凸顯本質(zhì)，讓思維走向通透

鮑善軍 鄭書娟

[摘 要]以“搭配中的學(xué)問”教學(xué)為例，分析排列與組合概念的內(nèi)涵與結(jié)構(gòu)，提出并嘗試基于起點(diǎn)，在連接中讓思維更清晰;溝通聯(lián)系，在比較中讓思維更深入;動作表征，在遷移中讓思維更全面;類比融通，在建模中讓思維更合理等教學(xué)策略，凸顯數(shù)學(xué)本質(zhì)，讓學(xué)生的學(xué)習(xí)真實(shí)發(fā)生，思維走向通透。

[關(guān)鍵詞]搭配;思維;邏輯起點(diǎn);分類;操作

[中圖分類號] G623.5[文獻(xiàn)標(biāo)識碼] A[文章編號] 1007-9068（2021）17-0029-02

搭配問題其實(shí)就是組合問題，在對比溝通中求同存異才能感悟概念本質(zhì)。因此，組合的教學(xué)目標(biāo)不僅僅定位于找出組合數(shù)，更重要的是感悟排列與組合的基本思路和方法，理解二者的聯(lián)系與區(qū)別。

一、基于起點(diǎn)，在連接中讓思維更清晰

教師要關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)起點(diǎn)，抓住新舊知識之間的連接點(diǎn)，把新學(xué)的知識融入原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，進(jìn)行知識同類化和合理銜接。

1.分析邏輯起點(diǎn)，切準(zhǔn)學(xué)習(xí)要點(diǎn)

本課時(shí)的邏輯起點(diǎn)：二年級上冊探索了用非0的3個(gè)數(shù)字組合成兩位數(shù)，而第一課時(shí)用4個(gè)數(shù)字（含0）組成兩位數(shù);學(xué)生已掌握固定十位法、固定個(gè)位法和調(diào)換位置法，且具備有序、全面思考的思維方式和不重復(fù)、不遺漏的思維路徑。關(guān)于組合知識的前期經(jīng)驗(yàn)，其實(shí)學(xué)生在一年級時(shí)就已有所接觸。

2.精準(zhǔn)把握學(xué)情，明確學(xué)習(xí)目標(biāo)

如何精準(zhǔn)把握學(xué)情，確定學(xué)習(xí)目標(biāo)？筆者認(rèn)為前測是行之有效的方法（前測題如下圖所示）。

學(xué)生的前測結(jié)果主要有三類表征方式：文字、圖形、符號。學(xué)生普遍采用固定上裝法或固定下裝法。

二、溝通聯(lián)系，在比較中讓思維更深入

習(xí)題之間的對比、溝通、聯(lián)系是問題信息傳遞、加工、整合的思維活動。在新課環(huán)節(jié)借助分析前測作品，暴露學(xué)生的思考過程，梳理有序經(jīng)驗(yàn)。

【片段一】分類比較，感悟搭配問題

師：觀察這兩幅作品，你有什么想說的？

生1：都是用文字寫出了搭配的方法。

生2：①號作品寫得不完整，而②號作品把6種方法都寫出來了。

師：我們再來聽聽③號和④號作品作者的想法。

生3（③號作品作者）：寫字太麻煩了，我用圖來表示，1件上裝可以搭配3件下裝。

生4（④號作品作者）：我也是這么想的，但我用連線的方法，共有6種搭配方法。

生5：雖然他們都是用畫圖的方法，但是很明顯④號作品的表達(dá)更完整，而且非常有序！

師：“有序”這個(gè)詞特別好！做到有序就會……

生（齊）：不遺漏。（板書：有序、不遺漏）

生6：我覺得畫圖比寫字更費(fèi)時(shí)間，用文字再加連線，一共也是6種方法。

生7：我的方法更簡便。上裝有2件就表示為①和②，下裝有3件表示為A、B、C，然后再連線，就能知道有6種方法，可以用算式2×3=6（種）表示。

師：這些方法有什么相同與不同之處？

生8：表達(dá)方式不同。除了①號作品有遺漏，其他5種的結(jié)果都是一樣的，都很有順序。

師：這些方法中你最喜歡哪一種？為什么？

生9：⑥號，因?yàn)樗詈啙嵜髁耍?/p>

上教學(xué)片段中，比較第一組的兩幅作品，發(fā)現(xiàn)②號作品不僅完整而且有序;第二組作品雖然都是用畫圖的方法，但比較一下便可發(fā)現(xiàn)④號作品雖然只是加了連線，可明顯比③號更加清晰，一目了然;而第三組作品中雖然兩幅作品看著都很簡單明了，但是通過比較便可發(fā)現(xiàn)，⑥號作品比⑤號作品用符號和連線更簡單了，最后同屏溝通6幅作品。如此，通過一次次的溝通聯(lián)系，學(xué)生就能感受符號的簡潔性、高效性。

三、動作表征，在遷移中讓思維更全面

教師向?qū)W生提供充分經(jīng)歷數(shù)學(xué)活動的機(jī)會，幫助他們在自主探究、合作交流的過程中，真正理解掌握最基本的數(shù)學(xué)知識與技能、數(shù)學(xué)思想與方法，從而獲得廣泛的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)。

【片段二】動手操作，探究搭配問題

[下裝只能各穿1件。一共有幾種搭配方法？

活動要求：

1.擺一擺：用最簡潔的方法記錄下來。

2.算一算：計(jì)算出一共有幾種搭配方法。

3.說一說：同桌互相說一說算式的意思。][有3件上裝? ? ? ? ? 、? ? ? ? ? ?和? ? ? ?， 3件下裝? ? ? ? ? 、? ? ? ? ?和? ? ? 。每次上裝和] [有3件上裝? ? ? ? ? 、? ? ? ? ? ?和? ? ? ?， 3件下裝? ? ? ? ? 、? ? ? ? ?和? ? ? 。每次上裝和]

生10：上裝用①、②、③表示，下裝用④、⑤、⑥表示，然后①分別和④、⑤、⑥搭配，有3種。同理，②分別和④、⑤、⑥搭配，③分別和④、⑤、⑥搭配，這樣一共有9種。（如下左圖）

師：編號的方法很好，誰能在此基礎(chǔ)上改進(jìn)一下？

生11：上裝和下裝是兩類東西，可以用不同的符號表示。上裝用①、②、③表示，下裝用A、B、C表示。（如上右圖）這樣，一共有3個(gè)3，3×3=9（種）。

【片段三】借助表格，探究規(guī)律

有幾件上裝就有幾個(gè)3

[上裝的件數(shù) 1 2 3 4 …… A 搭配的方法 1個(gè)3 2個(gè)3 3個(gè)3 4個(gè)3 …… A個(gè)3 搭配的種數(shù) 1×3=3 2×3=6 3×3=9 4×3=12 …… A×3 ]

有幾件下裝就有幾個(gè)3

[下裝的件數(shù) 1 2 3 4 …… B 搭配的方法 1個(gè)3 2個(gè)3 3個(gè)3 4個(gè)3 …… B個(gè)3 搭配的種數(shù) 1×3=3 2×3=6 3×3=9 4×3=12 …… B×3 ]

有幾件上裝就有幾個(gè)B

[上裝的件數(shù) 1 2 3 …… A 搭配的方法 1個(gè)B 2個(gè)B 3個(gè)B …… A個(gè)B 搭配的種數(shù) 1×B 2×B 3×B …… A×B ]

有幾件下裝就有幾個(gè)A

[下裝的件數(shù) 1 2 3 …… B 搭配的方法 1個(gè)A 2個(gè)A 3個(gè)A …… B個(gè)A 搭配的種數(shù) 1×A 2×A 3×A …… B×A ]

學(xué)生通過動手操作，以“擺”助思，在“擺”中發(fā)現(xiàn)規(guī)律。借助表格，從形到數(shù)，再從數(shù)到算式，理解搭配問題的方法就是思考幾個(gè)幾。通過改變某個(gè)搭配要素的數(shù)量，從而觀察增加幾個(gè)幾，進(jìn)一步加深對搭配問題的理解。通過這種由靜態(tài)到動態(tài)的表征方式，搭配問題的方法不斷遷移，讓學(xué)生的思維更全面。

四、類比融通，在建模中讓思維更合理

有效的變式素材有利于學(xué)生掌握數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)屬性。

【片段四】聯(lián)系生活，建構(gòu)模型

1.早餐中的搭配問題（教材原題，圖略）。

師：下面的早餐有多少種不同的搭配方案呢？

生12：2×4=8（種）。1杯豆?jié){搭配4種不同的點(diǎn)心，1杯牛奶搭配4種不同點(diǎn)心，相當(dāng)于有2個(gè)4。

生13：1種點(diǎn)心搭配2種不同的飲料，有4種不同點(diǎn)心，就有4個(gè)2，4×2=8（種）。

2.走路中的搭配問題（教材改編習(xí)題）。? ? ?[家和學(xué)校中間有一個(gè)公園，從家到公園有4條路線，從公園到學(xué)校有3條路線，從家到學(xué)校一共有幾條路線呢？]

生14：4+3=7（條）。

生15：應(yīng)該是4×3=12（條）。

師：你們覺得誰的答案是對的？為什么？

生16：我認(rèn)為生15的是對的。因?yàn)槁斅敿业焦珗@有4條路，公園到學(xué)校有3條路，所以是4×3=12（條）。

生17：用①、②、③、④分別表示聰聰家到公園的路線，用A、B、C表示公園到學(xué)校的3條路線。用線連一連，有12條。

回歸生活情境，進(jìn)一步加深對搭配問題的理解。吃早餐問題中搭配數(shù)量變了，由此可以進(jìn)一步理解幾個(gè)幾的含義。路線問題將搭配要素隱藏在題目信息中，需要學(xué)生深入思考、判斷，并感受與之前搭配問題的聯(lián)系，從而讓理解更深入，真正做到類比融通。

五、拓展延伸，在深思中讓思維更通透

不同習(xí)題表述同一知識點(diǎn)的效果不同，同一習(xí)題以不同的方式組織，也會產(chǎn)生不同的效果。

【片段五】拓展延伸，思維提升

[有2件上裝、3件下裝和2雙鞋子。每次上裝和下裝只能各穿1件，鞋子也只能穿1雙，一共有（ ）種穿法。 ]

生18：2件上裝和3件下裝一共可以`搭配6種，增加2雙鞋子，相當(dāng)于增加了2個(gè)6種，所以一共有12種穿法。

從兩類搭配提升到三類，甚至是n類搭配，通過有序連線法將n類物品的搭配問題轉(zhuǎn)化成兩類物品的搭配問題，幫助學(xué)生推導(dǎo)出解決多類搭配問題的模型。這樣的拓展延伸，打破了學(xué)生用兩種搭配要素的數(shù)量相乘得出搭配總數(shù)的思維定式，進(jìn)一步凸顯了數(shù)學(xué)本質(zhì)，使學(xué)生的思維在深思中走向通透。

（責(zé)編 吳美玲）