例談綜合題的解法

史玨爾

【摘要】綜合題一般由一個(gè)較為復(fù)雜的圖形和幾個(gè)基本問題有機(jī)組合在一起的題目，它涉及到數(shù)學(xué)中較多的數(shù)學(xué)知識(shí)，并蘊(yùn)涵著一定的數(shù)學(xué)思想方法。首先要會(huì)分解圖形，尋找到解綜合題的突破口，在此基礎(chǔ)上利用圖形的直觀性進(jìn)行聯(lián)想、猜想、驗(yàn)證與篩選，獲得解題方法的信息，然后利用綜合和分析的思維方法找到解題的方法，并結(jié)合各種數(shù)學(xué)思想方法和添加輔助線，使問題得到順利解決。

【關(guān)鍵詞】思維方法 ?數(shù)學(xué)思想方法 ? 直觀性 ?輔助線

綜合題是涉及數(shù)學(xué)中較多的數(shù)學(xué)知識(shí)的題目。一般的綜合題是由幾個(gè)基本問題有機(jī)地組合在一起，并蘊(yùn)涵著一定的常見的數(shù)學(xué)思想方法。所以，在解綜合題時(shí)，只要分清題目的結(jié)構(gòu)，把綜合性的問題，分解為若干個(gè)基本問題，同時(shí)注意運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法，就能解答好。

一、分析圖形的結(jié)構(gòu)。

1、綜合題往往有一個(gè)較為復(fù)雜的圖形。實(shí)際上，這種圖形往往是幾個(gè)常見的基本圖形有機(jī)地組合在一起。而學(xué)生要解答好綜合題，首先要會(huì)分解圖形，然后，從基本圖形著手，尋找到解綜合題的突破口。

例1 ? 已知：在⊿ABC中，AD為∠BAC的角平分向，以C為圓心，CD為半徑的半圓交BC的延長線于點(diǎn)E，交AD與點(diǎn)F，交AE于點(diǎn)M，且∠B=∠CAE，F(xiàn)E：FD= 4：3。

求證：AF=DF;（2）求∠AED的余弦值;（3）如果BD=10，求⊿ABC的面

分析 ? 本題的圖形是曲直混合的圖形，所以顯得比價(jià)復(fù)雜。在此圖中，我們可以通過把EF⊥AD，和∠DAE=∠ADE的組合，分解出一個(gè)等腰三角形的三線合一的基本圖形。把∠B=∠CAE和∠AEB是公共角這兩個(gè)條件組合起來，又可以分解出⊿ABE∽⊿CAE。另外，我們還可以找到勾股定理，割線定理的基本圖形。從而為解決本題奠定基礎(chǔ)。

2、有些綜合題的條件看上去是獨(dú)立的，實(shí)際上，這些條件可以互相聯(lián)系，把這些圖形和已知條件組合起來，可以得出新的結(jié)論。甚至，有些圖形和已知條件是散亂的，可以通過添加適當(dāng)?shù)妮o助線，使散亂的條件相對集中，進(jìn)而推出一個(gè)新的結(jié)論。

在本題中可以看出，圖形和已知條件的分解和組合，是相互依存和相互聯(lián)系的。通過這種分解和組合，可以使一個(gè)復(fù)雜的綜合題，轉(zhuǎn)化為幾個(gè)典型的基本問題。

二、用綜合和分析的思維方法。

根據(jù)已知條件出發(fā)，經(jīng)過逐步的邏輯推理，最后得到待證結(jié)論或所求問題的思維過程叫綜合法。簡單地說根據(jù)原有的已知條件，都能推出哪些結(jié)論。從待證結(jié)論結(jié)論或需求問題出發(fā)，進(jìn)行探索，最后達(dá)到題設(shè)的已知條件，這樣的思維過程叫做分析法。

一個(gè)綜合題的思考方法，往往是分析法和綜合法的組合。這是把綜合題分解為基本問題以后的主要分析方法。例如，例1中的第一小題，我們可以作以下分析，找到解題方法。

（1）若證AF=DF，因?yàn)镋F⊥AD，所以聯(lián)想等腰三角形三線合一性質(zhì)，先證明AE=DE。

（2）若證AE=DE，聯(lián)想等腰三角形的判定，先證∠DAE=∠ADE。

（3）若證∠DAE=∠ADE，則因?yàn)椤螪AE=∠DAC+∠EAC，∠ADE=∠B+∠BAD，根據(jù)已知條件，問題已經(jīng)獲證。

三、用圖形的直觀性，進(jìn)行聯(lián)想、猜想、驗(yàn)證與篩選。

綜合題沒有固定的解題程序，而需要根據(jù)題目的不同已知條件，不同的圖形進(jìn)行分解和組合。然后，在此基礎(chǔ)上進(jìn)行廣泛的聯(lián)想、試探性的分析，進(jìn)行多次實(shí)驗(yàn)、篩選。特別是利用圖形的直觀性，進(jìn)行大膽地猜想，獲得解題方法的信息。

例2 ?⊙O1和⊙O2相交于A、B，且AB⊙O1是的直徑，過點(diǎn)B作⊙O1的切線，交于點(diǎn)C，連結(jié)AC，交⊙O1于點(diǎn)D，連結(jié)并延長BD，交⊙O2于點(diǎn)E。設(shè)⊙O1的半徑為3，⊙O2的半徑為5。（1）求 切線CB的長。（2）若點(diǎn)F在直線CE上運(yùn)動(dòng)（與點(diǎn)C、點(diǎn)E不重合0，連結(jié)并延長FD交于另一點(diǎn)G，連結(jié)并延長AG交CB的延長線于點(diǎn)H，設(shè)CF=x，BH=y，求y與x的函數(shù)關(guān)系式。

分析 ?在本題中，既有曲直混合，又有兩個(gè)圓的疊加，是一個(gè)比較復(fù)雜的集合圖形。要解決第二個(gè)問題就首先憑經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行合理的猜想：要求y與x的函數(shù)關(guān)系式，它的依據(jù)是相似三角形的對應(yīng)邊成比例。然后，重要找三角形相似呢？我們先找x和y所在的三角形，用圖形的直觀性觀察這兩個(gè)三角形是否可能相似。例如，y所在的是直角三角形ABH，與x所在的三角形不一定相似。我們可以先看CH所在的⊿ACH和x所在的⊿DFC是否可能相似。從圖形上來看，這兩個(gè)三角形可能會(huì)相似，這就是利用圖形的直觀性提供了解題的方法和信息。接下去，我們再去尋找證明⊿ACH和⊿DFC相似的條件。

利用圖形的直觀性，進(jìn)行合理的猜想，在解幾何題中非常重要，它為解題指明的方向。

四、用各種思想方法

初中的數(shù)學(xué)思想方法主要有，轉(zhuǎn)化思想、方程思想、函數(shù)思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想等。

例如，在例1中，我們不妨設(shè)EF=4x，則FD=3x，由勾股定理得，DE=5x。

∴AE=DE=5x，AF=FD=3x。在⊿CAE和⊿ABE中，∵∠CAE=∠B，∠AEC=∠BEA，

∴⊿CAE∽⊿ABE?！??！郃E2=BE·CE?！啵?x）2=（10+5 x）· x。解得x=2。

∴AN= x= ，BC=BD+DC=15?！郤⊿= BC··AN=72。

又如在例2中，求y與x的函數(shù)關(guān)系式。在運(yùn)動(dòng)變化過程中，變量BH和CF之間互相影響，互相制約，互相依存的，它們之間存在著一定的數(shù)量關(guān)系，把這種數(shù)量關(guān)系刻畫出來，就運(yùn)用了函數(shù)思想。

在以上兩種解決幾何問題時(shí)，一定要仔細(xì)觀察圖形，充分利用圖形中所提供的數(shù)量關(guān)系，常見的有相似三角形的性質(zhì)、勾股定理等等，引入適當(dāng)?shù)奈粗獢?shù)來表達(dá)這些數(shù)量關(guān)系，從而建立方程（組）或函數(shù)關(guān)系式。

許多綜合題中，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想又是很重要的方法。在以上兩例中，我們可以通過“數(shù)”來了解圖形的形狀，通過“形”來發(fā)現(xiàn)不同變量之間的數(shù)量關(guān)系，從而使問題得到解決。實(shí)際上，如果所求問題是屬于“數(shù)”的范疇，則往往轉(zhuǎn)化為依據(jù)“形”的性質(zhì)來列方程（組）或列函數(shù)關(guān)系式來解決。如果所求問題是屬于“形”的范疇，則往往通過“數(shù)”來解決。如上面兩例。

二、常見輔助線的作法。

1、在三角形中，常見的輔助線是往往通過連結(jié)、延長作平行線、垂線這些手段，來達(dá)到三角形的對稱變換、平移變換、旋轉(zhuǎn)變換，使散亂的條件組合起來。

（1）已知條件中有角平分線時(shí)，有以下幾中基本圖形。

3、在證明線段的和、差時(shí)，可以通過截長補(bǔ)短;在證明線段的倍半時(shí)，可以通過延倍折半。

4、在圓中常見的輔助線是作弦心距、畫直徑所對的圓周角、過切點(diǎn)作圓的半徑等等。

總之，在作輔助線時(shí)，作平行線或垂線，連結(jié)、延長是最常見的有效手段。

六、正確理解同一圖形的元素在不同背景下的角色，使問題順利解決。

現(xiàn)在的幾何代數(shù)綜合題的圖形往往是曲直混合，又有坐標(biāo)作為背景，同一的圖形的元素，往往在不同的圖形背景里有不同的理解。如下例。

如圖，O是CAE平分線上的一點(diǎn)，以點(diǎn)O為圓心的圓和CAE的兩邊分別交于點(diǎn)B、C和D、E，連結(jié)BD，CE。求證：BC=DE。

在實(shí)際教學(xué)過程中，許多同學(xué)沒有聯(lián)想到角平分線的性質(zhì)，而是在考慮三角形全等。正確的方法是聯(lián)想角平分線的性質(zhì)，過點(diǎn)O作OE⊥BC于E，過OF⊥DE于F。同時(shí)，OE=OF的長對CAE來說，是角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等，但是，對O來說，是兩條弦心距相等。我們正確認(rèn)識(shí)到OE、OF在不同背景下的角色，才能使問題順利解決。

總之，綜合題涉及了代數(shù)和幾何各個(gè)領(lǐng)域的知識(shí)點(diǎn)，不可避免地要使不同領(lǐng)域的知識(shí)互相轉(zhuǎn)換，尋找不同領(lǐng)域的知識(shí)的聯(lián)結(jié)點(diǎn)，使問題在轉(zhuǎn)化過程中解決。這里又包含了轉(zhuǎn)化思想。