借助幾何直觀，促進數(shù)學(xué)理解

蘇 婭

[摘? 要] 幾何直觀理念對學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)具有重要價值，可以將抽象的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為直觀感知，促進數(shù)學(xué)理解，由此提出借助幾何直觀優(yōu)化數(shù)學(xué)教學(xué)的路徑與方法。文章主要結(jié)合多個案例，具體談?wù)勗跀?shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)用幾何直觀的教學(xué)心得。

[關(guān)鍵詞] 幾何直觀;數(shù)學(xué)理解;直觀

縱觀小學(xué)數(shù)學(xué)教材中所呈現(xiàn)的情境，吸引學(xué)生眼球的精美畫面比比皆是，無一不是直觀的象征，使得抽象的數(shù)學(xué)知識生動化、直觀化和形象化。這些情境的創(chuàng)設(shè)迎合了小學(xué)生的年齡特征，促進了小學(xué)生的數(shù)學(xué)理解。數(shù)學(xué)家徐利治指出：幾何直觀是借助已見到或想到的幾何圖形的形象關(guān)系產(chǎn)生對數(shù)量關(guān)系的直接感知 [1]。由此可見，幾何直觀理念對學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)具有重要價值，可以表征問題的成分和結(jié)構(gòu)，可以將抽象的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為直觀感知，促進數(shù)學(xué)理解。那么，數(shù)學(xué)教學(xué)中如何借助幾何直觀促進學(xué)生的數(shù)學(xué)理解呢？本文結(jié)合案例從以下方面具體闡釋。

一、借助幾何直觀刻畫問題——以“形”思“形”

幾何圖形源于人們的現(xiàn)實生活之中，充分利用好學(xué)生身邊熟悉的生活素材，引導(dǎo)學(xué)生去以“形”思“形”，既可幫助學(xué)生快速而準(zhǔn)確地抽象得出幾何基本圖形，又能更好地理解和應(yīng)用數(shù)學(xué)。

案例1? 長方體和正方體的認(rèn)識

師：大家看，這是什么？（多媒體呈現(xiàn)）

生（齊）：土豆。

師：不錯，這就是一個土豆。現(xiàn)在我們一起來切土豆，好嗎？

師：先切一刀，大家請看。（多媒體演示）大家看，感受一下這個新切的面，和切之前相比有何不同？

生1：新切出來的面平平的。

師：平平的，非常貼切，我們就稱它為“平面”。再沿著豎直方向切一刀（繼續(xù)演示），又有什么變化？

生2：新切的兩個面之間有了一條邊。

師：觀察很仔細(xì)，這條邊就是“棱”，也就是兩個面相交的那條線就是棱。下面，我們繼續(xù)沿著豎直方向再切一刀，這一次又有什么變化？（多媒體演示）

生3：多了兩條邊。

生4：不，是兩條棱。

師：很好！還多了什么？

生5：多了一個頂點。

師：那這個頂點有幾條棱相交呢？

生6：3條。

師：因此，三條棱相交的點叫作——頂點。

師：我們一起再切三刀，現(xiàn)在得到了什么？（繼續(xù)演示）

生7：長方體。

師：那這個長方體一共有幾條棱？幾個面？幾個頂點？我們一起把長方體學(xué)具拿出來，數(shù)一數(shù)吧！（學(xué)生拿出學(xué)具開始逐一數(shù)起來）

師：下面誰來說說你的結(jié)論呢？

生8：一共有8個頂點，6個面和12條棱。

師：6個面，怎么得出的呢？

生8：上、下;前、后;左、右。（舉起小長方體對應(yīng)解說）

師：她數(shù)的方法真不錯，她是怎么數(shù)的？

生9：一對一對地數(shù)的。

師：很好，上和下、前和后、左與右一共有3對兩兩相對的面。那12條棱該如何數(shù)？

生9：可以4條棱一起數(shù)。

師：據(jù)以上的方向，可以分為幾組呢？哪位同學(xué)來數(shù)一數(shù)。

生10：上和下、前和后、左與右各4條（學(xué)生舉起小長方體細(xì)致地解說）。

師：通過剛才的學(xué)習(xí)，我們有了哪些發(fā)現(xiàn)，我們一起來讀一讀。（多媒體展示發(fā)現(xiàn)，學(xué)生一起讀）

教學(xué)中，應(yīng)注重引導(dǎo)學(xué)生將生活中對圖形的感知與新知的學(xué)習(xí)相關(guān)聯(lián)，將眼、口、手等感官協(xié)同起來，強有力地喚醒學(xué)生的認(rèn)知激情，促進知識的內(nèi)化。以上案例中，教師以生活中的切土豆操作來引入長方體和正方體，讓學(xué)生通過觸摸、觀察、實驗和操作，調(diào)動腦海中儲存的生活經(jīng)驗，更好地理解抽象的面、棱和頂點等概念，為后續(xù)想象出長方體的長、寬和高作好鋪墊。

二、依托幾何直觀闡釋算理——以“形”思“理”

數(shù)的運算是小學(xué)數(shù)學(xué)的重要組成部分之一，然而在教學(xué)中，不少教師過于注重算法，注重計算的熟練程度，卻忽視算理的教學(xué)。事實上，依托幾何直觀作為算理的支撐，以“形”思“理”，即使是算理這樣的抽象數(shù)學(xué)對象，也可以直觀而簡潔地闡釋。

案例2? 筆算乘法

師：光明小學(xué)準(zhǔn)備為校運動會中每項比賽準(zhǔn)備12支鋼筆作為獎勵，那么4項比賽共需要準(zhǔn)備多少支？

師：誰來回答？

生1：12×4=48（支）。

師：這里的48是如何算出的？請每個小組交流，之后請幾名學(xué)生展示算法。（學(xué)生經(jīng)過討論后，得出了多種算法）

師：哪些同學(xué)愿意來展示你的算法？

師：大家請看算法6，用的是列豎式計算，你們有沒有看出來是如何計算的？

生2：2×4=8算的是“ ”，10×4=40算的是“ ”，40+8=48就是兩式合起來“ ”，一共是48支。

師：生2的闡釋聽明白了嗎？老師將他的解說以圖示的方法展現(xiàn)給大家。

大家看，這個豎式中表示的是4個12，圖中也是這樣闡釋的。觀察圖1可以看出，它將4個12如生2所說的分為兩個部分……

圖形往往可以為人們提供直觀源泉，給足人們想象的空間。算理的理解離不開幾何直觀，通過以上案例可以看出幾何直觀對算理的獨特作用，一方面可以起到了逐步深化算理的作用，另一方面讓學(xué)生深刻體驗數(shù)學(xué)創(chuàng)造性的工作歷程，激化數(shù)學(xué)素養(yǎng)的形成 [2]。

三、運用幾何直觀探究思路——以“形”思“路”

數(shù)學(xué)應(yīng)用題是小學(xué)階段的重要題型之一，而抽象的文字?jǐn)⑹鐾菑?fù)雜應(yīng)用題的標(biāo)志，一些關(guān)鍵性的信息，往往隱藏在抽象的敘述背后，學(xué)生很難發(fā)現(xiàn)。而通過幾何直觀則可以將復(fù)雜應(yīng)用問題中的重要信息更簡明、更形象地表現(xiàn)出來。以圖解探路，以幾何直觀的“形”為學(xué)生的思維打開通道，有了直觀圖形的支撐，則可以化繁為簡，以達(dá)到明晰解題思路的效果 [3]。

案例3? A、B兩車同時從甲、乙兩地相對開出，A車行駛了全程的 ，B車行駛了全程的 ，此時A、B兩車相距220千米，請問甲、乙兩地路程是多少千米？

分析：拿到此題，不少學(xué)生都會覺得思維卡殼，只因這里條件中的“220千米”似乎無處安放，它究竟是全程的哪一個位置呢？此時倘若畫出圖3線段則可以輕松獲解。

據(jù)圖示，可以明晰：題中的“220千米”位于 和 的重疊處，進而得出以下多種解法：

解法1：（自左向右）“220千米”所對應(yīng)的分率為 與1- 的差，則可列式220÷ -1- =400（千米）;

解法2：（自右向左）“220千米”所對應(yīng)的分率為 與1- 的差，則可列式220÷ -1- =400（千米）;

解法3：（從兩端往中間）“220千米”夾在中間的一段，所對應(yīng)的分率為1-1- -1- ，則可列式220÷1-1- -1- =400（千米）;

解法4：（整體著手） “220千米”為 和 的重疊部分，則可列式220÷ + -1=400（千米）。

借助幾何直觀來找尋解題途徑是解決數(shù)學(xué)問題的有效手段。運用圖示法解題的最大優(yōu)勢在于使得抽象的應(yīng)用問題形象化，進一步獲得了解決問題的思路。上例中，由于將題中的數(shù)量信息直接反映在線段圖上，直觀展現(xiàn)了復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系，從而收獲了多種多樣的解題思路。

總之，幾何直觀作為一座溝通感性與理性的橋梁，其功用遠(yuǎn)不止于此，諸如數(shù)的大小比較、運算定律的解釋等，都可以借助幾何直觀來引領(lǐng)學(xué)生思維，可以幫助學(xué)生習(xí)得新知的同時，促進學(xué)生的數(shù)學(xué)理解，最終提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

參考文獻：

[1]? 趙生初，許正川，盧秀敏. 圖形變換與中國初中幾何課程的自然融合[J]. 數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2012，21（4）.

[2]? 周海東. 初中數(shù)學(xué)教學(xué)中幾何直觀能力培養(yǎng)探析[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)，2014（6）.

[3]? 蔡奕容. 培養(yǎng)幾何直觀能力鍛造數(shù)學(xué)有效課堂[J]. 課程教育研究：新教師教學(xué)，2016（17）.