淺談初中數(shù)學(xué)勾股定理的拓展教學(xué)

■甘肅省張掖市高臺(tái)縣第二中學(xué) 方海國(guó)

一、勾股定理拓展教學(xué)的作用

在初中勾股定理教學(xué)中，教師可以對(duì)其進(jìn)行適當(dāng)?shù)耐卣菇虒W(xué)，讓學(xué)生對(duì)勾股定理具有更深的了解，從而幫助學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)這門學(xué)科具有更深的認(rèn)知，也能夠讓學(xué)生明白與其相關(guān)的知識(shí)點(diǎn)，豐富學(xué)生的大腦，提高學(xué)生的發(fā)散性思維，有利于學(xué)生日后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和思考。還可以幫助學(xué)生對(duì)勾股定理進(jìn)行證明，讓學(xué)生知其然，亦知其所以然。如果學(xué)生只會(huì)應(yīng)用前人的數(shù)學(xué)研究成果，而沒(méi)有學(xué)會(huì)如何研究，這不但不會(huì)促進(jìn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的進(jìn)步，反而會(huì)造成數(shù)學(xué)研究的退步。因此，數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)要從基本知識(shí)下手，這樣才能夠逐漸提高學(xué)生的數(shù)學(xué)研究能力。通過(guò)對(duì)勾股定理應(yīng)用的拓展，能夠讓學(xué)生明白數(shù)學(xué)不是簡(jiǎn)單地進(jìn)行學(xué)習(xí)，而是要在現(xiàn)實(shí)生活中多應(yīng)用，從而增加學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的樂(lè)趣，促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)和研究數(shù)學(xué)知識(shí)。

二、勾股定理知識(shí)拓展

勾股定理指的就是在直角三角形中，兩個(gè)直角邊的平方和等于斜邊的平方。在初中數(shù)學(xué)教材中論述的是直角三角形中三條邊之間的關(guān)系，那么與直角三角形三條邊相關(guān)的面積是怎樣的呢？下面讓我們一起來(lái)探索。教師通過(guò)多媒體設(shè)備與大屏幕進(jìn)行連接，在PPT中展示了格子圖形，并且在其中畫(huà)了一個(gè)直角三角形，并與學(xué)生進(jìn)行互動(dòng)。教師：“同學(xué)們，我們都知道直角三角形三條邊之間的關(guān)系，那么與三條邊相關(guān)的面積是何種關(guān)系呢？”學(xué)生們陷入了沉思，教師將直角三角形中的每一條邊都當(dāng)作三角形的底邊，然后做一個(gè)等腰三角形，如右圖所示：

為了更好地讓學(xué)生進(jìn)行研究，教師將班級(jí)學(xué)生進(jìn)行分組，四個(gè)人為一組進(jìn)行組內(nèi)學(xué)習(xí)和討論，討論通過(guò)直角三角形的三條邊做出的等腰三角形是什么關(guān)系。在學(xué)生討論的過(guò)程中，教師應(yīng)該仔細(xì)觀察學(xué)生的討論，看看每個(gè)人在討論時(shí)是如何闡明自身觀點(diǎn)的，從而判斷出哪些學(xué)生具有非常好的數(shù)學(xué)思維，然后可以多多與之交流和研究，也許會(huì)有新一代的數(shù)學(xué)家誕生。教師看到很多學(xué)生都在運(yùn)用三角形面積公式在來(lái)回推導(dǎo)，最后發(fā)現(xiàn)都無(wú)法證明三個(gè)三角形之間的關(guān)系。這時(shí)，教師對(duì)學(xué)生們說(shuō)：“如果沒(méi)有快捷的方法去證明三個(gè)三角形之間的關(guān)系，我們可以運(yùn)用比較笨拙的方法去進(jìn)行計(jì)算，因?yàn)閳D形是在格子圖形中進(jìn)行繪畫(huà)的，我們數(shù)一數(shù)格子的數(shù)量，不就能夠明確三者之間的關(guān)系了嘛?！睂W(xué)生通過(guò)細(xì)心地觀察和計(jì)算，發(fā)現(xiàn)兩個(gè)直角邊所形成的等腰三角形面積之和等于斜邊形成的等腰三角形面積。通過(guò)此勾股定理知識(shí)拓展可以讓我們明白，有時(shí)候數(shù)學(xué)的驗(yàn)證運(yùn)用笨方法解題反而會(huì)更加簡(jiǎn)單，學(xué)生應(yīng)該視情況而定，靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)方法去進(jìn)行數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決，從而提高解題速率。在直角三角形的邊上做圖形是在二維層面上進(jìn)行證明，如果引申為三維立體圖形，那么它們之間又有什么關(guān)系呢？我們可以將直角三角形的三條邊分別作為正方體的邊長(zhǎng)來(lái)做一個(gè)空間三維圖形，如右圖所示：

教師：“同學(xué)們，我們首先來(lái)探究它們表面積之間的關(guān)系，看一下是否滿足兩個(gè)直角邊所形成的正方體表面積之和是否與斜邊為棱長(zhǎng)的正方體表面積，那么如何才能夠計(jì)算出它們的表面積呢？”很多學(xué)生表示通過(guò)數(shù)格子來(lái)進(jìn)行表面積的計(jì)算。教師：“數(shù)格子可以用于二維圖形的面積計(jì)算，但是此為三維立體結(jié)構(gòu)，無(wú)法運(yùn)用查格子的形式進(jìn)行表示，有哪位同學(xué)能夠證明?。俊睂W(xué)生1：“老師，直角三角形的三邊長(zhǎng)分別是a、b、c，那么我們就能夠知道正方體的棱長(zhǎng)，正方體一個(gè)面的面積為棱長(zhǎng)的平方，每個(gè)正方體都有6個(gè)面，那么三個(gè)立方體的表面積為6a2、6b2、6c2，而且我們知道a2+b2=c2，所以6a2+6b2=6c2?！苯處煟骸凹热晃覀冏C明了正方體表面積之間也是兩個(gè)小正方體的表面積之和等于第三邊，那么它們的體積是否也符合這個(gè)規(guī)律呢？”學(xué)生2：“它們的體積分別是a3、b3、c3，我們無(wú)法證明a3+b3=c3。”在進(jìn)行勾股定理知識(shí)拓展的過(guò)程中，教師從直角三角形的三條邊的關(guān)系拓展到二維平面關(guān)系，然后再由二維平面關(guān)系拓展到三維立體圖形的表面積和體積之間的關(guān)系，從而能夠在學(xué)生的大腦中形成科學(xué)的思考方式，有利于幫助學(xué)習(xí)樹(shù)立全面思考的數(shù)學(xué)觀念，同時(shí)也讓學(xué)生學(xué)會(huì)了更多的數(shù)學(xué)證明方法，有利于學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升。

三、勾股定理方法拓展

初中數(shù)學(xué)教材中教師只是教授學(xué)生如何運(yùn)用勾股定理進(jìn)行解題，通過(guò)正向思維和反向思維來(lái)培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維，但是并沒(méi)有告訴學(xué)生該如何去推導(dǎo)勾股定理，學(xué)生只明白有這個(gè)定理的存在，卻不知道是如何得來(lái)的。在進(jìn)行拓展教學(xué)的過(guò)程中，教師應(yīng)該針對(duì)勾股定理的推導(dǎo)方法進(jìn)行教學(xué)講解，從而讓學(xué)生明白勾股定理是真實(shí)存在的，是經(jīng)過(guò)推理而得來(lái)的，從而可以增加學(xué)生對(duì)勾股定理的信心，明白數(shù)學(xué)家是多么智慧，才能夠想到這樣的方法進(jìn)行推理，有利于激發(fā)學(xué)生們研究數(shù)學(xué)的欲望。

首先，畫(huà)出一個(gè)直角三角形ABC，AB是它的斜邊，而B(niǎo)C和AC為直角邊。并且已知AB的長(zhǎng)度為c，BC的長(zhǎng)度為a，而AC的長(zhǎng)度為b。這時(shí)候，我們?cè)谛边匒B上取一個(gè)點(diǎn)D，使得BD=BC，并且在斜邊AB的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)E，使BE=BD。然后以B點(diǎn)為圓心，BD為半徑做一個(gè)圓，如右圖所示：

因?yàn)槿切螢橹苯侨切?，所以我們能夠知道BC是垂直于AC的，所以AC為圓的切線。根據(jù)我們學(xué)習(xí)過(guò)的切割線定理可以得出AC2=AE?AD=(AB+BE)(AB-BD)=(c+a)(c-a)=c2-a2=b2。所以可以證明勾股定理為a2+b2=c2。

這個(gè)數(shù)學(xué)定理推導(dǎo)如果不給學(xué)生提示，學(xué)生是無(wú)論如何也想不到要做一個(gè)輔助圓來(lái)進(jìn)行證明的。教師通過(guò)此過(guò)程的推理，能夠讓學(xué)生明白數(shù)學(xué)定理的推導(dǎo)需要具有非常多的數(shù)學(xué)知識(shí)為基礎(chǔ)才能夠進(jìn)行證明，從而促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)學(xué)習(xí)的渴望，有利于學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。

四、勾股定理應(yīng)用拓展

數(shù)學(xué)是自然科學(xué)的一種，數(shù)學(xué)的研究主要是為了解決現(xiàn)實(shí)生活中的問(wèn)題才被人研究。勾股定理在現(xiàn)實(shí)生活中具有非常重要的應(yīng)用，比如在建筑工程中，很多時(shí)候需要判斷墻面與地面是否垂直。這時(shí)候我們可以通過(guò)米尺在墻面上準(zhǔn)確測(cè)量出30cm的距離，并進(jìn)行標(biāo)記，然后在地面上測(cè)量40cm的距離，同樣進(jìn)行標(biāo)記。然后用米尺測(cè)量?jī)蓚€(gè)標(biāo)記點(diǎn)之間的距離是否為50cm，如果測(cè)量結(jié)果為50cm，可以證明墻面與地面是真正的垂直關(guān)系，如果中間有一些偏差，我們可以知道墻面與地面不垂直。因此，勾股定理在工程建筑中的作用非常大。除此之外，修井、造車、建房等都需要運(yùn)用到勾股定理。教師通過(guò)對(duì)勾股定理的應(yīng)用進(jìn)行拓展，能夠讓學(xué)生明白數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)是十分有意義的，我們應(yīng)該學(xué)以致用，正確運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)去更好地建設(shè)我們的祖國(guó)。

五、結(jié)語(yǔ)

綜上所述，勾股定理拓展教學(xué)具有非常重要的作用，不但能夠讓學(xué)生進(jìn)行勾股定理的應(yīng)用，還能夠讓學(xué)生明白勾股定理是怎樣去進(jìn)行證明的，了解與之相關(guān)的知識(shí)點(diǎn)以及在現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用。勾股定理拓展教學(xué)旨在讓學(xué)生明白數(shù)學(xué)具有非常強(qiáng)的應(yīng)用型，數(shù)學(xué)定理也都是為現(xiàn)實(shí)所服務(wù)的，同時(shí)還能幫助學(xué)生提高自身的數(shù)學(xué)思維，有利于學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)這門學(xué)科的深層次認(rèn)知。