構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，優(yōu)化問(wèn)題解決策略

姜麗華

[摘 要]數(shù)學(xué)建模能夠使學(xué)生深入數(shù)學(xué)問(wèn)題的探索中，鍛煉學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，使學(xué)生由原來(lái)的機(jī)械式識(shí)記轉(zhuǎn)化為主動(dòng)探索知識(shí)，由原來(lái)的解決單一問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解決同類(lèi)問(wèn)題。以“植樹(shù)問(wèn)題”教學(xué)為例，給出了建立數(shù)學(xué)模型的基本過(guò)程，即創(chuàng)設(shè)情境，感知模型;把握本質(zhì)，構(gòu)建模型;應(yīng)用模型，實(shí)現(xiàn)價(jià)值。

[關(guān)鍵詞]數(shù)學(xué)模型;植樹(shù)問(wèn)題;小學(xué)數(shù)學(xué)

[中圖分類(lèi)號(hào)] G623.5[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A[文章編號(hào)] 1007-9068（2021）17-0058-02

模型思想是重要的數(shù)學(xué)思想之一。數(shù)學(xué)建模能夠使學(xué)生深入數(shù)學(xué)問(wèn)題的探索中，鍛煉學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，使學(xué)生由原來(lái)的機(jī)械式識(shí)記轉(zhuǎn)化為主動(dòng)探索知識(shí)，由原來(lái)的解決單一問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解決同類(lèi)問(wèn)題。下面以“植樹(shù)問(wèn)題”教學(xué)為例，探討了建立數(shù)學(xué)模型的基本過(guò)程，力圖為數(shù)學(xué)課堂上滲透建模思想提供可行的方法論。

一、創(chuàng)設(shè)情境，感知模型

數(shù)學(xué)建模是一個(gè)從具體情境到抽象模型再回到實(shí)際應(yīng)用的過(guò)程。數(shù)學(xué)來(lái)源于生活，最終為生活服務(wù)，因此，教師需要在充分了解和尊重學(xué)生認(rèn)知水平的基礎(chǔ)上，把現(xiàn)實(shí)生活中的情境生動(dòng)地展示出來(lái)，為創(chuàng)建數(shù)學(xué)模型提供生動(dòng)豐富的現(xiàn)實(shí)支撐，讓學(xué)生依托生動(dòng)的情境問(wèn)題主動(dòng)發(fā)現(xiàn)隱含其中的數(shù)學(xué)問(wèn)題，從而為創(chuàng)建數(shù)學(xué)模型奠定基礎(chǔ)。

【教學(xué)片段1】

師：把30個(gè)蘋(píng)果平均分給5位小朋友，一個(gè)小朋友能夠分到幾個(gè)蘋(píng)果？

生1：這個(gè)問(wèn)題太簡(jiǎn)單了。30÷5=6（個(gè)），一個(gè)小朋友能分到6個(gè)蘋(píng)果。

師：非常好。把問(wèn)題改動(dòng)一下：學(xué)校里有一段長(zhǎng)30米的小路，要在這段小路上每隔5米種植一棵樹(shù)，一共需要幾棵樹(shù)呢？

生2：這個(gè)問(wèn)題和剛才的問(wèn)題不是一樣的嗎？30÷5=6（棵），一共需要6棵樹(shù)。

生3：不對(duì)。我算的是需要7棵樹(shù)。

師：為什么看似非常簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)問(wèn)題，大家卻得出了不同的結(jié)論呢？這節(jié)課我們就來(lái)研究“植樹(shù)問(wèn)題（兩端都種）”，相信學(xué)完這節(jié)課以后，就可以很輕松地得出正確答案了。

生動(dòng)的生活情境是建模思想的基石。教師首先以“分蘋(píng)果”的情境引入，在學(xué)生輕松得出正確答案后，教師順勢(shì)把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為植樹(shù)問(wèn)題，學(xué)生在計(jì)算過(guò)程中，由于結(jié)果不一致發(fā)生了碰撞和沖突，進(jìn)而產(chǎn)生了進(jìn)一步探索的愿望。

二、把握本質(zhì)，構(gòu)建模型

建立數(shù)學(xué)模型的核心是引導(dǎo)學(xué)生從現(xiàn)實(shí)生活問(wèn)題出發(fā)，用精準(zhǔn)的數(shù)學(xué)語(yǔ)言提煉出數(shù)學(xué)問(wèn)題，分析數(shù)學(xué)問(wèn)題中各個(gè)量之間的本質(zhì)聯(lián)系，使學(xué)生經(jīng)歷猜測(cè)、驗(yàn)證、修訂和反思的完整過(guò)程，從而在建模過(guò)程中不斷豐富學(xué)生的思維方式，提高學(xué)生的思維品質(zhì)。

【教學(xué)片段2】

師：回到之前的問(wèn)題：學(xué)校里有一段長(zhǎng)30米的小路，要在這段小路上每間隔5米種植一棵樹(shù)，一共需要幾棵樹(shù)呢？

生1：可以試著用畫(huà)圖的方法來(lái)解決。

師：好，那就嘗試著畫(huà)圖來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題吧。

生2：我用整條線(xiàn)段來(lái)代表這段30米長(zhǎng)的小路，用線(xiàn)段上的點(diǎn)代表樹(shù)，用小線(xiàn)段代表一個(gè)間隔。（如下圖）? ? ? ?[樹(shù)][5米][（30米小路）][ ]

生3：這個(gè)方法真好，把問(wèn)題說(shuō)得很清楚。

師：畫(huà)線(xiàn)段圖的方法很棒！把抽象的植樹(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化成了直觀的線(xiàn)段圖，一下子讓問(wèn)題簡(jiǎn)單了很多。

把具體的情境問(wèn)題轉(zhuǎn)化為抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題是構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的重要一步。教師引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)畫(huà)線(xiàn)段圖的方式把生活情境中的問(wèn)題抽象化和數(shù)學(xué)化，在生活原型和數(shù)學(xué)問(wèn)題之間搭建了一座橋梁。一棵棵樹(shù)轉(zhuǎn)化為線(xiàn)段圖上的一個(gè)個(gè)點(diǎn)，樹(shù)與樹(shù)之間的間隔轉(zhuǎn)化成了一條條小線(xiàn)段，從而生動(dòng)形象地展示了植樹(shù)的整個(gè)過(guò)程。學(xué)生畫(huà)線(xiàn)段圖的過(guò)程，實(shí)際上就是把植樹(shù)的過(guò)程內(nèi)化于心的過(guò)程。

【教學(xué)片段3】

師：按照自己畫(huà)的線(xiàn)段圖數(shù)一數(shù)，一共需要幾棵樹(shù)呢？

生1：7棵。

生2：咦，30÷5=6，怎么數(shù)著線(xiàn)段上有7個(gè)點(diǎn)，這是怎么回事呢？

師：誰(shuí)能為生2答疑解惑呢？

生3：線(xiàn)段的確是被分成了6段，但是如果把點(diǎn)和線(xiàn)段一一對(duì)應(yīng)起來(lái)就會(huì)發(fā)現(xiàn)，點(diǎn)的數(shù)量比線(xiàn)段要多一。如圖，第1個(gè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)第1條線(xiàn)段，第2個(gè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)第2條線(xiàn)段，第3個(gè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)第3條線(xiàn)段……第6個(gè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)第6條線(xiàn)段，這時(shí)還剩下第7個(gè)點(diǎn)。也就是說(shuō)點(diǎn)數(shù)比線(xiàn)段數(shù)多1。

[ ][1? ? ? ? ? ? ? ?2? ? ? ? ? ? ?3? ? ? ? ? ? ? 4? ? ? ? ? ? ?5? ? ? ? ? ? ? 6]

師：那這個(gè)點(diǎn)數(shù)代表什么，線(xiàn)段數(shù)又代表什么呢？

生4：點(diǎn)數(shù)代表樹(shù)的棵數(shù)。

生5：線(xiàn)段數(shù)代表間隔數(shù)。

師：線(xiàn)段數(shù)與點(diǎn)數(shù)之間有什么關(guān)系呢？

生6：點(diǎn)數(shù)=線(xiàn)段數(shù)+1。

師：分析得很好，也就是說(shuō)，棵數(shù)=間隔數(shù)+1。

生7：那間隔數(shù)是怎么計(jì)算出來(lái)的呢？

生8：這個(gè)好辦。全長(zhǎng)÷間隔=間隔數(shù)。在這道題中，30÷5=6，6就是間隔數(shù)。

師：非常好。根據(jù)“棵數(shù)=間隔數(shù)+1”，再加上剛才得出的“全長(zhǎng)÷間隔=間隔數(shù)”，可以得出這樣的結(jié)論：棵數(shù)=全長(zhǎng)÷間隔+1。

生9：為什么明明分成了6個(gè)間隔，卻需要7棵樹(shù)？

生10：棵數(shù)與間隔數(shù)之間的關(guān)系實(shí)際上就是線(xiàn)段圖上點(diǎn)數(shù)與線(xiàn)段數(shù)之間的關(guān)系。通過(guò)線(xiàn)段圖不難得出，點(diǎn)數(shù)比線(xiàn)段數(shù)多1。

師：改變路的全長(zhǎng)，看看我們的結(jié)論是否還成立。請(qǐng)通過(guò)畫(huà)線(xiàn)段圖和計(jì)算來(lái)完成下面的表格。

[全長(zhǎng) 間隔 間隔數(shù) 棵數(shù) 20米 5米 30米 5米 40米 5米 ]

生11：這是我填寫(xiě)的表格。通過(guò)畫(huà)線(xiàn)段圖，我發(fā)現(xiàn)路的全長(zhǎng)改變以后，“棵數(shù)=全長(zhǎng)÷間隔+1”的結(jié)論依然是成立的。

[全長(zhǎng) 間隔 間隔數(shù) 棵數(shù) 20米 5米 4個(gè) 5棵 30米 5米 6個(gè) 7棵 40米 5米 8個(gè) 9棵 ]

師：改變樹(shù)與樹(shù)之間的間隔，看看我們的結(jié)論是否還成立。請(qǐng)通過(guò)畫(huà)線(xiàn)段圖的方式進(jìn)行計(jì)算。

[全長(zhǎng) 間隔 間隔數(shù) 棵數(shù) 30米 5米 30米 6米 30米 10米 ]

生12：這是我填的表格。通過(guò)畫(huà)線(xiàn)段圖，我發(fā)現(xiàn)樹(shù)與樹(shù)之間的間隔改變以后，“棵數(shù)=全長(zhǎng)÷間隔+1”的結(jié)論依然是成立的。

[全長(zhǎng) 間隔 間隔數(shù) 棵數(shù) 30米 5米 6個(gè) 7棵 30米 6米 5個(gè) 6棵 30米 10米 3個(gè) 4棵 ]

教師引導(dǎo)學(xué)生把線(xiàn)段圖和植樹(shù)問(wèn)題緊密結(jié)合起來(lái)，概括出“棵數(shù)=間隔數(shù)+1”的結(jié)論，在這個(gè)基礎(chǔ)上，結(jié)合“全長(zhǎng)÷間隔=間隔數(shù)”，最終得出“棵數(shù)=全長(zhǎng)÷間隔+1”，從而初步建立植樹(shù)問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型?？v觀整個(gè)過(guò)程，把棵數(shù)與間隔數(shù)之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為線(xiàn)段圖上點(diǎn)數(shù)與線(xiàn)段數(shù)之間的關(guān)系在建模過(guò)程中發(fā)揮了化繁為簡(jiǎn)、化難為易的作用。為了使模型更加“豐滿(mǎn)”，教師采取了“變式”策略，通過(guò)變化“全長(zhǎng)”和“間隔”驗(yàn)證了模型的正確性，這就使得模型在解決此類(lèi)問(wèn)題時(shí)具有更為廣闊的應(yīng)用空間。

三、應(yīng)用模型，實(shí)現(xiàn)價(jià)值

構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的目的是為了更好地解決現(xiàn)實(shí)生活中的問(wèn)題，因此，數(shù)學(xué)模型建構(gòu)后必然要回歸到現(xiàn)實(shí)生活，才能凸顯其價(jià)值和生命力。

【教學(xué)片段4】

師：在生活中有類(lèi)似的植樹(shù)問(wèn)題嗎？

生1：公交車(chē)的站點(diǎn)問(wèn)題實(shí)際上就是植樹(shù)問(wèn)題。站點(diǎn)的個(gè)數(shù)相當(dāng)于棵數(shù)，站點(diǎn)與站點(diǎn)的距離相當(dāng)于間隔。

生2：馬路上安裝路燈也是植樹(shù)問(wèn)題。路燈的個(gè)數(shù)相當(dāng)于棵數(shù)，路燈與路燈之間的距離相當(dāng)于間隔。

師：既然生活中的植樹(shù)問(wèn)題這么多，那么我們就試著解決一個(gè)具體的問(wèn)題吧。國(guó)慶節(jié)期間，一條長(zhǎng)100米的馬路上要插上紅旗，每隔10米插一面紅旗，一共需要幾面紅旗呢？

生3：100÷10+1=11（面）。這個(gè)問(wèn)題實(shí)際上也是植樹(shù)問(wèn)題。紅旗的數(shù)量相當(dāng)于棵數(shù)，紅旗與紅旗的距離相當(dāng)于間隔，根據(jù)“棵數(shù)=全長(zhǎng)÷間隔+1”可以推導(dǎo)出“紅旗數(shù)=全長(zhǎng)÷間隔+1”。這樣就很容易得出結(jié)論了。

生4：建立模型的方法真巧妙呀，它使我們解決問(wèn)題變得更容易了！

數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用過(guò)程實(shí)質(zhì)上就是對(duì)數(shù)學(xué)模型不斷進(jìn)行驗(yàn)證和完善的過(guò)程。應(yīng)用模型的關(guān)鍵是要敏銳地發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問(wèn)題與模型之間的共性與對(duì)應(yīng)關(guān)系。學(xué)生用“植樹(shù)問(wèn)題”數(shù)學(xué)模型解決“插紅旗”的實(shí)際問(wèn)題，顯示了數(shù)學(xué)模型在解決同類(lèi)問(wèn)題中的獨(dú)特優(yōu)勢(shì)。

建構(gòu)數(shù)學(xué)模型是優(yōu)化問(wèn)題解決策略的重要途徑。教師要讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)建模在解決實(shí)際問(wèn)題中帶來(lái)的便利，使學(xué)生初步具備建模意識(shí)，形成利用建模思想解決實(shí)際問(wèn)題的能力。

（責(zé)編 童 夏）