二維近零折射率聲學(xué)材料的負(fù)向Schoch位移*

劉向東 吳福根? 姚源衛(wèi) 張欣

1) (廣東工業(yè)大學(xué)材料與能源學(xué)院, 廣州 510006)

2) (廣東工業(yè)大學(xué)物理與光電工程學(xué)院, 廣州 510006)

1 引 言

當(dāng)一束聲波入射到兩種介質(zhì)界面并發(fā)生反射時, 實際的反射波束相對于幾何預(yù)測的反射波束有一定的正向(或負(fù)向)偏移, 這個正向(或負(fù)向)的偏移稱為Schoch位移, 這種現(xiàn)象稱為Schoch效應(yīng)[1].Schoch效應(yīng)最初是由Schoch于1950年通過紋影攝影技術(shù)觀察超聲波在界面上的反射波束時, 偶然發(fā)現(xiàn)的一種非鏡面反射現(xiàn)象[1,2], 而后Bertoni和Tamir[3]發(fā)展了一種統(tǒng)一的近似理論來解釋這一現(xiàn)象.自2000年以來, 科學(xué)家開始聚焦于可調(diào)的周期性結(jié)構(gòu)材料的Schoch效應(yīng).2003年,Declercq等[4]基于非均勻波衍射理論利用一維周期性突起的黃銅-水結(jié)構(gòu)探究超聲波的反射時, 獲得了與實驗結(jié)果一致的仿真數(shù)據(jù).2004年,Declercq等[5]將非均勻波衍射理論拓展到負(fù)向Schoch位移的聲學(xué)衍射, 研究結(jié)果表明Schoch效應(yīng)與界面處類斯通利波的產(chǎn)生密切相關(guān).2009年,Herbison等[6]采用脈沖波代替時域諧波的新方法對Schoch位移進行定量測量.2014年, Declercq[7]實驗研究了產(chǎn)生Schoch位移時超聲波的能量轉(zhuǎn)換.2017年, 陳宗旺等[8]通過在常規(guī)材料與聲子晶體的界面處引入缺陷(覆蓋層), 通過調(diào)節(jié)覆蓋層的厚度實現(xiàn)了巨大的正向Schoch位移.

超材料因其具有常規(guī)材料不具備的超常物理性質(zhì)而備受關(guān)注[9-11], 聲波的負(fù)向Schoch位移就是其中的一種.在未來聲學(xué)器件趨于小型化的前提下Schoch位移是一個必須考慮的問題.近年來對于近零折射率材料的研究方法無論是聲學(xué)還是光學(xué)方面都已經(jīng)相當(dāng)成熟, Schoch效應(yīng)是受到古斯-漢欣效應(yīng)的啟發(fā)發(fā)現(xiàn)的, 目前對于古斯-漢欣效應(yīng)的研究無論是在理論上還是高精度的實驗器件上都已取得顯著成果[12-16].文獻[12]基于古斯-漢欣位移提出了一種雙通道窄帶濾波器.文獻[13]理論推導(dǎo)并仿真驗證了線性偏振光從空氣傾斜入射到近零折射率光學(xué)材料的情況.文獻[14]研究了不同的入射波波長以及溫度對近零折射率光學(xué)材料的古斯-漢欣位移的影響.文獻[15]基于在近零折射率光學(xué)材料表面覆蓋可調(diào)電壓的單層石墨烯, 實現(xiàn)了古斯-漢欣位移大小可調(diào)的機制.文獻[16]通過在常規(guī)材料與光學(xué)超材料之間加一厚度可調(diào)的覆蓋層, 以光束的入射角和覆蓋層厚度為變量, 在厚度選取合適的條件下實現(xiàn)了超胞尺寸數(shù)倍的巨大負(fù)向古斯?jié)h欣位移.但是目前在特性更為復(fù)雜的近零折射率聲學(xué)材料中并沒有見到關(guān)于聲波Schoch效應(yīng)的相關(guān)報道, 為了進一步探究聲學(xué)的Schoch效應(yīng), 基于文獻[16]中對光學(xué)超材料的研究方法和實驗結(jié)論, 本文設(shè)計了一種模型, 通過調(diào)控散射體橡膠圓柱半徑以及覆蓋層水的厚度, 有效實現(xiàn)了不同參數(shù)下伴隨著不同物理特性的近零折射率聲學(xué)超材料的負(fù)向Schoch位移.在此基礎(chǔ)上又探究了超材料中Schoch效應(yīng)與其帶結(jié)構(gòu)之間的聯(lián)系.

光波(電磁波)在光學(xué)超材料中傳播時, 以介質(zhì)的介電常數(shù)和磁導(dǎo)率表征光波與光學(xué)超材料的相互作用.而聲波在聲學(xué)超材料中傳播時, 以周期性復(fù)合介質(zhì)的聲學(xué)參數(shù)(即質(zhì)量密度和體積模量)表征聲波與聲學(xué)超材料的相互作用, 但不同的是對于聲學(xué)超材料而言, 還可以用剪切模量等參數(shù)進行調(diào)控, 這就決定了聲學(xué)超材料具有更加復(fù)雜、更加有趣的物理特性.光學(xué)超材料中的古斯-漢欣位移通常發(fā)生在兆赫茲及以上的頻率區(qū)間, 其位移尺寸對現(xiàn)代光學(xué)器件精度的影響可以忽略.相對的聲學(xué)超材料的Schoch位移通常發(fā)生在低頻領(lǐng)域,對于工作頻率處于低頻領(lǐng)域的中小型聲學(xué)器件精度的影響必不可忽略.而本文聲波的入射頻率選取范圍為400—1000 Hz, 負(fù)向Schoch位移的尺寸最大達到了晶格常數(shù)的8倍, 因此對近零折射率聲學(xué)超材料的研究將有更豐富的內(nèi)涵.

2 計算模型與結(jié)果

本文使用的模型系統(tǒng)由常規(guī)材料與聲學(xué)超材料組成, 其具體結(jié)構(gòu)如圖1(a)所示, 從上到下由水銀(mercury)、水(water)和聲學(xué)超材料依次排列組成.聲學(xué)超材料由二維的橡膠圓柱散射體以三角晶格的形式周期性排列在水中構(gòu)成.圖1(b)為聲學(xué)超材料的單個原胞, 其中橡膠圓柱散射體半徑為R,間距為a, 基體為水.本文采用有限元軟件COMSOL Multiphysics模擬聲波的Schoch效應(yīng), 數(shù)值模擬的材料參數(shù)為: 散射體橡膠的密度ρ= 1.3 ×103kg/m3, 拉姆常數(shù)λ= 2.1 × 108N/m2,μ=5.2 × 107N/m2; 水的密度ρ0= 1.0 × 103kg/m3,波速c0= 1490 m/s; 水銀的密度ρ1= 13.6 × 103kg/m3, 聲速c1= 1400 m/s.為了更易激發(fā)出聲表面波和漏波, 在超材料與水銀溶液的界面處加一材料為水的覆蓋層, 覆蓋層的厚度選定為h0=0.3a.以高斯聲波(半腰寬w=5a)從水銀溶液中傾斜45°方向入射到聲學(xué)超材料中, 以入射聲波的頻率f為變量進行仿真測試.

圖1 (a) 模型結(jié)構(gòu), 從上到下分別為水銀、水層和聲學(xué)超材料; (b) 超材料的單個晶胞, 其中圓柱散射體為橡膠, 基體為水Fig.1.(a) Model structure, which consists of mercury, water layer and acoustic metamaterial from top to bottom;(b) single crystal cell of metamaterial, where the cylindrical scatterer is rubber and the matrix is water.

當(dāng)入射聲波的約化頻率為F=fa/c0= 0.456 =FS(伴有最大負(fù)向Schoch位移的約化頻率記為FS), 反射聲波具有明顯的負(fù)向Schoch位移和較好的高斯波形, 如圖2(a)所示, 其中黑色實線箭頭代表聲波真實的傳播方向, 虛線箭頭代表幾何預(yù)測的方向, 在虛線箭頭右側(cè)還有一微弱的反射波束, 所以圖中共有兩反射波束.反射過程中能流較多的一部分以表面波和漏波的形式分別在水銀與水的界面和覆蓋層中傳播, 較少的一部分用于波束的正常反射.左邊的反射波束位置明顯偏離了聲波的入射點, 向左偏離了入射波束中心位置 8a, 此反射波束就是由表面波和漏波主導(dǎo)的負(fù)向反射[17].同時, 在兩反射波束之間出現(xiàn)了空白區(qū)域, 這是由反射波束和出現(xiàn)在水層和超材料界面附近的漏波共同作用形成的[18,19].如圖3(a)所示, 當(dāng)有負(fù)向Schoch位移出現(xiàn)時, 在水層和超材料界面附近會形成大量的后向漏波.改變F= 0.503作為對照, 沒有Schoch位移出現(xiàn)其聲壓場圖如圖3(b), 此時在水層和超材料界面附近完全沒有漏波出現(xiàn).研究還發(fā)現(xiàn)在這一結(jié)構(gòu)模型下, 約化頻率F僅在0.447—0.466范圍內(nèi)有負(fù)向Schoch位移出現(xiàn), 如圖2(b)所示, 并且在這一范圍內(nèi)負(fù)向Schoch位移隨著F的增大先增大后減小為零, 在F= 0.456處位移取得最大負(fù)值 8a.

圖2 (a) 具有明顯負(fù)向Schoch位移的聲壓場圖(R=0.224a, F = fa/c0 = 0.456 = FS, a = 1 m), 其中縱軸和橫軸分別表示本文結(jié)構(gòu)的高度y和寬度x, 右側(cè)的顏色條對應(yīng)的物理量為總聲壓場強Pt; (b) 在FS = 0.456附近, 負(fù)向Schoch位移隨約化頻率F的變化Fig.2.(a) Acoustic pressure field with significant negative Schoch displacement ( R =0.224a , F = fa/c0 = 0.456 =FS, a = 1 m); (b) relation of Schoch displacement to reduced frequency F near FS = 0.456.

圖3 (a) F =0.456 , 水層和超材料界面附近出現(xiàn)大量后向漏波; (b) F =0.503 , 水層和超材料界面附近完全沒有漏波Fig.3.(a) F =0.456 , there are a large number of backward leaky Rayleigh waves appear near the interface between the water layer and the metamaterial; (b)F=0.503, there is no leaky Rayleigh wave near the water layer and the metamaterial interface.

為了探究伴隨著這種負(fù)向Schoch位移出現(xiàn)時超材料的物理特性, 參照周期性復(fù)合流固材料的有效參數(shù)[20,21], 計算并獲取了超材料不同的物理參數(shù)隨約化頻率F的變化關(guān)系.

圖4(a)顯示當(dāng)負(fù)向Schoch位移發(fā)生時, 超材料的reff和Zeff極大值出現(xiàn)在同一約化頻率F=0.456(標(biāo)記為A點), 這與圖2(a)發(fā)生負(fù)向Schoch位移時FS的值相同; 圖4(b)顯示neff,ρeff, 1/keff隨F的變化關(guān)系, 圖中添加兩條平行坐標(biāo)軸的虛線作為輔助線, 其交點記為B(0.456, 0),B點的橫坐標(biāo)取值與A點處的F相同, 圖像右下角內(nèi)嵌圖形為B點附近的放大.以B作為參考點, 在F=0.456時,ρeff小于零, 1/keff趨向于零,neff的值小于且接近零, 它們之間滿足關(guān)系[22]=1/κeff·ρeff,此時超材料為近零折射率聲學(xué)材料.

古斯-漢欣位移主要是由反射波束的相位突變導(dǎo)致[23], Schoch位移是否也與此有關(guān)?

圖5為R=0.224a,FS= 0.456條件下發(fā)生Schoch位移時超材料的另外兩個物理特性.圖5(a)表示反射系數(shù)的虛部相位發(fā)生突變, 突變前后的相位差值為π rad.圖5(b)為是偶極子激發(fā)形成的本征模的聲壓場圖的三分之一, 根據(jù)超材料形成的原理[24]知, 偶極子表征超材料有效質(zhì)量密度為負(fù), 與圖4(b)中ρeff＜ 0相符.

圖4 聲學(xué)超材料不同的物理參數(shù)特性 ( R =0.224a ,FS = 0.456) (a) 相對阻抗(Zeff)和反射系數(shù)(reff)隨F的變化; (b) 有效折射率(neff)、有效質(zhì)量密度(ρeff)、有效體積模量的倒數(shù)(1/keff)隨F的變化, 圖像右下角內(nèi)嵌圖形為B點附近的放大Fig.4.Different physical parameters of acoustic metamaterials ( R =0.224a , FS = 0.456): (a) Relationship between relative impedance (Zeff) and reflection coefficient(reff) with F; (b) relationship of effective refractive index (neff)、effective mass density (ρeff) and inverse of effective volume modulus (1/keff) to F, the embedded figure in the lower right corner of the image is an enlargement near point B.

圖5 (a) 反射系數(shù)虛部相位在 F =0.456 處發(fā)生突變(R=0.224a, FS = 0.456); (b) 晶格的本征模聲壓場圖Fig.5.(a) Phase of the imaginary part of the reflection coefficient mutates at F =0.456 ( R =0.224a , FS =0.456); (b) eigen mode acoustic pressure field diagram of the lattice.

為了探究圖4和圖5中的物理參數(shù)特性與負(fù)向Schoch位移的聯(lián)系, 改變散射體R, 尋找反射系數(shù)峰值對應(yīng)的F, 當(dāng)圖4和圖5中的物理參數(shù)特性同時得到滿足時, 驗證該約化頻率下是否出現(xiàn)負(fù)向Schoch位移.經(jīng)過多次的仿真發(fā)現(xiàn), 改變散射體R, 物理參數(shù)特性與R=0.224a時的結(jié)果類似.發(fā)生負(fù)向Schoch位移時散射體半徑R與FS(fa/c0)的變化關(guān)系以圖6(a)表示, 整體來看約化頻率FS與散射體橡膠半徑R近似呈現(xiàn)線性關(guān)系, 隨著R的增大FS逐漸減小.

常規(guī)材料與光學(xué)超材料界面處合適的覆蓋層厚度能極大激發(fā)表面波和漏波[16,17,25], 在常規(guī)材料與聲學(xué)超材料界面處增加覆蓋層(水層)存在類似現(xiàn)象.經(jīng)過計算發(fā)現(xiàn), 界面處覆蓋層厚度對負(fù)向Schoch十分重要, 如圖6(b)所示.只有當(dāng)覆蓋層厚度處于某一區(qū)間時才有不同程度的負(fù)向位移出現(xiàn).當(dāng)h0處于0.2a—0.4a時, 負(fù)向位移值隨著h0的增大先增大后減小, 在h0=0.3a處取得最大負(fù)值 8a.這是因為隨著h0的增大, 界面處產(chǎn)生表面波和漏波的條件[16]在h0處于 0.3a附近近似得到滿足, 進而在界面處誘導(dǎo)出巨大的負(fù)向位移.但當(dāng)h0較大或較小時, 不滿足界面處激發(fā)表面波和漏波的條件, 反射聲束的位移可忽略.為了衡量負(fù)向Schoch位移的大小, 進一步探究了聲波半腰寬w與負(fù)向Schoch位移的關(guān)系如圖6(c)和6(d)所示.隨著入射聲波半腰寬wi的增大, 負(fù)向Schoch位移的變化情況如圖6(c)所示.圖6(d)為反射聲波半腰寬wr隨覆蓋層厚度h0的變化關(guān)系, 隨著覆蓋層厚度的增大反射聲波半腰寬wr會先增大后減小.對比圖6(b)和圖6(d), 在入射聲波半腰寬wi為 5a的條件下, 當(dāng)反射聲波半腰寬wr最大時負(fù)向Schoch位移達到最大值.

圖6 (a) 發(fā)生Schoch位移時FS隨R的變化; (b) 負(fù)向Schoch位移隨覆蓋層厚度 h 0 的變化( R =0.224a , FS = 0.456); (c) 負(fù)向Schoch位移隨入射聲波半腰寬wi的變化; (d) 反射聲波半腰寬wr隨覆蓋層厚度的變化Fig.6.(a) Relationship of FS to R when the Schoch displacement happens; (b) relationship between negative Schoch displacement and overburden thickness h 0 ; (c) relationship between negative Schoch displacement and the half-waist width of the incident acoustic wave; (d) relationship between the half-width of the reflected acoustic wave and the thickness of the covering layer.

3 Schoch位移與超材料能帶的關(guān)系

在帶隙邊緣附近, 光子晶體對光束的調(diào)控與有效介電常數(shù)接近零的材料類似, 因此帶隙附近的超材料通常具有許多新穎的光學(xué)特性, 這些特性統(tǒng)稱為超折射光學(xué)[26], 其主要現(xiàn)象為入射光束的分裂或放大, 或負(fù)的古斯-漢欣位移[27].消逝場的存在會影響波的傳播, 最明顯的情況就是波在帶隙中的傳播[28], 不僅古斯-漢欣效應(yīng)與帶隙有著密切的關(guān)系[29], Schoch效應(yīng)與超材料的帶隙同樣有著聯(lián)系.在全內(nèi)反射情況下, 不同的介質(zhì)界面發(fā)生Schoch效應(yīng)時通常伴隨有表面波或漏波的產(chǎn)生, 消逝波存在導(dǎo)致了反射波束相位發(fā)生突變, 使得反射波束與入射波束之間有一個較大的相位差.研究發(fā)現(xiàn), 發(fā)生負(fù)向Schoch位移的約化頻率總是位于第一帶隙上邊界附近.

由前面知R=0.224a, 發(fā)生負(fù)向Schoch位移時FS= 0.456, 其帶結(jié)構(gòu)如圖7(a)所示, 紅色實線是添加的縱坐標(biāo)為F=FS= 0.456的輔助線.從圖上看, 第一帶隙上邊界與紅色實線有兩個交點,左右兩交點分為位于ΓM和MK方向, 記右邊交點為C點.因為聲波入射角為45°, 導(dǎo)致在ΓM方向激發(fā)較復(fù)雜的模式[30], 故僅需探究C點附近的情況就能說明問題.多次的仿真發(fā)現(xiàn), 若入射聲波的約化頻率在C點及以下0.002個單位的約化頻率范圍內(nèi), 聲壓場圖顯示有負(fù)向Schoch位移的出現(xiàn),C點以上則沒有.負(fù)向的古斯-漢欣位移需要在后向漏波結(jié)構(gòu)(或負(fù)折射率材料)中激發(fā)[31,32], 同樣可認(rèn)為負(fù)向的Schoch位移也需要在后向漏波結(jié)構(gòu)(或有效折射率為負(fù)的聲學(xué)超材料)中激發(fā).對于帶隙下邊界, 由圖7(a)知在MK方向, 帶隙下邊界的F值在0.309附近波動.為了分析帶隙下邊界的情況, 圖7(b)給出了F= 0.309時超材料的有效參數(shù), 圖中作有兩條平行于坐標(biāo)軸的黑色輔助虛線(neff= 0和F= 0.309), 其交點為B,B點的有效參數(shù)即為聲波以F= 0.309入射時超材料的有效參數(shù).從圖7(b)中的B點知, 此時1/keff不再趨向于零,neff大于零, 因此推測聲波以帶隙下邊界頻率F= 0.309入射時并不能激發(fā)負(fù)向的Schoch位移.圖7(c)所示的聲壓場圖驗證了本文的推測, 當(dāng)F= 0.309時, 水層和超材料界面附近并不能激發(fā)后向漏波, 沒有負(fù)向Schoch位移出現(xiàn).所以不再探究帶隙下邊界的情況,R為其他值時情況與此類似.

圖7 (a) 超材料的帶結(jié)構(gòu)( R =0.224a ); (b) neff, ρeff,1/keff隨F的變化; (c) 聲波以帶隙下邊界頻率( F =0.309 )入射時超材料的聲壓場圖Fig.7.(a) Band structures of metamaterial ( R =0.224a );(b) relationship of neff, ρeff and 1/keff to F; (c) acoustic pressure field diagram of metamaterial when acoustic waves incident at the lower band-gap boundary frequency.

上面的結(jié)論表明, 負(fù)向Schoch位移發(fā)生的約化頻率位于第一帶隙之中且靠近上邊的通帶; 不同系統(tǒng)的約化頻率范圍稍有不同.

4 結(jié) 論

本文主要研究了二維近零折射率聲學(xué)材料發(fā)生負(fù)向Schoch位移時的物理參數(shù)特性以及模型結(jié)構(gòu)參數(shù)對位移的影響.通過在常規(guī)材料與聲學(xué)超材料界面處增加材料為水的覆蓋層, 選取合適的厚度參數(shù), 實現(xiàn)了巨大的負(fù)向Schoch位移.計算結(jié)果表明, 合適的覆蓋層厚度能夠誘導(dǎo)界面處反射波束的部分能流, 使其進入覆蓋層并且轉(zhuǎn)化為向后傳播的漏波, 進而在低頻領(lǐng)域獲得波長數(shù)量級(米尺寸級別)的負(fù)向Schoch位移.大的負(fù)向Schoch位移的發(fā)生會伴隨著以下幾個物理特性, 超材料的有效體積模量倒數(shù)值趨近于零從而使它成為一種折射率近零的聲學(xué)材料; 超材料有效阻抗的極大值和反射系數(shù)的極大值幾乎在同一約化頻率處; 反射系數(shù)虛部相位在對應(yīng)約化頻率處有π rad的相位突變;發(fā)生負(fù)向Schoch位移的約化頻率位于MK方向第一帶隙中且靠近上邊界的通帶頻率.常規(guī)材料界面處聲波的Schoch位移通常是正向的且大小可忽略的, 本文獲得了負(fù)向的Schoch位移, 不但豐富了聲波Schoch現(xiàn)象方面的研究成果, 而且為設(shè)計基于界面聲波的聲學(xué)器件提供理論參考.