雙hypergenic函數(shù)向量的帶Haseman位移帶共軛的邊值問題

劉利霞,杜曉靜,謝永紅

(河北師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,河北石家莊 050024)

§1 引言

Clifford代數(shù)是Clifford[1]在1878年建立的可結(jié)合但不可交換的代數(shù),它在物理上有很重要的應(yīng)用[2].1982年,Brackx[3]等建立了Clifford分析的理論基礎(chǔ).近年來Clifford分析發(fā)展迅速,Eriksson[4-6],黃沙[7-9],任廣斌[10-11],喬玉英[12],謝永紅[13-18]和楊賀菊[19-21]等在Clifford分析中做了大量的工作.

1996年,黃沙[8]研究解決了Clifford分析中雙正則函數(shù)的非線性邊值問題.1998年,黃沙等[9]研究了Clifford分析中多個未知函數(shù)向量的非線性邊值問題.2001年,謝永紅,黃沙和喬玉英[18]研究了廣義雙正則函數(shù)的帶共軛值帶位移的邊值問題.2005年,喬玉英[12]研究了超正則函數(shù)的邊值問題.2009年,Eriksson和Orelma[4]給出了實Clifford代數(shù)Cln+1,0(R)中hypergenic函數(shù)的Cauchy積分公式.2014年,謝永紅[13-14]研究了對偶的k-hypergenic函數(shù)的Cauchy積分公式以及hypergenic擬Cauchy型積分的邊界性質(zhì),給出了Plemelj公式與Privalov定理.2017年,李沖[22]等研究了hypergenic函數(shù)的邊值問題.2018年,張貴玲[23]等研究了hypergenic函數(shù)向量的邊值問題.2019年,陳雪[24-25]等研究了雙hypergenic函數(shù)的Cauchy積分公式及其相關(guān)理論.

本文在以上基礎(chǔ)上研究雙hypergenic函數(shù)向量的帶Haseman位移帶共軛的邊值問題解的存在性和線性邊值問題解的存在唯一性，并給出解的積分表達(dá)式,推廣了文獻(xiàn)[22-25]的一些結(jié)果.

§2 預(yù)備知識

見文獻(xiàn)[4],設(shè)Cln+1,0(R)是實Clifford代數(shù),其中n為自然數(shù),單位元是e?=1,其基元素是e0,e1,……,en;e0e1,……,en-1en;……·;e0e1……·en,且

定義2.1[5]對于任意的a,b ∈Cln+1,0(R),定義兩種運(yùn)算:

且定義兩種映射:

在本文中設(shè)Ω=Ω1×Ω2為歐氏空間(1≤m ≤n,1≤k ≤n)中的一個連通開集,且Ωi的邊界?Ωi(i=1,2)均為光滑,緊致,可定向的Liapunov曲面.

對于任意的?x ∈Rm+1,y ∈Rk+1,稱F(x,y)=(f1(x,y),f2(x,y),……,fp(x,y)),G(x,y)=(g1(x,y),g2(x,y),……,gp(x,y))(其中fi(x,y),gi(x,y)∈Cr(Ω,Clm+k+2,0(R)),i=1,2,……,p,r ≥1)是定義在Ω上的函數(shù)向量,現(xiàn)定義函數(shù)向量的加法和乘法如下:

若函數(shù)l(x,y)∈Clm+k+2,0(R),則定義

定義2.2[23]設(shè)函數(shù)向量F(x,y)=(f1(x,y),f2(x,y),……,fp(x,y)).對于固定i(i=1,2,……,p),若存在一個正常數(shù)M,使得對任意的(x1,y1),(x2,y2)∈?Ω1×?Ω2,有|fi(x1,y1)-fi(x2,y2)|≤M|(x1,y1)-(x2,y2)|β,其中0＜ β ＜1,則稱函數(shù)fi在?Ω1× ?Ω2上是H¨older連續(xù)的.現(xiàn)用H(?Ω1×?Ω2,β,Clm+k+2,0(R))代表定義在?Ω1×?Ω2上,取值在Clm+k+2,0(R)中的H¨older連續(xù)函數(shù)的全體.函數(shù)向量F(x,y)在?Ω1×?Ω2上H¨older連續(xù)指它的每個分量fi(i=1,2,……,p)在?Ω1×?Ω2上是H¨older連續(xù)的.現(xiàn)用Hp(?Ω1×?Ω2,β,Clm+k+2,0(R))代表定義在?Ω1×?Ω2上,取值在Clm+k+2,0(R)中的H¨older連續(xù)函數(shù)向量的全體.

對于任意的函數(shù)向量F(x,y)∈Hp(?Ω1×?Ω2,β,Clm+k+2,0(R)),定義其范數(shù)為

易知Hp(?Ω1×?Ω2,β,Clm+k+2,0(R))是一個Banach空間,且對于任意的函數(shù)向量F,G ∈Hp(?Ω1×?Ω2,β,Clm+k+2,0(R)),有

定義2.3設(shè)函數(shù)向量F(x,y)=(f1(x,y),f2(x,y),……,fp(x,y)),其中fi(x,y)∈Cr(Ω,Clm+k+2,0(R)),i=1,2,……,p,r ≥1,若fi(x,y)(i=1,2,……,p)滿足:

則稱F(x,y)在Ω上關(guān)于x是左(m-1)-hypergenic函數(shù)向量,且關(guān)于y是右(k-1)-hypergenic函數(shù)向量;或稱F(x,y)在Ω上是雙hypergenic函數(shù)向量.

引理2.1[25](雙hypergenic函數(shù)的Cauchy積分公式) 設(shè)區(qū)域,且Ω1,Ω2分別是中的m+1,k+1維鏈,.若φ(x,y)是U1×U2上的雙hypergenic函數(shù),則對任意的(x,y)∈Ω1×Ω2,有

定義2.4若函數(shù)向量Φ(x,y)=(φ1(x,y),φ2(x,y),……,φp(x,y))∈Hp(?Ω1×?Ω2,β,Clm+k+2,0(R)),,則稱

為雙hypergenic擬Cauchy型積分向量,其中

定義2.5若函數(shù)向量Φ(t1,t2)=(φ1(t1,t2),φ2(t1,t2),……,φp(t1,t2))∈Hp(?Ω1×?Ω2,β,Clm+k+2,0(R)),(t1,t2)∈?Ω1×?Ω2,i=1,2,……,p,若

引理2.4[25](雙hypergenic函數(shù)的Plemelj公式) 若函數(shù)φ ∈H(?Ω1×?Ω2,β,Clm+k+2,0(R)),

推論2.4(雙hypergenic函數(shù)向量的Plemelj公式) 若函數(shù)向量

定義2.6[18]若d(t1,t2)=(d1(t1),d2(t2)),di為?Ωi →?Ωi(i=1,2)上的同胚映射,則稱d(t1,t2)為?Ω1×?Ω2上的Haseman位移.

其中J2是一個與Φ無關(guān)的正常數(shù).

由引理2.5和推論2.6知下面的推論成立.

其中J3是一個與Φ無關(guān)的正常數(shù).

§3 雙hypergenic函數(shù)向量的帶Haseman位移帶共軛的邊值問題

設(shè)函數(shù)向量Aj(t1,t2),Bj(t1,t2),Cj(t1,t2),Dj(t1,t2),G(t1,t2)∈Hp(?Ω1×?Ω2,β,Clm+k+2,0(R))(j=1,2),本文尋求在上的雙hypergenic函數(shù)向量(x,y),其滿足在?Ω1× ?Ω2上H¨older連續(xù),且,并且滿足帶Haseman位移帶共軛的邊值條件:

其中Aj=(aj1,aj2,……,ajp),Bj=(bj1,bj2,……,bjp),Cj=(cj1,cj2,……,cjp),Dj=(dj1,dj2,……,djp),G=(g1,g2,……,gp),F*=(f1,f2,……,fp),(t1,t2)∈?Ω1×?Ω2,j=1,2,稱上述問題為雙hypergenic函數(shù)向量的帶Haseman位移帶共軛的邊值問題,簡稱N問題.特別地,當(dāng)F* ≡(1,1,……,1)時,上述問題稱為雙hypergenic函數(shù)向量的帶Haseman位移帶共軛的線性邊值問題,簡稱L問題.

由推論2.2知ΨΦ在上是雙hypergenic函數(shù)向量,由推論2.6知ΨΦ在?Ω1×?Ω2上是H¨older連續(xù)的,由推論2.3知ΨΦ(x,∞)=ΨΦ(∞,y)=ΨΦ(∞,∞)=0.將雙hypergenic函數(shù)向量的Plemelj公式代入(3.1)式,則N問題可以轉(zhuǎn)化為求解奇異積分方程

其中J4,J5,……,J11為與t1,t2和Φ無關(guān)的正常數(shù).F*(0,0,0,0,0,0,0,0)=0,Aj(t1,t2),Bj(t1,t2),Cj(t1,t2),Dj(t1,t2)滿足條件:

證令T={Φ|Φ=(φ1,φ2,……,φp)∈Hp(?Ω1×?Ω2,β,Clm+k+2,0(R)),‖Φ‖β ≤M,M為某一個正常數(shù)}.

先證F是自身到自身的映射,即證對于任意的Φ ∈T,有FΦ ∈T.

任意的Φ ∈T,由函數(shù)向量的性質(zhì),推論2.6 和推論2.7可得

所以FΦ ∈T.因此F是自身到自身的映射.

下面證明F是一個連續(xù)映射.

由推論2.6和推論2.7知

所以F是一個自身到自身的連續(xù)映射.

根據(jù)Arzela-Ascoli定理,F(T)是連續(xù)空間C(?Ω1×?Ω1)上的緊子集.由Schauder不動點定理知,至少存在一個函數(shù)向量Φ0∈Hp(?Ω1×?Ω2,β,Clm+k+2,0(R))滿足FΦ0=Φ0,且解的積分表達(dá)式由(2.3)式給出.

證令T1={Φ|Φ=(φ1,φ2,……,φp)∈Hp(?Ω1×?Ω2,β,Clm+k+2,0(R)),‖Φ‖β ≤1}.

先證F是自身到自身的映射,即證對于任意的Φ ∈T1,有FΦ ∈T1.

任意的Φ ∈T1,由函數(shù)向量的性質(zhì),推論2.6,推論2.7和(3.5)式得

顯然對于任意的Φ ∈T1,Φ ∈Hp(?Ω1×?Ω2,β,Clm+k+2,0(R)),有

所以FΦ ∈T1.因此F是自身到自身的映射.

對于任意的Φ1,Φ2∈T1,有

因為0＜γ ＜1,所以F是壓縮映射.

由壓縮映射原理可以知道,L問題存在唯一解,且解的表達(dá)式由(2.3)式給出.