注重直觀想象，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)

汪文飛

摘? 要：直觀想象是高中數(shù)學(xué)六大核心素養(yǎng)之一。培養(yǎng)直觀想象素養(yǎng)，能夠使學(xué)生養(yǎng)成運(yùn)用圖形和空間想象思考問題的習(xí)慣，提升數(shù)形結(jié)合的能力，建立良好的數(shù)學(xué)直覺，挖掘問題本質(zhì)，本文從實(shí)踐出發(fā)，在識(shí)圖、用圖、構(gòu)圖等環(huán)節(jié)滲透直觀想象素養(yǎng)的培育，并通過例題具體論述了直觀想象在函數(shù)、不等式、平面向量、立體幾何、解析幾何等問題中的應(yīng)用，說明培養(yǎng)直觀想象素養(yǎng)在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重要性。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué);核心素養(yǎng);直觀想象;數(shù)形結(jié)合

高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)修訂組的專家提出了高中數(shù)學(xué)學(xué)科的六大核心素養(yǎng)，直觀想象是其中重要的組成部分之一。仔細(xì)分析近幾年的浙江省高考試題，不難發(fā)現(xiàn)對(duì)直觀想象素養(yǎng)的考查上升到前所未有的高度。直觀想象是指借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態(tài)與變化，利用圖形理解和解決數(shù)學(xué)問題的過程。直觀想象是發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題的重要手段，是探索和形成論證思路、進(jìn)行數(shù)學(xué)推理、構(gòu)建抽象結(jié)構(gòu)的思維基礎(chǔ)。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中充分發(fā)揮直觀想象，可以讓學(xué)習(xí)過程具體、生動(dòng)、形象，更具韻味;這可以激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，從而提升學(xué)生的學(xué)科素養(yǎng)。

直觀想象主要包括：借助空間形式認(rèn)識(shí)事物的位置關(guān)系、形態(tài)變化與運(yùn)動(dòng)規(guī)律;利用圖形描述、分析數(shù)學(xué)問題;建立形與數(shù)的聯(lián)系，構(gòu)建數(shù)學(xué)問題的直觀模型，探索解決問題的思路。

對(duì)此，筆者的看法是：直觀想象就是要會(huì)看圖，會(huì)用圖，會(huì)畫圖，會(huì)想象圖形。下面，我就從這幾個(gè)方面來談?wù)勅绾闻嘤龑W(xué)生的直觀想象素養(yǎng)。

一、掌握?qǐng)D形性質(zhì)，提高識(shí)圖能力

圖形是數(shù)學(xué)的重要研究對(duì)象之一，因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，首先要培養(yǎng)學(xué)生對(duì)圖形的直觀洞察力，根據(jù)圖形中的已知信息向著結(jié)論進(jìn)行直觀化推理，探索出解題的思路。提高識(shí)圖能力，首先要養(yǎng)成正確的圖形觀察習(xí)慣;其次要善于獲取圖形的重要信息、挖掘圖形的隱含條件。當(dāng)然，對(duì)圖形性質(zhì)的理解是直覺產(chǎn)生的源泉，是直觀洞察力迸發(fā)的載體。直觀洞察力是在情境所展現(xiàn)的圖形信息被學(xué)生獲取后，能夠?qū)@取的信息與自己原有的知識(shí)體系建立相應(yīng)的關(guān)系，從而解決問題的一種能力。

例1：設(shè)函數(shù) ，則 的最小正周期（?? ）

A.與 有關(guān)，與 有關(guān)?? ???B. 與 有關(guān)，但與 無關(guān)

C. 與 無關(guān)，且與 無關(guān)??? D. 與 無關(guān)，但與 有關(guān)

分析：這是2016年浙江省高考題第5題的改編，考察學(xué)生對(duì)三角函數(shù)與絕對(duì)值函數(shù)圖象性質(zhì)的理解。絕對(duì)值里面這個(gè)函數(shù)的周期是定值 ，當(dāng) 時(shí)，里面這個(gè)函數(shù)的對(duì)稱中心在 軸上，加了絕對(duì)值之后，得到 的周期就變?yōu)?;當(dāng) 時(shí)，里面這個(gè)函數(shù)的對(duì)稱中心不在 軸上，加了絕對(duì)值之后，得到 的周期就依然為 。所以，與 有關(guān)，正確答案為D。

例2：函數(shù) （ ）的導(dǎo)函數(shù) 的圖象如圖1所示，則關(guān)于 的敘述正確的是（?? ）

A.一定無最小值???? B.存在 使得

C.一定有最大值???? D.存在 使得

分析：這是2017年浙江省高考題第7題的改編，考察導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)圖像之間的關(guān)系。導(dǎo)函數(shù)函數(shù)值的正負(fù)反映原函數(shù)的單調(diào)性，導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)和原函數(shù)的極值以及最值密切相關(guān)。

由此可見，基本圖形性質(zhì)理解與掌握是直觀洞察力的必要基礎(chǔ)，比如一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、絕對(duì)值函數(shù)等基本函數(shù)的圖像特征與性質(zhì)，就要要求學(xué)生熟練掌握。有了扎實(shí)的基礎(chǔ)，就可以利用圖形的對(duì)稱、平移、翻折等解決更復(fù)雜的問題。

二、理解問題本質(zhì)，強(qiáng)化用圖意識(shí)

數(shù)與形并不是對(duì)立的，而是在一定條件下可以實(shí)現(xiàn)相互轉(zhuǎn)化。數(shù)量關(guān)系獲得幾何解釋，可以使問題變得直觀易懂，幾何問題得到代數(shù)表示，可以使幾何直覺、合情推理等轉(zhuǎn)化為程序化操作的代數(shù)運(yùn)算，實(shí)現(xiàn)化難為易的目的，并使人獲得對(duì)問題的精確化、理性化的理解。

在數(shù)學(xué)解題過程中，導(dǎo)致解題過程繁瑣的很大一部分原因是對(duì)題意的理解不夠透徹，沒有深入到問題的本質(zhì)。教師在解題教學(xué)中應(yīng)當(dāng)盡可能直觀地分析解題思路，強(qiáng)化學(xué)生的用圖意識(shí)，有意識(shí)地將試題中代數(shù)形式的表象與直觀想象產(chǎn)生聯(lián)系，培養(yǎng)學(xué)生靈活使用直觀想象進(jìn)行解題的習(xí)慣。當(dāng)很難從題目字面上直接獲得解題的線索時(shí)，借助圖形很可能就容易找到問題的突破口。

例3：等腰直角 斜邊 上一點(diǎn) 滿足 ，將 沿 翻折至 ，使兩面角 為 ，記直線 ， ， 與平面 所成角分別為 ， ， ，則（??? ）

A.???????? B.

C.??????? D.

分析：這是浙江省2017年11月的學(xué)業(yè)水平考試第18題?？疾榈氖橇Ⅲw幾何的翻折問題，這對(duì)學(xué)生來說是一個(gè)難點(diǎn)，也經(jīng)常出現(xiàn)在選擇填空的壓軸題上。如圖2，要比較出這三個(gè)角的大小，就是要比較三條斜線在底面上的射影的長(zhǎng)短。又因?yàn)辄c(diǎn) 在底面上的射影 必然落在折線 上，且由條件可得到 ，所以，我們可以很直觀得得到 ，從而 。

例4：已知向量 ， 滿足 ， ，則 的最小值是________，最大值是_______.

分析：這是浙江省2017年高考題的第15題。學(xué)生拿到這個(gè)問題，還是比較蒙的，甚至感覺無從下手，其實(shí)要解決這道題首先要掌握 和 這組向量的幾何意義。主要解法有：

解法1： 和 就是以 ， 為鄰邊的平行四邊形的兩條對(duì)角線所對(duì)應(yīng)的向量。

如圖3， ， ，

則 ， ，設(shè) ， ，

則 ，

且由平行四邊形中對(duì)角形的長(zhǎng)度和鄰邊的長(zhǎng)的關(guān)系可得， ，

最后，利用線性規(guī)劃便可得到 。

解法2：如圖4， ， ， ，

則 ， ，由圖可得，

，

又 ，

所以 。

解法3： 如圖5，設(shè) ， ， ，

則 ， ，則點(diǎn) 在單位圓上，由圖可知，當(dāng)點(diǎn) 在 或 時(shí)， 取到最小值 ，當(dāng)點(diǎn) 在 時(shí)， 取到最大值，為該橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng) 。

除了這兩種解法，對(duì)于本道題，我們還可以用坐標(biāo)法和三角換元解決，也可以用三角不等式和柯西不等式等方法求解，這里就不一一分析。

解題過程中，學(xué)生經(jīng)常會(huì)遇到一些看似很新的題目，感覺很難找到解決問題的突破口，主要原因就是對(duì)一些數(shù)學(xué)結(jié)論的幾何意義理解的不夠透徹，或者對(duì)數(shù)學(xué)解題的思想方法總結(jié)的不到位。數(shù)學(xué)中的大部分概念、公式及定理等都有著數(shù)與形的雙重特征，通過建立數(shù)形之間的聯(lián)系來加強(qiáng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的認(rèn)識(shí)，從而在解題中起到化繁為簡(jiǎn)的作用。

三、加強(qiáng)畫法交流，構(gòu)造最佳圖形

直觀想象素養(yǎng)是一種圍繞幾何思維解決問題的能力素養(yǎng)。因此，圖形是直觀想象的基礎(chǔ)，數(shù)形結(jié)合思想是高中數(shù)學(xué)解決問題的重要思想之一。很多時(shí)候，往往是借助圖形，將代數(shù)問題幾何化，找到解決問題的方法。但如果我們所畫出的圖形不利于問題的直觀分析，或者在直觀化過程中存在問題，出現(xiàn)了科學(xué)性的錯(cuò)誤，那么數(shù)形結(jié)合就難以發(fā)揮它真正的作用。因此，如何借助直觀想象，構(gòu)造出有利于問題分析的最佳圖形，顯得尤為重要。

想要借助數(shù)形結(jié)合將復(fù)雜的問題簡(jiǎn)化，我們必須在腦中想象、分析解決問題所需的直觀角度，采用恰當(dāng)?shù)膱D形視角畫出圖形，才能提高解題的有效性。不同角度的圖形構(gòu)造對(duì)問題的直觀分析產(chǎn)生直接的影響。所畫圖形不同，解題的效率就大相徑庭。例如，用向量法解決立體幾何問題時(shí)，常常遇到空間直角坐標(biāo)系的建立問題，建立的位置不一樣，可能對(duì)處理問題的計(jì)算量影響很大。還有，部分立體幾何的相關(guān)試題沒有直接給出幾何圖形，需要學(xué)生自己繪制，比如題目要求繪制一個(gè)三棱柱，學(xué)生根據(jù)自己的思維習(xí)慣可能畫出圖6的兩種形式。究竟哪一種畫法更合適，可以讓學(xué)生在課堂上交流自己的作圖想法，然后教師根據(jù)作出最合點(diǎn)評(píng)，這樣有針對(duì)性地指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行圖形的繪制，不僅可以提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)習(xí)態(tài)度也有很大的幫助。

例5：已知函數(shù) 在定義域內(nèi)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù) 的取值范圍。

分析：函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題經(jīng)常借助圖象來解決。但處理的方法可以不同，對(duì)這道題，有些同學(xué)會(huì)去研究 的圖象與 軸的交點(diǎn)，從而借助導(dǎo)數(shù)去討論 的單調(diào)性。也可以將 轉(zhuǎn)化成 ，從而去研究 與 這兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)。還可以進(jìn)一步轉(zhuǎn)化成 ，再去研究 與常數(shù)函數(shù) 的圖象的交點(diǎn)。分析完之后，可以讓學(xué)生感受這三種做法的不同，從而體會(huì)畫出最佳圖形的重要性。

當(dāng)然，想要畫出完美圖形的前提是要畫出正確圖形。學(xué)生在借助數(shù)形結(jié)合解決數(shù)學(xué)問題的過程中，容易對(duì)題目的要求或都推理過程分析不夠透徹，而導(dǎo)致代數(shù)與幾何之前不等價(jià)轉(zhuǎn)化，這是解題時(shí)錯(cuò)誤產(chǎn)生的一重要原因。錯(cuò)誤產(chǎn)生的原因不盡相同，可能是直觀思維的不完整，也可能是定式思維的作用或畫圖時(shí)的疏忽，或者是對(duì)某數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)理解得不夠透徹。比如，畫函數(shù)圖象時(shí)，有些漸近線就不能忽視。不同的問題對(duì)圖形精確性的要求也不盡相同，有些問題只需畫出大概草圖便能直觀分析，有些則對(duì)圖形的精確性要求有著較高的要求。所以在圖形繪制時(shí)，需根據(jù)問題的要求，明確圖形所需的大致精確性。在進(jìn)行數(shù)形轉(zhuǎn)化的過程中，還需對(duì)畫圖的每一個(gè)環(huán)節(jié)進(jìn)行合情推理，分析圖形的合理性，避免科學(xué)性錯(cuò)誤的發(fā)生。

（一）善于歸納整理，牢記實(shí)用模型

解題并不是以獲得正確答案為最終目的，而是通過經(jīng)歷一道道題目的解決過程，歸納整理，總結(jié)反思，揭示本質(zhì)，從而獲得一類題目的解題思想與方法。因此，解題并不能停留在題目的表面，而是要深入其內(nèi)部，找到問題的源頭，進(jìn)而獲得直觀模型。

例6：如圖7，四棱錐 滿足： 平面 ， 平面 ， ， ，? ， ，則四棱錐 的體積最大值為

分析：此四棱錐的底面積已經(jīng)是個(gè)定值，要求體積的最大值，就是求點(diǎn)P到底面ABCD距離的最大值。由條件可得，平面 平面ABCD，故點(diǎn)P在底面ABCD內(nèi)的射影落在交線AB上，又因?yàn)?與 相似，故 ，所以點(diǎn) 的軌跡是阿波羅尼斯圓，從而很快可以得出此圓的半徑，這就是動(dòng)點(diǎn) 到底面 距離的最大值。本題的本質(zhì)就是考察動(dòng)點(diǎn)的軌跡，此類問題就要求學(xué)生平時(shí)善于總結(jié)，尤其是一些常用的模型最好要牢記并靈活運(yùn)用。還有，直線與圓錐曲線的綜合問題中，也有一些重要的結(jié)論，需要學(xué)生自己歸納總結(jié)，并熟練掌握。

例7：如圖8，已知直線與拋物線 交于A，B兩點(diǎn)，且 ， 交 于點(diǎn)D，點(diǎn)D的坐標(biāo)為 ，求 的值。

分析：這是選修2-1教材中第81頁復(fù)習(xí)參考題B組第3題，學(xué)生解決起來也是很困難，其實(shí)本題考查的就是一個(gè)重要結(jié)論，即直線與拋物線 交于 兩點(diǎn)，若 ，則直線 過定點(diǎn) ，再利用 便可得解。

直觀想象是對(duì)于數(shù)學(xué)對(duì)象的本質(zhì)進(jìn)行的直接把握，這種直接判斷建立在針對(duì)幾何圖形長(zhǎng)期有效的觀察、思考和總結(jié)的基礎(chǔ)之上，既有相對(duì)豐富的經(jīng)驗(yàn)積累，也有經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)之上的理性的概括和升華。因此，運(yùn)用直觀想象開展數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)需要平時(shí)不斷地潛移默化，積累經(jīng)驗(yàn)，最終實(shí)現(xiàn)運(yùn)用自如的目的。這就要求我們教師長(zhǎng)期不懈地探索、實(shí)踐和創(chuàng)新，教師要通過合適的學(xué)習(xí)任務(wù)、學(xué)習(xí)情景和學(xué)習(xí)活動(dòng)的創(chuàng)設(shè)，把數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的養(yǎng)成和發(fā)展，滲透、呈現(xiàn)在日常教學(xué)中，使常態(tài)教學(xué)和核心素養(yǎng)培養(yǎng)有機(jī)結(jié)合。

當(dāng)然，我們強(qiáng)調(diào)直觀想象在培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)中的地位和作用，但也要防止走向另一個(gè)極端。圖形揭示很直觀、生動(dòng)，但有時(shí)圖形也會(huì)欺騙我們的眼睛，“以理服人”是數(shù)學(xué)的精髓。即使是很直觀的結(jié)論，也還是需要老師們引導(dǎo)學(xué)生去進(jìn)行推理證明，通過邏輯推理的嚴(yán)謹(jǐn)去驗(yàn)證直觀想象的合理，讓學(xué)生體會(huì)直觀想象與邏輯推理相得益彰，這正是體現(xiàn)了數(shù)學(xué)學(xué)科六大核心素養(yǎng)既相對(duì)獨(dú)立，又相互交融，是一個(gè)有機(jī)的整體。

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