多孔介質(zhì)中的Brinkman-Forchheimer模型的解的連續(xù)依賴性

石金誠,李遠(yuǎn)飛

(廣州華商學(xué)院,數(shù)據(jù)科學(xué)學(xué)院,廣東廣州 511300)

§1 引言

近年來,許多學(xué)者對偏微分方程解的連續(xù)依賴性問題進(jìn)行了廣泛的研究.這意味著人們越來越重視這種由模型本身系數(shù)的變化而引起解的變化,這就是偏微分方程的結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性研究.通過這種結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性的研究,可以幫助了解模型在物理中的適用性.這種結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性的研究是非常有必要的,因?yàn)樵趯?shí)際的建模過程中,數(shù)據(jù)的測量和計(jì)算都會(huì)不可避免的產(chǎn)生誤差,必須知道一個(gè)微小的誤差能否引起解的急劇變化.[1]

多孔介質(zhì)在生活中是廣泛存在的,多孔介質(zhì)中流體方程組的解的性態(tài)研究已經(jīng)成為數(shù)學(xué)與力學(xué)領(lǐng)域的熱點(diǎn)問題.目前已有的研究主要是集中在Brinkman,Darcy和Forchheimer方程組的模型上.在Nield和Beijan[2]與Straughan[3]的書中廣泛地討論了多孔介質(zhì)中的這些模型.參考文獻(xiàn)中有一些論文討論了Brinkman,Darcy,Forchheimer和其他多孔介質(zhì)方程的Saint-Venant原則,但主要是研究多孔介質(zhì)中的流體方程組的空間衰減估計(jì)結(jié)果(見[4]).關(guān)于多孔介質(zhì)中的流體方程組的結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性的研究已經(jīng)由Franchi 和Straughan[5],Payne和Straughan[6],Lin和Payne[7]等人進(jìn)行.近年來,文獻(xiàn)[8-21]取得了一些新的結(jié)果.當(dāng)流速過大時(shí),Darcy定律不成立時(shí),此時(shí)Brinkman模型被認(rèn)為是準(zhǔn)確的,此時(shí)如果用Forchheimer的逼近,就能得到如下Brinkman-Forchheimer方程組[3]:

其中ui,p,T,C分別表示為速度,壓強(qiáng),溫度和鹽濃度.gi(x)和hi(x)為重力函數(shù),Δ為拉普拉斯算子.σ是Soret系數(shù),此外v和b分別是Brinkman系數(shù)和Forchheimer系數(shù).在方程組(1)中v,b,σ,k1,k2都是大于零的常數(shù).一般來說,熱擴(kuò)散系數(shù)k1和鹽擴(kuò)散系數(shù)k2相差很大,這就產(chǎn)生了有趣的效果,因此,假設(shè)k1/=k2.

方程組(1)在Ω×[0,τ]區(qū)域內(nèi)成立,其中Ω是R3中的一個(gè)有界單連通的星形區(qū)域,τ是給定的常數(shù)且0≤τ ＜∞.邊界條件為

此外,初值條件為

本文主要研究方程組(1)的解對Brinkman系數(shù)v的連續(xù)依賴性.相比已有文獻(xiàn),由于鹽濃度C的方程中含有σΔT項(xiàng),導(dǎo)致以往的方法得不到鹽濃度C的最大值以及一些其他的估計(jì).本文通過引入一個(gè)新變換,得到了較好的結(jié)果.

文中采取以下符號(hào)約定,用逗號(hào)表示求偏導(dǎo),用,i表示對xi求偏導(dǎo),如:u,i表示為,重復(fù)指標(biāo)表示求和,表示Lp范數(shù).

§2 溫度T和鹽濃度C的先驗(yàn)界

本節(jié)將會(huì)得到一些溫度T和鹽濃度C的先驗(yàn)估計(jì).

引理2.1溫度T和鹽濃度C滿足以下最大值估計(jì).

證在[22]中，Payne,Rodrigues和Straughan得出了下面的結(jié)果

接下來,需要得到C的一個(gè)界.現(xiàn)在定義一個(gè)新函數(shù)

則方程(1)4可以變形為

由(7)式可知

則方程組(1)可重新寫為

函數(shù)N滿足的邊界條件為

滿足的初值條件為

由于N滿足與T相同的方程,所以有

因此,C滿足下面的最大值估計(jì)

引理2.2溫度T和鹽濃度C的范數(shù)滿足以下估計(jì).

其中n1,n2均是大于零的常數(shù),(t),m1(t)均是大于零的函數(shù).

證文獻(xiàn)[16]中(3.47)式在本文中依然有效,取ε6=2,可得

按照同樣的步驟,也可以得到

根據(jù)N(x,t)的定義,可得

將(18)式和(19)式代入(20)式,可得

§3 Brinkman系數(shù)v的連續(xù)依賴性結(jié)果

本節(jié)建立解對Brinkman系數(shù)v的連續(xù)依賴關(guān)系.設(shè)(ui,p,T,C)為下列邊界初值問題的解

其中邊界條件與初值條件為

其中邊界條件與初值條件為

假設(shè)ωi=ui-,θ=T -T*,S=C-C*,π=p-p*,則(ωi,θ,S,π)滿足下列方程組

邊界條件為

此外,初值條件為

引理3.1對于速度ui,有以下估計(jì).

其中K1(t)是大于零的函數(shù).

證由方程(22)1,可得

聯(lián)合(32)式,(16)式和(17)式,可得

則(33)式可寫為

由(34)式可知

其中α=+1+g2+h2.對(35)式兩邊同時(shí)在[0,t]上積分,可得

假設(shè)p(x,0)=q(x),由方程(1)1,可得

因此有

引理3.2對于速度ui,有以下估計(jì)：

其中K2(t)是大于零的函數(shù).

證有下面的式子成立.

在方程(22)1兩邊同時(shí)乘以ui,并且在Ω上積分,可得

其中|Ω|為Ω的體積.

接下來將給出||?u||2的界.在方程(22)1兩邊同時(shí)乘以ui,并且在Ω上積分,可得

聯(lián)合(42)式和(38)式,可得

主要結(jié)果如下.

定理1設(shè)(ui,T,C,p)為初邊值問題(22)式-(24)式的經(jīng)典解,為初邊值問題(25)式-(27)式的經(jīng)典解,(ωi,θ,S,π)是這兩個(gè)解的差.當(dāng)Brinkman系數(shù)v1趨于v2時(shí),解(ui,T,C,p)收斂于解.解的差(ωi,θ,S,π)滿足

證將方程(28)1乘以ωi,并在Ω上積分,同時(shí)利用(40)式,可得

將方程(28)3乘以θ,并在Ω上積分,可得

其中ε1是任意大于零的常數(shù).

將方程(28)4乘以S,并在Ω上積分,可得

不等式(49)表明了在指定測度下當(dāng)Brinkman系數(shù)v1趨于v2時(shí),ui收斂到,T收斂到T*,C收斂到C*.

§4 結(jié)論

本文研究了在R3中有界區(qū)域上Brinkman-Forchheimer方程組的解對Brinkman系數(shù)v的連續(xù)依賴性,采用文中的方法,同樣可以得到解對其他系數(shù)連續(xù)依賴性結(jié)果.后續(xù)將嘗試研究在無界區(qū)域上的Brinkman-Forchheimer方程組的結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性,由于此時(shí)鹽濃度和溫度的估計(jì)很難得到,故需要全新的方法來解決這個(gè)問題,因此研究方程組在無界區(qū)域的結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性是有意義的.