上任意兩點(diǎn)的連線的傾斜程度都可以用斜率來刻畫，斜率的絕對(duì)值越大說明遺忘的速度越快，而此時(shí)圖像由“陡峭”變得越來越“平緩”，根據(jù)斜率計(jì)算也可以看出這一現(xiàn)象。那現(xiàn)在來看看問題3?，F(xiàn)有蘇州市2017 年3 月的某天和4 月的某兩天日最高氣溫記載（見表2，對(duì)應(yīng)的氣溫曲線圖略）你們感覺哪個(gè)時(shí)段的天氣較熱？能說明理由嗎？

表2 氣溫?cái)?shù)據(jù)

【設(shè)計(jì)意圖】用生活中的數(shù)學(xué)問題導(dǎo)入，可以讓學(xué)生在熟悉的情境中逐步體會(huì)新知。通過兩個(gè)階段的溫差的提問，讓學(xué)生進(jìn)一步認(rèn)識(shí)圖象變化的“陡峭”和“平緩”。

2.概括內(nèi)涵。

教師：如果將氣溫曲線抽象為函數(shù)y=f（x）的圖象（函數(shù)定義域拓展為［0，100］，見圖3），任取x1，x2∈［0，100］，你能寫出函數(shù)y=f（x）在區(qū)間［x1，x2］上平均變化率的計(jì)算式嗎？如何刻畫變量f（x）在區(qū)間［x1，x2］上隨x變化的“快”與“慢”？

（圖3）

【設(shè)計(jì)意圖】利用溫度變化曲線教會(huì)學(xué)生研究問題。學(xué)生自行觀察圖象的變化趨勢(shì)與時(shí)間的關(guān)系，更能直觀看出圖象的變化快慢，為瞬時(shí)速度和導(dǎo)數(shù)的知識(shí)提前作鋪墊。

生6：直線的斜率是刻畫直線的傾斜程度，所以利用它來刻畫較合適。例如，溫度曲線中從A→B 變化速度較慢而從B→D 變化速度較快，斜率越大f（x）的變化速度越快，斜率越小f（x）的變化速度越慢。

生7：不正確！因?yàn)?，直線的斜率也有負(fù)值，例如遺忘曲線，第一天的遞減速度較快，但對(duì)應(yīng)的斜率為負(fù)值，較小，應(yīng)該是直線的斜率絕對(duì)值越大，f（x）的變化速度越快。

師：對(duì)的。你們能給出函數(shù)f（x）在區(qū)間［x1，x2］上的平均變化率的定義嗎？它的幾何意義是什么？

【設(shè)計(jì)意圖】從圖形語言過渡到數(shù)學(xué)語言、符號(hào)語言。

學(xué)生回答后教師總結(jié)：平均變化率是近似的代數(shù)表示形式，即曲線陡峭程度的“數(shù)量化”；而曲線陡峭程度是幾何圖形的直觀體現(xiàn)，即平均變化率的“視覺化”。這與利用割線斜率絕對(duì)值的大小近似刻畫函數(shù)圖象的變化陡峭程度完全吻合，這是數(shù)形結(jié)合思想的體現(xiàn)。

3.數(shù)學(xué)應(yīng)用。

師：學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的目的，就是利用它解決生活實(shí)踐中的實(shí)際問題，現(xiàn)在請(qǐng)看實(shí)例。

例1 中華人民共和國人口普查登記的結(jié)果公布如下：

年份人口總數(shù)（萬）1953年1964年1982年1990年2000年60193 72307 103188 116002 129533

（1）1982 年到1990 年，1990 年到2000 年，平均每年增加多少人？（2）1982 年到1990 年，1990 年到2000 年，人口的平均變化率是多少?（3）從前兩題結(jié)果來看，你能得到什么結(jié)論？

例2 已知函數(shù)f（x）=x2，分別計(jì)算f（x）在下列區(qū)間上的平均變化率：（1）［1，3］；（2）［1，2］；（3）［1，1.1］；（4）［1，1.01］；（5）［1，1.001］，比較大小，并作出圖象。

生8：對(duì)于例2，當(dāng)x從大于1 的方向無限趨近于1 時(shí)，平均變化率就無限趨近于2。當(dāng)x從小于1的方向無限趨近于1時(shí)，平均變化率仍然無限趨近于2。這是什么原因？

師：趨近于2，不是等于2，這說明平均變化率的極限狀態(tài)是2。

生9：是不是可以說明在x=1 時(shí)，平均變化率就是2呢？

師：平均變化率是閉區(qū)間上的問題，而在x=1處，是指無限接近于1的一瞬間所發(fā)生的現(xiàn)象。

生10：所以可以叫作瞬時(shí)變化率，本題對(duì)于任意的a值都可以求出當(dāng)x→a時(shí)的變化率為2a。

【設(shè)計(jì)意圖】例1 旨在讓學(xué)生厘清有關(guān)概念，引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注我國的人口變化趨勢(shì)，凸顯數(shù)學(xué)學(xué)科育人的教育功能。例2 原本的目的是喚醒學(xué)生的記憶，用平均變化率的幾何意義為以后學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)作鋪墊。但教學(xué)中學(xué)生的表現(xiàn)超乎預(yù)期，提到了瞬時(shí)變化率，這也就為后續(xù)的導(dǎo)數(shù)學(xué)習(xí)做了鋪墊。

四、教學(xué)啟示

1.以良好的課堂情境促進(jìn)學(xué)生的主動(dòng)交流。

建構(gòu)主義認(rèn)為，情境是知識(shí)賴以產(chǎn)生的背景，是認(rèn)識(shí)活動(dòng)的來源，良好的課堂情境能夠促進(jìn)學(xué)生主動(dòng)、高效的學(xué)術(shù)交流、研討。數(shù)學(xué)課堂情境的作用就在于激發(fā)學(xué)生的求知欲望、引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)參與、積極探究和意義建構(gòu)，培養(yǎng)學(xué)生的問題意識(shí)、應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)。本課的情景創(chuàng)設(shè)從實(shí)際出發(fā)，都是學(xué)生所熟知的，例如運(yùn)動(dòng)會(huì)百米決賽成績(jī)、艾賓浩斯的遺忘曲線等。學(xué)生帶著期待和已有經(jīng)驗(yàn)，很快進(jìn)入了探究活動(dòng)，經(jīng)過師生對(duì)話、生生交流和相互協(xié)作，學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)平均變化率的幾何意義。學(xué)生能感受數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)生、發(fā)展的過程，體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)的作用，感受數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)世界和生活的關(guān)系。例如問題1（2）是經(jīng)濟(jì)類型問題，需要學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行估算、預(yù)測(cè)；問題3 中的“溫度曲線”考察學(xué)生的直觀想象能力，這些問題情境的創(chuàng)設(shè)都收到了良好效果。

2.以完整的教學(xué)引導(dǎo)促進(jìn)概念的意義建構(gòu)。

概念是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，每個(gè)概念都包含關(guān)鍵詞和這些關(guān)鍵詞之間的關(guān)系。因此概念的學(xué)習(xí)是一個(gè)包含關(guān)鍵詞識(shí)別、關(guān)系連接等認(rèn)知的建構(gòu)過程。概念學(xué)習(xí)的意義建構(gòu)就是把概念中的關(guān)鍵詞和連接關(guān)系等各種要素建立新的聯(lián)系，獲得新的、本質(zhì)的數(shù)學(xué)關(guān)系和數(shù)學(xué)運(yùn)算的認(rèn)識(shí)。如本節(jié)課的平均變化率，首先要讓學(xué)生厘清平均變化率和平均數(shù)的區(qū)別與聯(lián)系，其次要讓學(xué)生知曉閉區(qū)間上函數(shù)的平均變化率如何進(jìn)行數(shù)學(xué)運(yùn)算，最后引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)平均變化率的幾何意義與代數(shù)意義，即“視覺化”與“數(shù)量化”，體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想與直觀想象能力。如果相關(guān)概念不辨析，關(guān)鍵詞的順序和關(guān)系不明確，數(shù)學(xué)運(yùn)算和目的不清楚，那么概念教學(xué)的意義建構(gòu)就會(huì)不準(zhǔn)確，學(xué)生對(duì)此概念就模糊不清，教學(xué)效果就大大降低。所以，在概念教學(xué)中，不僅要抓住概念的關(guān)鍵詞和本質(zhì)特征，還要抓住概念理解的全部關(guān)鍵點(diǎn)，放手讓學(xué)生舉例說明，通過全面的教學(xué)引導(dǎo)，使學(xué)生獲得完整的知識(shí)意義和應(yīng)用技能。

3.以靈活的教學(xué)預(yù)設(shè)促進(jìn)學(xué)生的課堂生成。

探究學(xué)習(xí)具有自主性、過程性、實(shí)踐性、開放性等基本特征，因而探究性教學(xué)更加重視學(xué)生的主體地位。教學(xué)的重心不是教師的“教”，而是學(xué)生的“學(xué)”，教師的首要任務(wù)是教學(xué)生“為什么學(xué)”“學(xué)什么”“怎么學(xué)”。在課堂情境下，學(xué)生通過討論、質(zhì)疑、交流、辯論、反思、探究等認(rèn)識(shí)和實(shí)踐活動(dòng)，會(huì)產(chǎn)生許多非預(yù)設(shè)的問題，探究的方向、方式、進(jìn)程等過程性思維也會(huì)與教師的預(yù)想大相徑庭。如本課中的例2，放手讓學(xué)生自主完成并討論，學(xué)生發(fā)現(xiàn)當(dāng)x→1（從右邊）時(shí)，平均變化率無限趨近于2，但學(xué)生又提出當(dāng)自變量x從左邊無限趨近于1時(shí)，平均變化率也無限趨近于2，此時(shí)學(xué)生開始疑惑“為什么會(huì)有一樣的結(jié)果”。這時(shí)教師不能避而不答，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生討論，并強(qiáng)調(diào)“趨近于不是等于，這兩個(gè)概念的含義不同”，緊接著學(xué)生提出“極限思想”，并且指出“割線無限趨近切線，而且切線的斜率為2”等。這些生成完全超出了課前的預(yù)設(shè)，這就需要教師靈活處理教學(xué)生成與預(yù)設(shè)的關(guān)系，充分關(guān)注學(xué)生課堂生成的特點(diǎn)，給學(xué)生的探究保留足夠的時(shí)間，保證個(gè)體知識(shí)的自主構(gòu)建和逐步完善。

4.以真實(shí)的數(shù)學(xué)文化促進(jìn)學(xué)生的素養(yǎng)達(dá)成。

數(shù)學(xué)課堂教學(xué)不能止步于傳授知識(shí)、學(xué)習(xí)解題，還要通過問題的解決，培育學(xué)生科學(xué)精神和創(chuàng)新意識(shí)，落實(shí)立德樹人根本任務(wù)，促進(jìn)學(xué)生在不同學(xué)習(xí)階段的數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)水平的達(dá)成。如例1 的人口年平均變化率問題，學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決人口增長(zhǎng)率的變化情況，發(fā)現(xiàn)問題——即將老齡化，提出對(duì)策——二胎政策，并指出國家放寬二胎政策的正確性。通過激烈的“個(gè)愛與大愛、小家與國家”的辯論，使學(xué)生的家國情懷得到提升，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)學(xué)科的育人功能。

我們還應(yīng)該為學(xué)生營造一片充分展現(xiàn)數(shù)學(xué)文化價(jià)值的時(shí)空，引導(dǎo)他們?nèi)ヌ剿鲾?shù)學(xué)知識(shí)的淵源，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)，進(jìn)而體會(huì)數(shù)學(xué)的價(jià)值。如例2 求平均變化率和動(dòng)態(tài)演示，學(xué)生沒有停留在具體的數(shù)字計(jì)算，而是推導(dǎo)一般情況，感悟極限的思想。