橢圓軌道欠驅(qū)動編隊重構最優(yōu)脈沖控制

黃 煦，王 健，龔秋武

(1. 清華大學精密儀器系，北京 100084；2. 火箭軍裝備部裝備項目管理中心，北京 100085；3. 中國酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心，酒泉 732750)

0 引 言

航天器編隊技術將傳統(tǒng)大型航天器的功能分布于一群近距飛行的小型低成本航天器，具有降低風險與成本、提高系統(tǒng)可靠性和任務靈活性等優(yōu)勢[1-2]。該技術可應用于在軌服務、對地觀測等空間任務[3-4]。其中，任務靈活性得益于航天器編隊構型的可重構能力[5]。編隊中的航天器可通過軌道機動的方式改變航天器之間的相對位置，以構成不同的編隊構型，從而適應不同的空間任務需求[6]。上述變換編隊構型的過程可定義為編隊構型重構。

針對編隊構型重構問題，國內(nèi)外研究人員采用偽譜法[7]、自適應控制[8]、滑模控制[9]以及模型預測控制[10]等方法，提出了編隊重構控制方案。例如，Wu等[7]采用Legendre偽譜法求解了連續(xù)小推力驅(qū)動的編隊重構最優(yōu)控制軌跡;Lee等[11]基于間接優(yōu)化方法解析推導了編隊重構問題的最優(yōu)近似解析解。上述控制方案多基于全驅(qū)動編隊動力學系統(tǒng)設計，即航天器徑向、跡向和法向均有獨立的控制通道。若控制器發(fā)生故障，導致某一方向的控制力缺失，則系統(tǒng)由全驅(qū)動系統(tǒng)降級為欠驅(qū)動系統(tǒng)，即系統(tǒng)位形自由度大于系統(tǒng)獨立控制數(shù)目的系統(tǒng)[12]。此時，上述全驅(qū)動控制方案不再適用，導致重構任務失效。解決推力器故障問題的直接方法是安裝備份推力器[13]。但是，編隊航天器多為小型低成本航天器，考慮到航天器的質(zhì)量約束與制造成本，更為經(jīng)濟有效的方法是設計欠驅(qū)動編隊重構控制器[14]。

Leonard等[15]提出了欠驅(qū)動編隊重構控制概念，并驗證了可行性。隨后，Kumar等[16]設計了適用于欠驅(qū)動編隊重構的線性反饋控制器。在此基礎上，王兆魁等[1]進一步設計了非線性滑?？刂破?，提高了欠驅(qū)動編隊重構控制系統(tǒng)對外部攝動的魯棒性。此外，Huang等[17-18]推導了圓軌道欠驅(qū)動編隊重構最優(yōu)解析解和欠驅(qū)動避撞控制策略。然而，現(xiàn)有欠驅(qū)動編隊重構方法多針對圓軌道設計，橢圓軌道的相關研究較少。Yin等[19]基于相對軌道要素法設計了橢圓軌道徑向欠驅(qū)動編隊重構控制策略。鐘都都等[14]分析了橢圓軌道徑向或跡向欠驅(qū)動編隊重構的可行性，并采用偽譜法求解了連續(xù)推力作用的最優(yōu)欠驅(qū)動重構控制軌跡?？梢园l(fā)現(xiàn)，現(xiàn)有相關研究多針對徑向欠驅(qū)動情況，對跡向欠驅(qū)動情況研究較少。同時，現(xiàn)有控制方案多采用連續(xù)推力，對脈沖控制方案研究較少。因此，本文針對橢圓軌道徑向或跡向欠驅(qū)動編隊重構最優(yōu)脈沖控制問題開展研究，分析兩類欠驅(qū)動情況下的系統(tǒng)能控性與重構可行性，推導最少脈沖次數(shù)，并求解對應的最優(yōu)脈沖控制律。

綜上，對比現(xiàn)有編隊重構控制方案，本文的不同與改進之處體現(xiàn)在：

1)與文獻[7-9]相比，本文提出的欠驅(qū)動編隊重構控制方案可有效避免由推力器故障引起的重構任務失效，并且減輕航天器質(zhì)量、降低航天器成本；

2)與文獻[1,5,13,15-19]相比，本文提出的欠驅(qū)動編隊重構控制方案可適用于橢圓軌道，并且適用于徑向和跡向欠驅(qū)動兩種工況；

3)與文獻[14,20]相比，本文提出的欠驅(qū)動編隊重構控制方案采用脈沖控制方式，并且對脈沖速度增量進行了優(yōu)化設計。相較于連續(xù)推力作用方式，脈沖作用方式更符合工程實際，且更容易操作實現(xiàn)。

1 動力學建模與分析

1.1 動力學模型

圖1 坐標系定義Fig.1 Definition of coordinate frames

(1)

其中:

(2)

(3)

式中:e為主航天器軌道偏心率，θ為主航天器真近點角。

注1.上述線性化假設對近距航天器成立。一般地，對于地球軌道，若航天器間的相對距離小于100 km，則由線性化假設引起的誤差小于0.03%[22-23]。因此，對于本文討論的編隊，航天器間的相對距離均保持在幾公里范圍之內(nèi)，上述線性化假設均成立。

1.2 系統(tǒng)能控性分析

(4)

其中:

(5)

(6)

式中:0a×b和Ia×b分別表示維數(shù)為a×b的零矩陣和單位矩陣。Ui為作用于從航天器的控制輸入，對于徑向欠驅(qū)動情況，U1=[Uy,Uz]T；對于跡向欠驅(qū)動情況，U2=[Ux,Uz]T。

定義坐標變換為[24]:

(7)

式中:p=1+ecosθ。

定義變量ξ對真近點角θ的導數(shù)為:

(8)

將式(7)代入式(8)中，可得:

(9)

(10)

式中:

(11)

(12)

(13)

式中:

(14)

(15)

1.3 重構可行性分析

在編隊重構任務中，初始時刻主、從航天器構成編隊構型I，從航天器通過軌道機動的方式，改變主、從航天器相對運動狀態(tài)，并在末端時刻與主航天器構成編隊構型II。對于橢圓軌道編隊，Inalhan等[26]基于線性相對運動方程式推導了周期性相對軌道條件，即構成編隊的主、從航天器相對運動狀態(tài)應滿足的約束。該約束條件如引理1所述。

引理1[26].假設主航天器運行于橢圓軌道，且軌道周期為T。若主、從航天器構成編隊，且相對軌道周期也為T，則主、從航天器在近地點處[θ(0)=0]的初始相對運動狀態(tài)應滿足:

(16)

根據(jù)能控性分析和引理1，推導得到重構可行性條件，并總結于如下定理。

定理1.徑向欠驅(qū)動時，橢圓軌道欠驅(qū)動編隊重構可行；跡向欠驅(qū)動時，橢圓軌道欠驅(qū)動編隊重構的可行前提條件為：

(17)

由引理1得，對于初始構型I和待重構的構型II，主、從航天器相對運動狀態(tài)均應滿足周期性相對軌道前提條件，即:

(18)

和

(19)

(20)

同理，由式(19)得，對于構型II，不可控狀態(tài)為:

(21)

2 最優(yōu)脈沖控制器設計

2.1 徑向欠驅(qū)動

定理2.徑向欠驅(qū)動時，完成法向編隊重構所需的最少法向脈沖次數(shù)為2次，第j次施加的法向脈沖ΔVzj如式(33)所示；完成軌道面內(nèi)編隊重構所需的最少跡向脈沖次數(shù)為4次，第j次施加的跡向脈沖ΔVyj如式(45)所示。

證.由式(4)得，法向相對運動與軌道平面內(nèi)相對運動解耦，且法向相對運動全驅(qū)動。因此，可單獨設計法向控制器與平面內(nèi)控制器。

(22)

式中:

(23)

假設控制方式為脈沖控制，則法向控制Uz在角域內(nèi)的表示為:

(24)

求解以上法向相對運動狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程，可得:

(25)

式中:Φn(θ,θ0)為狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣;Φnv(θ,θj)為狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣Φn(θ,θj)的第二列。Φn(θ,θ0)和Φnv(θ,θj)的表達式分別為:

(26)

式中:cβ=cosβ且sβ=sinβ。

(27)

上式為kn元一次方程組，未知數(shù)為θ1,θ2,…,θkn。當kn=2時，若rank(Fn)=2，則法向脈沖的解為:

(28)

(29)

在施加脈沖的瞬時，只改變航天器之間的相對速度，不改變相對位置，主航天器的真近點角不變。由式(25)得，在法向脈沖施加的前后瞬時，有:

(30)

角域與時域內(nèi)的相對速度轉(zhuǎn)換關系為:

(31)

同理，在時域內(nèi)，施加脈沖的前后瞬時，僅改變相對速度，不改變相對位置，即:

(32)

(33)

(34)

式中:

(35)

同理，假設跡向控制為脈沖控制，即:

(36)

式中:k1為跡向脈沖總數(shù)。

跡向脈沖作用下的軌道面內(nèi)相對運動方程為:

(37)

式中:Φ1為狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，Φ1v=Φ1(:,4)為狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣Φ1的第四列。狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣Φ1的表達式為:

(38)

其中:

Ψ1=

(39)

且

(40)

σ=h-3[E-E0-e(sinE-sinE0)]

(41)

式中:E為主航天器偏近點角，且E0為初始時刻偏近點角。

(42)

上式為k1元一次方程組，未知數(shù)為θ1,θ2,…,θk1。當k1=4時，若rank(F1)=4，則跡向脈沖的解為:

(43)

(44)

同理，第j次跡向脈沖的角域與時域描述之間的轉(zhuǎn)換關系為:

(45)

綜上，徑向欠驅(qū)動情況下，實現(xiàn)編隊重構的第j次跡向和法向脈沖分別如式(45)和式(33)所示。由式(43)和式(28)得，在一般情況下，完成軌道面內(nèi)編隊重構所需的最少跡向脈沖次數(shù)為4次，完成法向編隊重構所需的最少法向脈沖次數(shù)為2次。證畢。

定義每次施加的脈沖速度增量為:

(46)

(47)

取極小值。其中，跡向脈沖ΔVyj和法向脈沖ΔVzj分別由式(45)和式(33)確定。

至此，將徑向欠驅(qū)動編隊重構最優(yōu)四脈沖控制問題表述為如上所述的非線性規(guī)劃問題，可采用遺傳算法(Genetic Algorithm, GA)、模擬退火(Simulated Annealing，SA)算法以及粒子群優(yōu)化(Particle Swarm Optimization, PSO)算法等方法進行求解[27-28]。本文采用遺傳算法進行求解，有關遺傳算法的具體描述參見文獻[27,29]，不再贅述。

2.2 跡向欠驅(qū)動

定理3.跡向欠驅(qū)動時，完成法向編隊重構所需的最少法向脈沖次數(shù)為2次，第j次施加的法向脈沖ΔVzj如式(33)所示；完成軌道面內(nèi)編隊重構所需的最少徑向脈沖次數(shù)為3次，第j次施加的徑向脈沖ΔVxj如式(56)所示。

證.同理，跡向欠驅(qū)動條件下，法向相對運動與軌道平面內(nèi)相對運動解耦，且法向相對運動全驅(qū)動。因此，法向最優(yōu)脈沖控制器設計與徑向欠驅(qū)動情況相同，如式(33)所示。

(48)

其中:

(49)

假設徑向控制為脈沖控制，即:

(50)

式中:k2為施加的徑向脈沖總次數(shù)。

徑向脈沖作用下的平面內(nèi)相對運動方程為:

(51)

式中:Φ2為狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，Φ2v=Φ1(:,2)為狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣Φ2的第二列。狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣Φ2的表達式為:

(52)

式中:φab為矩陣Φ1中第a行第b列的元素。

(53)

上式為k2元一次方程組，未知數(shù)為θ1,θ2,…,θk2。當k2=3時，若rank(F2)=3，則跡向脈沖的解為:

(54)

(55)

同理，第j次徑向脈沖的角域與時域描述之間的轉(zhuǎn)換關系為:

(56)

因此，跡向欠驅(qū)動情況下，實現(xiàn)編隊重構的第j次徑向和法向脈沖分別如式(56)和式(33)所示。由式(54)和式(28)得，在一般情況下，完成軌道面內(nèi)編隊重構所需的最少徑向脈沖次數(shù)為3次，完成法向編隊重構所需的最少法向脈沖次數(shù)為2次。證畢。

因此，對于跡向欠驅(qū)動情況，本文考慮施加三次脈沖完成重構的情況，每次同時施加徑向和法向脈沖，即徑向脈沖和法向脈沖的次數(shù)均為3次。當最優(yōu)脈沖時刻θ1、θ2和θ3確定時，最優(yōu)徑向脈沖和法向脈沖可分別由式(54)和式(29)確定。綜上，將跡向欠驅(qū)動編隊重構最優(yōu)三脈沖控制問題總結如下。

定義跡向欠驅(qū)動時每次施加的脈沖速度增量為:

(57)

(58)

取極小值。其中，徑向脈沖ΔVxj和法向脈沖ΔVzj分別由式(56)和式(33)確定。同理，本文采用遺傳算法求解跡向欠驅(qū)動編隊重構最優(yōu)三脈沖控制問題。

3 仿真校驗

3.1 徑向欠驅(qū)動

假設主航天器運行于橢圓軌道，初始時刻軌道根數(shù)如表1所示。初始時刻，主、從航天器構成編隊I，其相對運動狀態(tài)為:

表1 主航天器初始時刻軌道根數(shù)Table 1 Initial orbital elements of the chief spacecraft

(59)

式中:相對位置的單位為m，相對速度的單位為m/s。將式(59)代入式(16)可以驗證，主、從航天器初始時刻相對運動狀態(tài)滿足橢圓軌道編隊構型條件。

給定末端時刻為tf=T，即θ(tf)=2π，其中，T為主航天器軌道周期。為完成編隊重構，要求在末端時刻tf建立編隊構型II，且其相對運動狀態(tài)為:

(60)

式中：相對位置的單位為m，相對速度的單位為m/s。同理，將式(60)代入式(16)可以驗證，主、從航天器末端時刻相對運動狀態(tài)滿足橢圓軌道編隊構型條件。

根據(jù)給定的仿真條件，采用遺傳算法，得到徑向欠驅(qū)動編隊重構最優(yōu)四脈沖控制結果，如表2所示，表中脈沖時刻tj表示軌道周期T。

表2 最優(yōu)脈沖時刻與速度增量(徑向欠驅(qū)動)Table 2 Optimal impulsive time and velocity increment (Ux = 0)

圖2 編隊重構軌跡Fig.2 Transfer trajectories of formation reconfiguration

圖3 相對速度變化軌跡(徑向欠驅(qū)動)Fig.3 Time histories of relative velocity (Ux = 0)

3.2 跡向欠驅(qū)動

仿真條件與徑向欠驅(qū)動情況保持不變。將式(59)和式(60)代入式(17)中，可以驗證構型I和構型II滿足跡向欠驅(qū)動編隊重構條件，即在缺失跡向推力的情況下，構型I和構型II仍可重構。

圖4 相對速度變化軌跡(跡向欠驅(qū)動)Fig.4 Time histories of relative velocity (Uy = 0)

表3 最優(yōu)脈沖時刻與速度增量(跡向欠驅(qū)動)Table 3 Optimal impulsive time and velocity increment (Uy = 0)

3.3 與全驅(qū)動最優(yōu)脈沖控制對比

為了驗證兩類欠驅(qū)動最優(yōu)脈沖控制器的控制性能，引入文獻[27]中的全驅(qū)動最優(yōu)脈沖控制器進行對比。全驅(qū)動條件下，完成編隊重構的最少脈沖次數(shù)一般為兩次[27]。本文考慮雙脈沖最優(yōu)編隊重構問題，仿真條件與欠驅(qū)動情況保持不變。采用遺傳算法求解得到的最優(yōu)雙脈沖控制結果見表4。

表4 最優(yōu)脈沖時刻與速度增量(全驅(qū)動)Table 4 Optimal impulsive time and velocity increment (Fully-actuated)

定義每次施加的脈沖速度增量為：

(61)

對應地，實現(xiàn)重構所需的總速度增量消耗為:

(62)

圖5 相對速度變化軌跡(全驅(qū)動)Fig.5 Time histories of relative velocity (Fully-actuated)

對比徑向欠驅(qū)動、跡向欠驅(qū)動以及全驅(qū)動脈沖控制結果可以發(fā)現(xiàn)，欠驅(qū)動脈沖控制器完成編隊重構控制任務所需的速度增量消耗與全驅(qū)動脈沖控制器類似，欠驅(qū)動因素并沒有導致控制能耗的增加。相反，欠驅(qū)動脈沖控制器可在徑向或跡向推力器故障的情況下完成編隊重構控制任務，提高了系統(tǒng)的靈活性與可靠性。但是，與全驅(qū)動脈沖控制器相比，欠驅(qū)動控制器完成重構所需的最少脈沖次數(shù)較多。

一般情況下，徑向和跡向欠驅(qū)動控制器所需的最少脈沖次數(shù)分別為4次和3次，而全驅(qū)動控制器僅需要2次脈沖。

3.4 與欠驅(qū)動最優(yōu)連續(xù)控制對比

為了對比脈沖推力與連續(xù)推力控制方法的控制性能，引入文獻[14]中的欠驅(qū)動編隊重構最優(yōu)連續(xù)推力控制器。同理，保持仿真條件不變，兩類欠驅(qū)動情況下的連續(xù)控制輸入軌跡如圖6所示。在連續(xù)推力作用下，兩類欠驅(qū)動情況的重構軌跡如圖2所示?？梢?，從航天器在連續(xù)推力作用下，完成了徑向或跡向欠驅(qū)動編隊重構。

圖6 控制輸入變化軌跡(連續(xù)推力)Fig.6 Time histories of control input (Continuous thrust)

定義連續(xù)推力作用下的速度增量消耗為:

(63)

3.5 與其它優(yōu)化算法對比

表5 不同算法的計算效率與計算結果Table 5 Computation efficiency and result of different algorithms

如表5所示，對于徑向或跡向欠驅(qū)動情況，三種優(yōu)化算法均可求解得到最優(yōu)脈沖控制結果。其中，GA和PSO算法的計算結果相同，且計算效率相當，均優(yōu)于SA算法。SA算法運行時間最長，且得到的最優(yōu)解次于其它兩種算法的最優(yōu)解。上述對比分析驗證了GA的計算效率與計算結果。

3.6 攝動影響分析

以徑向欠驅(qū)動情況為例，選取J2攝動，分析外部攝動對最優(yōu)脈沖控制結果的影響。同理，采用遺傳算法求解J2攝動條件下的最優(yōu)跡向和法向脈沖。不同的是，在優(yōu)化問題求解時，如式(1)所示的線性動力學方程需替換為J2攝動條件下的非線性動力學方程[30]。

假設主航天器近地點軌道高度為500 km，遠地點高度從500 km開始遞增，軌道長半軸和偏心率也隨之遞增，其余四個初始軌道根數(shù)(軌道傾角、升交點赤經(jīng)、近地點幅角、真近點角)保持不變，如表1所示。重構控制任務保持不變，主、從航天器初始與終端相對運動狀態(tài)如式(59)和式(60)所示，且末端時刻仍為一個軌道周期T。顯然，在近地點高度不變的情況下，遠地點高度越高，軌道周期越長。

圖7和圖8分別給出了無攝動和J2攝動條件下的重構需用跡向和法向脈沖。可見，當主航天器軌道偏心率較小時，無攝動和J2攝動下的最優(yōu)脈沖控制結果差異不大。但是，當偏心率增大至0.5以上，兩類條件下的最優(yōu)控制結果差異也隨之增大。由于在不同軌道偏心率情況下，重構任務的時間均為一個軌道周期，因此偏心率越大，軌道周期越長，重構任務時間也越長，導致線性無攝動模型對非線性J2攝動模型的近似誤差增大，兩類模型的計算結果差異也隨之增大。

圖7 跡向脈沖對比Fig.7 Comparisons of in-track control thrust

圖8 法向脈沖對比Fig.8 Comparisons of normal control thrust

綜上，當重構任務歷時較短時，線性無攝動模型對非線性J2攝動模型的近似誤差較小，得到的最優(yōu)脈沖控制結果精度也較高；反之，當重構任務歷時較長時，線性無攝動模型對非線性J2攝動模型的近似誤差較大，導致最優(yōu)脈沖控制結果精度降低。因此，在進行欠驅(qū)動重構控制設計時，若重構任務時間較長，應考慮外部攝動作用，提高控制精度。

4 結 論

對于橢圓軌道欠驅(qū)動編隊重構問題，本文提出了最優(yōu)脈沖控制方法。徑向欠驅(qū)動情況下，編隊重構動力學系統(tǒng)完全可控，編隊重構仍可行；跡向欠驅(qū)動情況下，編隊重構動力學系統(tǒng)非完全可控，編隊重構條件可行，可行前提條件為不同構型中主、從航天器的初始徑向相對位置相等。根據(jù)理論分析與數(shù)值仿真結果，總結得出以下結論：

1)一般情況下，徑向欠驅(qū)動時，完成橢圓軌道編隊重構所需的最少脈沖次數(shù)為4次；跡向欠驅(qū)動時，最少脈沖次數(shù)為3次；

2)與全驅(qū)動最優(yōu)脈沖控制策略相比，本文提出的欠驅(qū)動策略可完成同樣的編隊重構任務，并且保持與全驅(qū)動策略類似的控制性能，從而有效避免由推力器故障引起的重構任務失效；

3)與欠驅(qū)動最優(yōu)連續(xù)控制策略相比，本文提出的脈沖控制策略可在更少燃耗的條件下完成編隊構型重構。