數(shù)學(xué)基礎(chǔ)文化素質(zhì)課程教學(xué)探索

張峰 陶然

[摘 要] 集合論知識(shí)在數(shù)學(xué)體系中具有基礎(chǔ)性地位，是整個(gè)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。對(duì)各個(gè)專業(yè)的學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)基礎(chǔ)方面的教學(xué)，對(duì)于提高學(xué)生的文化素質(zhì)具有重要意義。通過(guò)設(shè)計(jì)相應(yīng)的課程教學(xué)策略，培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用集合論的基本原理思考和分析所從事專業(yè)當(dāng)中涉及的問(wèn)題，并能夠用集合論知識(shí)中所蘊(yùn)含的邏輯思維方法提升工程實(shí)際中數(shù)學(xué)描述和表達(dá)的深度與廣度。

[關(guān)鍵詞] 數(shù)學(xué)基礎(chǔ);集合論;文化素質(zhì);邏輯思維;教學(xué)實(shí)踐

[基金項(xiàng)目] 2020年度北京理工大學(xué)教改重點(diǎn)項(xiàng)目“新形勢(shì)下信息與通信工程研究生教育教學(xué)及國(guó)際化人才培養(yǎng)的改革探索”;2019年度北京理工大學(xué)信息與電子學(xué)院教改項(xiàng)目“信號(hào)分析和處理核心課程教學(xué)改革探索與實(shí)踐”

[作者簡(jiǎn)介] 張 峰（1981—），男，河南新鄉(xiāng)人，博士，北京理工大學(xué)信息與電子學(xué)院副教授，博士生導(dǎo)師，主要從事非平穩(wěn)信號(hào)處理、機(jī)器學(xué)習(xí)和數(shù)學(xué)基礎(chǔ)方面的研究;陶 然（1964—），男，安徽南陵人，博士，北京理工大學(xué)信息與電子學(xué)院教授，信息與通信工程、應(yīng)用數(shù)學(xué)雙學(xué)科博士生導(dǎo)師，主要從事復(fù)雜信息系統(tǒng)、信號(hào)與信息處理等科研領(lǐng)域和本碩博一體化貫通培養(yǎng)教學(xué)領(lǐng)域的研究。

[中圖分類號(hào)] G642.0? ? [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A? ?[文章編號(hào)] 1674-9324（2021）17-0104-04? ?[收稿日期] 2020-09-29

一、前言

本科人才培養(yǎng)是重點(diǎn)大學(xué)組成人才培養(yǎng)的部分，其中，課堂教學(xué)是本科人才培養(yǎng)的主渠道。如何提高本科教學(xué)質(zhì)量，是整個(gè)本科教學(xué)改革的關(guān)鍵。這其中涉及大學(xué)教育教學(xué)的方方面面，而培養(yǎng)學(xué)生的文化素質(zhì)、思維能力是關(guān)鍵的環(huán)節(jié)。

數(shù)學(xué)基礎(chǔ)在學(xué)生的文化素質(zhì)培養(yǎng)過(guò)程中，占有重要的地位。集合論知識(shí)作為數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，幾乎滲透到數(shù)學(xué)的所有方面。目前數(shù)學(xué)體系中的代數(shù)、分析、拓?fù)涠际且约险撝R(shí)作為基礎(chǔ)的。更為重要的是集合論知識(shí)的學(xué)習(xí)過(guò)程也是鍛煉思維能力的良好機(jī)會(huì)。通過(guò)集合論知識(shí)的學(xué)習(xí)，不僅可以夯實(shí)進(jìn)一步學(xué)習(xí)后續(xù)數(shù)學(xué)課程的基礎(chǔ)，了解已掌握數(shù)學(xué)知識(shí)背后的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，而且還可以將集合論知識(shí)中的邏輯思考方法應(yīng)用于生活和學(xué)習(xí)中的許多方面[1-6]。

通過(guò)集合論的學(xué)習(xí)，以集合論知識(shí)為基礎(chǔ)，可以連接信息、通信、雷達(dá)、導(dǎo)航、生物醫(yī)學(xué)、聲學(xué)、圖像、光學(xué)、模式識(shí)別、自動(dòng)控制、數(shù)學(xué)等多個(gè)領(lǐng)域和多個(gè)學(xué)科，進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注研究前沿和交叉學(xué)科，調(diào)動(dòng)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)積極性，努力培養(yǎng)他們的創(chuàng)新意識(shí)和獨(dú)立科研能力。打通以集合論為基礎(chǔ)知識(shí)的數(shù)學(xué)類課程在通識(shí)課程—專業(yè)課程—選修課程—科研創(chuàng)新—學(xué)位論文各個(gè)環(huán)節(jié)的通道，貫通本碩博知識(shí)體系。

目前國(guó)內(nèi)關(guān)于樸素集合論的課程設(shè)置方面，主要是在數(shù)學(xué)專業(yè)相關(guān)的課程中分布，沒(méi)有形成系統(tǒng)的專門(mén)課程講解樸素集合論，其他專業(yè)的學(xué)生更加難以接觸到系統(tǒng)的集合論知識(shí)。在講授方面，很多代數(shù)、分析、拓?fù)浞矫娴恼n程如果涉及集合論知識(shí)，也僅僅是用3學(xué)時(shí)左右的時(shí)間完成集合基本概念和性質(zhì)方面的講授，也就是說(shuō)只講授具體數(shù)學(xué)課程中所用到的一些集合論知識(shí)。

二、課程設(shè)計(jì)

（一）課程目標(biāo)和預(yù)期學(xué)習(xí)成果

通過(guò)課堂教學(xué)使學(xué)生掌握集合論的基本知識(shí)和數(shù)學(xué)的邏輯思維方法，，能夠應(yīng)用集合論的基本原理來(lái)思考和分析所從事專業(yè)當(dāng)中涉及的問(wèn)題，并能夠用集合論知識(shí)中所蘊(yùn)含的邏輯思維方法提升工程實(shí)際問(wèn)題中數(shù)學(xué)描述和表達(dá)的深度與廣度，培養(yǎng)學(xué)生深入思考的習(xí)慣。

通過(guò)集合論課程的學(xué)習(xí)，學(xué)生應(yīng)了解數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的發(fā)展史，了解不同數(shù)學(xué)分支的產(chǎn)生背景及它們之間的關(guān)系;掌握集合論的基本知識(shí)，能獨(dú)立完成課上布置的隨堂測(cè)驗(yàn)題目;可以依靠少量的知識(shí)點(diǎn)記憶，重點(diǎn)通過(guò)各個(gè)知識(shí)點(diǎn)之間的邏輯鏈條，把集合論課程所學(xué)的知識(shí)點(diǎn)串聯(lián)起來(lái)。培養(yǎng)數(shù)學(xué)的抽象和邏輯思維方法，并將這種思維方法應(yīng)用到所學(xué)具體專業(yè)中。

（二）課程內(nèi)容

1.數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的發(fā)展史。包括歐幾里得幾何、Peano自然數(shù)公理、ZFC集論。這一部分主要是對(duì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的發(fā)展史做一個(gè)介紹，使得學(xué)生了解數(shù)學(xué)基礎(chǔ)最初是從幾何學(xué)中起源的。在幾何學(xué)中，亞里士多德所建立的邏輯推理方法一直沿用至今。這其中，相對(duì)于幾何學(xué)，代數(shù)學(xué)發(fā)展較為緩慢，因?yàn)榇鷶?shù)學(xué)相對(duì)于幾何學(xué)而言，比較抽象。后來(lái)隨著解析幾何學(xué)的出現(xiàn)，代數(shù)學(xué)迎來(lái)了大發(fā)展。之后微積分的發(fā)明促使人們對(duì)日常使用的數(shù)系進(jìn)行邏輯上的考察，而其中的自然數(shù)起到基礎(chǔ)的作用。在各種數(shù)系通過(guò)邏輯建立的過(guò)程中，各種各樣的無(wú)限數(shù)集出現(xiàn)了，這就促進(jìn)了集合論的誕生，進(jìn)而也促進(jìn)了公理化集合理論的發(fā)展。

2.集合的定義與性質(zhì)，包括集合的基本運(yùn)算與恒等式。由于本課程講授的是樸素集合論，所以這一部分給出了集合的一些基本概念和性質(zhì)，其中，以集合代數(shù)為核心內(nèi)容。通過(guò)這一部分的學(xué)習(xí)，使學(xué)生了解集合的一些基本性質(zhì)，包括元素與集合的屬于關(guān)系、集合之間的包含關(guān)系，以及集合之間的交、并、補(bǔ)、積、冪運(yùn)算等。

3.關(guān)系，包括關(guān)系的定義與性質(zhì)、等價(jià)關(guān)系、偏序關(guān)系。關(guān)系是集合論中一個(gè)重要的基礎(chǔ)概念，它可以通過(guò)集合的乘積來(lái)定義。通過(guò)這一部分對(duì)關(guān)系的概念和性質(zhì)的介紹，使學(xué)生對(duì)關(guān)系的集合表示有所了解，熟練掌握常用到的等價(jià)關(guān)系和偏序關(guān)系，進(jìn)而會(huì)對(duì)“等價(jià)”和“排序”如何采用集合進(jìn)行合理的描述有了深刻的認(rèn)識(shí)。

4.映射，包括映射的定義與性質(zhì)、集合與映射。在集合論的體系內(nèi)完成映射的定義是非常重要的，這是由于映射就是函數(shù)，在整個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)中占有舉足輕重的地位。通過(guò)這一部分的學(xué)習(xí)，學(xué)生會(huì)對(duì)在其他課程中所學(xué)習(xí)到的諸如函數(shù)、變換、映射等概念有更加深刻的認(rèn)識(shí)，進(jìn)而熟練掌握映射中的單射、滿射、雙射。

5.勢(shì)與基數(shù)，包括集合的等勢(shì)與優(yōu)勢(shì)、集合的基數(shù)。通過(guò)前面集合論知識(shí)的鋪墊，這一部分對(duì)集合論的核心內(nèi)容勢(shì)和基數(shù)進(jìn)行初步的介紹。對(duì)于集合而言，抽象地看，集合所含元素的多少是一個(gè)基本的問(wèn)題。通過(guò)這一部分的學(xué)習(xí)，學(xué)生會(huì)了解集合之間所含元素多少的比較方法、無(wú)限集和有限集的不同點(diǎn)在哪里，以及無(wú)限集的本質(zhì)特點(diǎn)。

以上課程內(nèi)容涉及整個(gè)數(shù)學(xué)體系的介紹和具體集合論知識(shí)點(diǎn)的講解。其中包含了樸素集合論中最重要、最基本的知識(shí)，這些具體的知識(shí)考查以習(xí)題的形式進(jìn)行，從而定量分析學(xué)生對(duì)課上知識(shí)的掌握程度。熟練掌握這些知識(shí)會(huì)極大地促進(jìn)學(xué)生對(duì)已學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)的再認(rèn)識(shí)，極大地促進(jìn)對(duì)后續(xù)數(shù)學(xué)課程的理解。由于本課程除了講授集合論本身的知識(shí)外，在講授過(guò)程中處處體現(xiàn)數(shù)學(xué)的邏輯思維方法;因此，以上課程內(nèi)容的每一個(gè)部分都直接對(duì)應(yīng)和支撐本課程的預(yù)期學(xué)習(xí)成果，可以說(shuō)本課程內(nèi)容處處支撐了本課程的目標(biāo)。

有關(guān)本課程設(shè)計(jì)的課程目標(biāo)和課程內(nèi)容之間的關(guān)系如圖1所示。

（三）課程教學(xué)策略和考核辦法

為了使同學(xué)們熟練掌握集合論的知識(shí)，深入理解數(shù)學(xué)的邏輯思維方法，筆者在課程教學(xué)上采用了三方面的教學(xué)策略。

1.強(qiáng)化知識(shí)點(diǎn)之間邏輯鏈條的建立。當(dāng)學(xué)生對(duì)集合論的知識(shí)點(diǎn)掌握非常熟悉時(shí)，應(yīng)該可以形成一種近似于“無(wú)”的感覺(jué)，也就是說(shuō)感覺(jué)這些知識(shí)點(diǎn)都是連接緊密的，不需要記住很多東西，可以依靠各個(gè)知識(shí)點(diǎn)之間的邏輯鏈條，把各個(gè)知識(shí)點(diǎn)一一呈現(xiàn)出來(lái)。為了盡可能讓學(xué)生達(dá)到這種目標(biāo)，筆者在課程講授上非常注重邏輯鏈條的建立。比如，在課程一開(kāi)始就告訴學(xué)生，集合論的知識(shí)點(diǎn)不需要大家記太多，學(xué)習(xí)這門(mén)課程中的知識(shí)就好比數(shù)學(xué)歸納法中，只需要有一個(gè)n=1起點(diǎn)，并建立起n到n+1的邏輯鏈條，就可以把結(jié)論歸納到整個(gè)自然數(shù)集上。再比如，在講授集合在映射下的像與原像時(shí)，告訴學(xué)生這些定義都是自然的、顯然的，因?yàn)槎际抢^承集合在關(guān)系下的像這種運(yùn)算，當(dāng)掌握關(guān)系的幾種運(yùn)算后，由于映射是具有單值的關(guān)系，所以關(guān)系的運(yùn)算與性質(zhì)對(duì)于映射同樣有效。

2.融合知識(shí)點(diǎn)講解中的嚴(yán)謹(jǐn)性和通俗性。數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)強(qiáng)調(diào)其嚴(yán)謹(jǐn)性。為了學(xué)生方便理解相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，筆者在保證講解知識(shí)點(diǎn)嚴(yán)謹(jǐn)性的同時(shí)，也會(huì)通過(guò)類比自然生活中的例子進(jìn)行通俗的示例。比如，在講解等價(jià)關(guān)系時(shí)，先在嚴(yán)謹(jǐn)性方面說(shuō)明等價(jià)關(guān)系需要滿足自反性、對(duì)稱性、傳遞性;然后告訴學(xué)生這些都是顯然的，都可以從現(xiàn)實(shí)生活中找到例子。比如，在座的學(xué)生按照相同的姓氏關(guān)系，構(gòu)成一種等價(jià)關(guān)系，它顯然滿足自反性、對(duì)稱性、傳遞性，根據(jù)這三個(gè)性質(zhì)來(lái)定義等價(jià)關(guān)系是顯然的，也應(yīng)該這么做，如果是學(xué)生來(lái)定義等價(jià)關(guān)系，結(jié)合生活中的例子，也會(huì)這么定義。再比如，在講解集合列的上下極限時(shí)，除了給出其嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)定義外，也構(gòu)造生活中的例子進(jìn)行闡述，比如考慮在座的，假設(shè)有無(wú)限多個(gè)，將學(xué)生排成一行，假設(shè)他們參加某種考試，考試成績(jī)按照得滿分和沒(méi)得滿分標(biāo)記，則考查有無(wú)限個(gè)學(xué)生得滿分的情況和只有個(gè)別學(xué)生沒(méi)有得滿分的情況。通過(guò)這一類比，學(xué)生容易理解相關(guān)概念。

3.知識(shí)點(diǎn)講解中采用全程板書(shū)。為了促進(jìn)學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué)的思維方法，筆者采用全程板書(shū)的教學(xué)方法。筆者認(rèn)為，只有這樣才可以將授課教師對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)的思維方法，完全地、全程地展現(xiàn)給學(xué)生。同時(shí)，學(xué)生在一步一步的詳細(xì)數(shù)學(xué)推導(dǎo)中，可以與教師一同思考，加深學(xué)習(xí)印象;同時(shí)，獲得詳盡的數(shù)學(xué)邏輯思考方法和技巧，也避免了采用幻燈片講課，學(xué)生容易跟不上授課教師節(jié)奏的情況。此外，筆者也認(rèn)為，像這種非實(shí)驗(yàn)類課程，不僅是數(shù)學(xué)課的講授，包括工程應(yīng)用中的算法類課程，采用全板書(shū)的方法也更容易讓學(xué)生跟上授課教師的節(jié)奏，深入理解更多的知識(shí)點(diǎn)。比如在這門(mén)課程中，不僅是相關(guān)定義與性質(zhì)，包括各個(gè)性質(zhì)的證明、各個(gè)例題講解，都采用詳細(xì)板書(shū)的方法。

在考核辦法方面，本課程的考核包括平時(shí)作業(yè)、課程論文、出勤及課上表現(xiàn)。其中，平時(shí)作業(yè)不采用計(jì)算類作業(yè)，而是采用證明類作業(yè)這種開(kāi)放類作業(yè)，這樣可以從平時(shí)作業(yè)中定量評(píng)價(jià)和考查學(xué)生掌握相關(guān)知識(shí)的程度與邏輯思維能力。此外，課程講解完后，布置課程論文，該論文也是開(kāi)放性的課題，學(xué)生可以從所學(xué)知識(shí)的廣度上進(jìn)行，也可以從所學(xué)知識(shí)的深度上進(jìn)行。降低以往課程考核中的出勤率所占比重，增加了課上表現(xiàn)成績(jī)，通過(guò)鼓勵(lì)學(xué)生出勤，并且促進(jìn)學(xué)生在課上認(rèn)真聽(tīng)講，有所收獲。這些方面可以全面反映學(xué)生平時(shí)和整個(gè)學(xué)期掌握所學(xué)知識(shí)點(diǎn)的程度。

（四）課程評(píng)價(jià)

在課程整體上，課程設(shè)計(jì)了整個(gè)32學(xué)時(shí)的課程內(nèi)容，各個(gè)內(nèi)容之間通過(guò)嚴(yán)密的邏輯鏈條整合為一體，環(huán)環(huán)相扣。整個(gè)課程內(nèi)容的設(shè)計(jì)完全契合本課程所要達(dá)成的目標(biāo)。通過(guò)每章節(jié)結(jié)束后布置的課堂作業(yè)了解學(xué)生對(duì)具體內(nèi)容和數(shù)學(xué)思維方法的運(yùn)用情況。

在課程的學(xué)生個(gè)體上，課程評(píng)價(jià)緊密結(jié)合課程的考核方法，以了解學(xué)生達(dá)到課程設(shè)計(jì)目標(biāo)的程度。除了在平時(shí)作業(yè)中，實(shí)時(shí)掌握學(xué)生學(xué)習(xí)程度，在講授課程中，筆者也會(huì)在給出例題后，先讓學(xué)生思考1～3分鐘，然后在板書(shū)過(guò)程中，也時(shí)時(shí)提問(wèn)學(xué)生，采用啟發(fā)式的方法，引導(dǎo)學(xué)生積極思考。從授課教師與學(xué)生交互的過(guò)程中，評(píng)價(jià)學(xué)生對(duì)相關(guān)知識(shí)點(diǎn)的掌握程度。

三、課程特色

筆者所選的課程教學(xué)內(nèi)容取自于樸素集合論中最基本、最重要方面，這些知識(shí)也是筆者本人通過(guò)多個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)科中的知識(shí)總結(jié)凝煉出來(lái)的，并非直接取自某一門(mén)具體數(shù)學(xué)學(xué)科的知識(shí)。同時(shí)，筆者在對(duì)這門(mén)課程的理解和講授過(guò)程中，也形成了自己獨(dú)到的見(jiàn)解。由于筆者一直在電子信息領(lǐng)域?qū)W習(xí)和工作，充分理解工科學(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)的感覺(jué)，所以筆者更容易站在工程應(yīng)用領(lǐng)域研究人員的角度去講解純數(shù)學(xué)的思想。

四、課程實(shí)施效果

筆者開(kāi)設(shè)校文化素質(zhì)通識(shí)課的名稱為“集合論開(kāi)啟理性思維的鑰匙”。由于本門(mén)課程并不要求學(xué)生具備很多的數(shù)學(xué)知識(shí)，所以筆者設(shè)置的這門(mén)課程面向全校所有學(xué)院、所有年級(jí)開(kāi)設(shè)。選這門(mén)課程的學(xué)生很多是來(lái)自不同學(xué)院的“菁英班”“卓越班”“實(shí)驗(yàn)班”，以及“徐特立英才班”，包括數(shù)學(xué)菁英班、物理菁英班、理學(xué)與材料菁英班、徐特立英才班、電氣工程及其自動(dòng)化卓越班、經(jīng)濟(jì)管理試驗(yàn)班、電子信息實(shí)驗(yàn)班、電子信息全英文班等。

考慮到整個(gè)課程只有32學(xué)時(shí)，因此，筆者選取了樸素集合論中最重要、最基礎(chǔ)的部分進(jìn)行講授。這些集合論知識(shí)對(duì)于絕大多數(shù)學(xué)生將來(lái)的數(shù)學(xué)知識(shí)學(xué)習(xí)都是足夠用的。為了更好地體現(xiàn)數(shù)學(xué)的思維方法和規(guī)律，在每節(jié)課的講授過(guò)程中，筆者嘗試采用全程板書(shū)的教學(xué)方法，不采用任何輔助材料（比如幻燈片、教材等）。這樣操作更有利于學(xué)生從細(xì)節(jié)上、從整個(gè)過(guò)程中體會(huì)數(shù)學(xué)的思維方法和規(guī)律。這種方法受到了學(xué)生的熱烈歡迎。這種方法減少了學(xué)生的記憶材料，幫助學(xué)生利用邏輯鏈條把一個(gè)一個(gè)的知識(shí)點(diǎn)串起來(lái)，完成整個(gè)邏輯鏈條的建立，這就使得無(wú)論學(xué)生來(lái)自哪個(gè)學(xué)院、來(lái)自哪個(gè)年級(jí)、未來(lái)的目標(biāo)是什么，都可以從這門(mén)課程中收獲很多。

五、結(jié)論

筆者擬在后面的1～2輪次的授課過(guò)程中，強(qiáng)化課程特色，做到對(duì)數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生有聯(lián)系客觀實(shí)際的促進(jìn)，對(duì)工科專業(yè)的學(xué)生有實(shí)際應(yīng)用提煉數(shù)學(xué)思想的促進(jìn)，并將這門(mén)課程建設(shè)成精品課程。筆者認(rèn)為精品課程標(biāo)準(zhǔn)中，最重要的標(biāo)準(zhǔn)是學(xué)生的廣泛認(rèn)可。筆者也擬在課程內(nèi)容、評(píng)價(jià)方法等方面對(duì)本課程進(jìn)行持續(xù)改進(jìn)。

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Teaching Exploration of Cultural Quality Course in Mathematics Foundation

ZHANG Feng， TAO Ran

（School of Information and Electronic， Beijing Institute of Technology， Beijing 100081， China）

Abstract： Set theory knowledge has the basic position in mathematical system， and is the foundation of the entire mathematics. Teaching the foundation of the mathematics to students of different majors has great significance for improving their cultural literacy. Through the design of course teaching strategies， students are trained to apply the basic principles of set theory to think and analyze the problems involved in their majors， and to use the logical thinking methods contained in set theory knowledge to enhance the depth and breadth of the mathematical description and expression in practical engineering problems.

Key words： mathematical foundation; set theory; cultural literacy; logical thinking; teaching practice