基于自適應(yīng)事件觸發(fā)的交通網(wǎng)絡(luò)預(yù)測控制

趙 剛， 王夢靈， 薛斌強， 嚴懷成

（華東理工大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院，上海 200237）

智能交通系統(tǒng) (Intelligent Transportation System,ITS)和計算機網(wǎng)絡(luò)技術(shù)的發(fā)展使得對路網(wǎng)交通信號燈進行控制成為可能。假設(shè)在控制過程中道路狀態(tài)的采集以及對信號燈的調(diào)節(jié)信息是通過計算機網(wǎng)絡(luò)進行傳輸?shù)?，那么可以將交通信號控制過程看成是一個典型的網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)(Networked Control Systems,NCSs)。網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)具有信號傳輸速度快、易于維護和安裝等優(yōu)點，已在智能交通系統(tǒng)、工業(yè)控制系統(tǒng)、電力系統(tǒng)等領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用[1-6]。針對網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)常見的網(wǎng)絡(luò)延遲、丟包、信號量化和多包傳輸?shù)葐栴}，許多研究者采用事件觸發(fā)(Event-Triggered)控制方案，以節(jié)省網(wǎng)絡(luò)的帶寬資源。然而，在實際應(yīng)用中，由于網(wǎng)絡(luò)帶寬的限制，數(shù)據(jù)在傳輸前必須經(jīng)過量化器量化，這使得網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)變?yōu)閰?shù)不確定系統(tǒng)，給其魯棒穩(wěn)定性帶來了很大的挑戰(zhàn)。目前，已有許多學(xué)者研究了不確定性系統(tǒng)或具有數(shù)據(jù)丟失的網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)的量化穩(wěn)定性。徐勝元等[7]研究了不確定性系統(tǒng)的魯棒控制，通過引入廣義可鎮(zhèn)定的H∞指標(biāo)，使得控制律可以滿足系統(tǒng)魯棒穩(wěn)定和性能指標(biāo)。張凌波等[8]討論了在控制器失效情況下，具有不確定性系統(tǒng)的魯棒H∞控制問題。

與許多流行的控制方法相比，模型預(yù)測控制(Model Predictive Control, MPC)以其在處理強約束和不確定性方面的便利性而受到了廣泛的研究和關(guān)注。針對具有輸入和狀態(tài)硬約束的加性有界擾動線性系統(tǒng)，Dai 等[9]提出了一種魯棒自觸發(fā)模型預(yù)測控制算法。Li 等[10]提出了一種基于模型預(yù)測控制的框架，通過約束優(yōu)化問題解決控制包的設(shè)計問題，并基于傳輸控制協(xié)議提出了一種有效的包傳輸和補償機制。Liu 等[11]提出了一種新的隨機網(wǎng)絡(luò)誘導(dǎo)時延和數(shù)據(jù)丟失的控制方案——具有最優(yōu)估計的網(wǎng)絡(luò)預(yù)測控制，利用無序或有延時的測量數(shù)據(jù)來提高估計精度。李德偉等[12]研究了具有有界擾動的不確定系統(tǒng)，通過橢圓不變集方法設(shè)計出一種有效的魯棒預(yù)測控制器。由此可見，MPC控制策略可以有效地解決量化引起的系統(tǒng)不確定性問題，而且，在網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)中引入事件觸發(fā)機制更能充分利用有限的網(wǎng)絡(luò)帶寬、降低網(wǎng)絡(luò)延遲、減少網(wǎng)絡(luò)帶寬堵塞。

事件觸發(fā) MPC 機制的觸發(fā)條件和優(yōu)化設(shè)計是控制器設(shè)計需要解決的問題。本文提出了一種基于量化的自適應(yīng)事件觸發(fā)MPC(Event-Triggered MPC,ET-MPC)方法，保證具有量化的網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)在閉環(huán)穩(wěn)定下有良好的控制性能。通過求解線性矩陣不等式(LMI) 得到事件觸發(fā)矩陣，基于事件觸發(fā)時控制律的預(yù)測性能計算，給出自適應(yīng)事件觸發(fā)條件，仿真實驗結(jié)果驗證了ET-MPC方法的有效性。

1 問題描述

圖1示出了一種典型的智能交通信號控制系統(tǒng)框圖[13]。車輛檢測節(jié)點檢測車流量和道路信息，通過無線或有線網(wǎng)絡(luò)傳送給路口信號控制節(jié)點，控制節(jié)點根據(jù)傳送過來的信號進行處理，輸出信號改變信號燈的持續(xù)時間，從而達到對交通流的調(diào)節(jié)，進而改變路面狀況。假定交通網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)對象是一個離散時間線性時不變系統(tǒng)，可以將圖1抽象為圖2所示的具有量化的網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)，如式(1)所示。

其中：x(k)為系統(tǒng)狀態(tài)；ν(k)為控制對象的輸入，也是量化器的輸出；A、B分別為系統(tǒng)矩陣。圖2中ki為系統(tǒng)狀態(tài)傳輸時刻，是離散時刻k的子集。

本文的主要目的是設(shè)計一種合適的基于事件觸發(fā)機制的狀態(tài)反饋圖1 MPC控制器，以保證NCSs在控制輸入量化時系統(tǒng)能夠穩(wěn)定，并且減少網(wǎng)絡(luò)帶寬資源的浪費。

圖1 典型的交通信號網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)框圖Fig. 1 Diagram of typical traffic signal network control system

圖2 具有量化的事件觸發(fā)預(yù)測控制網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)框圖Fig. 2 Diagram of event-triggering predictive control for NCSs

1.1 基于扇形定界法的量化問題表示

其中Λ(k)是對角矩陣且

在進一步的理論分析之前，作如下假設(shè)：

假設(shè)1 傳感器周期性地采樣系統(tǒng)狀態(tài)，狀態(tài)成功傳輸?shù)臅r間由集合 {ki|i∈N} 給出。系統(tǒng)狀態(tài)第一次成功傳輸?shù)臅r刻k0=0。

假設(shè)2 為了便于分析，假設(shè)網(wǎng)絡(luò)中沒有延遲。顯然，傳送成功的時刻{ki|i∈N} 是{mh|m∈N} 的子集，其中h是采樣時間間隔，m是采樣長度。

1.2 具有量化的NCSs事件觸發(fā)機制

本文將事件發(fā)生器置于傳感器和MPC控制器之間，給出了事件觸發(fā)方案：

其中：x(ki)和x(kn)分別為最后傳輸?shù)臓顟B(tài)和當(dāng)前采樣的狀態(tài)；Ψ＞0是待設(shè)計的正定權(quán)矩陣；σ＞0為[0,1)范圍內(nèi)給定的參數(shù)；kn為當(dāng)前采樣時間；ki為上次事件觸發(fā)的時刻。為了更有效地利用網(wǎng)絡(luò)資源，參數(shù)σ在一定范圍內(nèi)改變，由此得到了一種更為自適應(yīng)的事件觸發(fā)方法。從式(5)可以看出，一個相對較小的σ使得事件驅(qū)動機制相對容易觸發(fā)，并且系統(tǒng)狀態(tài)成功傳輸?shù)臄?shù)量將會增加。即如果要使得觸發(fā)事件數(shù)量較少，需要相應(yīng)地增大σ值，但在最壞的情況下，σ的臨界值應(yīng)能保證網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

顯然，只有當(dāng)當(dāng)前采樣時刻的狀態(tài)信息與最新傳輸采樣時刻的狀態(tài)之間的差異超過某個閾值時，才會傳輸當(dāng)前狀態(tài)。因此，下一次的觸發(fā)時刻可以通過式(6)得到。

其中：e(kn)=x(kn)?x(ki)；ki+1是下一次觸發(fā)時刻；inf代表集合的下界。

在觸發(fā)時刻ki，對象狀態(tài)x(ki)將通過網(wǎng)絡(luò)從事件觸發(fā)器傳輸?shù)筋A(yù)測控制器。同樣，當(dāng)不滿足事件觸發(fā)條件時，當(dāng)前狀態(tài)將不被發(fā)送，控制律保持不變。因此，在ki時刻，可得v(ki)=(I+Λ(ki))Kx(ki) ,K為控制器的狀態(tài)反饋增益矩陣。同時在時間間隔[ki,ki+1) 內(nèi)，由于事件沒有觸發(fā)，控制輸出保持不變。因此，控制器輸出如下：

具有控制輸入量化和事件觸發(fā)機制的網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)模型表示如下：

因此，在式(1)中具有控制輸入量化的網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)被轉(zhuǎn)換為具有結(jié)構(gòu)不確定性和事件觸發(fā)方案(式(8))的線性系統(tǒng)。不確定性給系統(tǒng)的穩(wěn)定性和控制器的設(shè)計帶來了很大的挑戰(zhàn)，常規(guī)的狀態(tài)反饋方法不能直接應(yīng)用于控制器的設(shè)計。模型預(yù)測控制具有控制效果好、魯棒性強、能克服不確定性等優(yōu)點，可以用來解決上述問題。模型預(yù)測控制通常是基于一個預(yù)測模型和一個無限時域二次型性能指標(biāo)的滾動時域優(yōu)化算法。在觸發(fā)時刻ki，系統(tǒng)的狀態(tài)預(yù)測可以描述為

U∞0(ki)

控制器的預(yù)測輸出序列 表示為

其中：x(ki+l|ki)為ki+l時刻系統(tǒng)的狀態(tài)，根據(jù)ki時刻系統(tǒng)狀態(tài)估計得到；u(ki+l|ki)是根據(jù)ki時刻控制器的輸出估計得到的在ki+l時刻控制器的輸出；u(k)是U0∞(ki) 的第1個元素，且有u(k)=u(ki|ki) 。同時u(ki+l|ki) 可以由u(ki+l|ki)=Kx(ki+l|ki) 推出。

1.3 事件觸發(fā)時刻預(yù)測控制率的計算

本文將事件觸發(fā)方法引入到網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)中，使MPC控制器的控制律只在事件觸發(fā)的情況下才得以更新，即只在觸發(fā)時刻計算控制器的輸出，然后在保證系統(tǒng)穩(wěn)定性的前提下導(dǎo)出事件觸發(fā)參數(shù)Ψ。

在事件觸發(fā)時刻ki，考慮以下預(yù)測控制性能指標(biāo)：

其中：Q和R是正定的對稱權(quán)矩陣。

將MPC優(yōu)化問題描述為一個Min-Max優(yōu)化問題，那么式(11)可以改寫為

其中，P是正定的對稱矩陣。當(dāng)系統(tǒng)(式(1))漸近穩(wěn)定時，根據(jù)Lyapunov穩(wěn)定性定理，可以很容易地導(dǎo)出x(∞|ki)=0 且V(0|ki)=0(V(k)＞0) 。

對式(15)從l=1到∞累加求極限，可得

引理1(舒爾補引理) 給定對稱矩陣S，以下3個條件是等價的。

引理2 給定適當(dāng)維度的矩陣D、E、F、R，F(xiàn)和R是對稱矩陣且R＞0，對于任意F滿足FTF≤R，那么存在某個數(shù)ε＞0，使得

2 事件觸發(fā)機制的預(yù)測控制器設(shè)計及穩(wěn)定性分析

定理 1 給定對數(shù)量化器的給定量化密度αq，則網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)(式(11))漸近穩(wěn)定，系統(tǒng)具有一定的控制性能ζ(ki)，且MPC控制器增益K=YX?1的條件是：如果存在正定矩陣X、Y、L、M，控制器輸出u(ki|ki)以及標(biāo)量ζ(ki)，使得

并滿足式(20)和式(21)

如果上述矩陣不等式滿足

那么，利用舒爾補引理，就可以很容易地知道不等式(25)等價于式(20)。同樣地，式(21)可以遵循上述過程推導(dǎo)得出，證畢。

根據(jù)定理1，MPC控制器是在觸發(fā)時刻ki求得的，即MPC控制器增益K僅在滿足事件觸發(fā)條件(式(5))時計算，從而減少了計算量，節(jié)省網(wǎng)絡(luò)帶寬。

定理 2 給定MPC控制器增益K，基于事件觸發(fā)(式(5))的網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)(式(8))是漸近穩(wěn)定的，如果存在適當(dāng)維度的正定對稱矩陣Ψ和P，使得以下矩陣不等式成立。

證明 構(gòu)造下列Lyapunov函數(shù):

為了使不等式ΔV(x(k))＜0成立，只需確保Ξ＜0成立。利用舒爾補引理，Ξ＜0 等價于式(26)，證畢。

具有量化的事件觸發(fā)預(yù)測控制算法步驟如下：

（1）給定采樣時間{mh|m∈N}, 采樣長度為m，標(biāo)量0＜υ＜1 (υ是步長增量)，erru和errl分別為系統(tǒng)采樣狀態(tài)和MPC預(yù)測的狀態(tài)之間誤差范數(shù)的上下限，控制對象的系統(tǒng)矩陣A,B；量化器常數(shù)ρB,β0；正定對稱矩陣P、Q、R；控制器增益K和事件觸發(fā)矩陣Ψ可由式(20)和式(26)計算得出。

（2）系統(tǒng)狀態(tài)第1次成功傳輸?shù)臅r刻k0=0，在每個當(dāng)前采樣時刻k，測量系統(tǒng)當(dāng)前狀態(tài)x(k)，根據(jù)式(5)判斷事件觸發(fā)條件是否滿足。如滿足事件觸發(fā)條件，則執(zhí)行步驟（3）；如果不滿足，執(zhí)行步驟（4）。

（3）令i=i+1，ki=k，計算控制輸入ν(ki)，并將控制輸入施加給系統(tǒng)。令k=k+1，返回步驟（2）繼續(xù)。

（4）控制律不變，令ν(k)=ν(ki)并作用于系統(tǒng)，令k=k+1，返回步驟（2）繼續(xù)。

（5）根據(jù)求得的控制律，如果一步預(yù)測狀態(tài)和當(dāng)前采樣狀態(tài)之間的誤差范數(shù)超過erru，令σ=σ?υ，并重復(fù)執(zhí)行步驟（1）至步驟（4）；如果當(dāng)前采樣狀態(tài)和上次傳輸狀態(tài)的誤差小于errl，令σ=σ+υ，并重復(fù)執(zhí)行步驟（1）至步驟（4）。

3 數(shù)值仿真實驗

為驗證ET-MPC方法在具有量化的網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)中的有效性，假定交通信號網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)可以抽象為式(1)對應(yīng)的數(shù)學(xué)模型。選擇Q=0.000 1I4(I4表示4階單位矩陣),R=0.001，量化器常數(shù)ρB=0.8,β0=0.1，事件觸發(fā)機制常數(shù)σ=0.1，狀態(tài)向量初始值x0=[2 ?1 0.5 ?2]T，式(1)中系統(tǒng)矩陣分別為[15]

利用Matlab LMI工具箱求解式(20)和式(26)，可得控制器增益K與事件觸發(fā)矩陣Ψ分別為

圖3、圖4分別示出了當(dāng)事件觸發(fā)機制參數(shù)σ=0.100時系統(tǒng)的控制輸入和狀態(tài)軌跡。圖3是控制輸入與時間的關(guān)系，控制輸入不變時事件觸發(fā)條件未滿足，此時不需要重新計算控制率，因此節(jié)省了系統(tǒng)的網(wǎng)絡(luò)資源。從圖4可以看出，狀態(tài)向量收斂到0，意味著上述方法可以保證系統(tǒng)的閉環(huán)穩(wěn)定性。圖5示出了事件的觸發(fā)時刻?？v軸代表事件觸發(fā)(0.5代表觸發(fā)，0代表不觸發(fā))。不同σ值下的網(wǎng)絡(luò)利用率如表1所示。從表1可以看出，事件觸發(fā)機制下的發(fā)送數(shù)據(jù)遠小于時間觸發(fā)方式下的發(fā)送數(shù)據(jù)，而且成功傳輸數(shù)據(jù)的數(shù)量隨著σ增加而減少，事件觸發(fā)機制的自適應(yīng)參數(shù)σ是為了更好地利用網(wǎng)絡(luò)帶寬。

圖3 控制輸入傳輸時刻Fig. 3 Control input transmission time

圖4 系統(tǒng)狀態(tài)分量軌跡Fig. 4 State trajectory of system

圖5 事件觸發(fā)的時刻Fig. 5 Triggering time

表1 自適應(yīng)參數(shù)σ對觸發(fā)事件的影響Table 1 Effect of σ on even triggering times

4 結(jié) 論

由于交通信號控制系統(tǒng)可以抽象為典型的網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)，針對網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)存在量化以及有限的網(wǎng)絡(luò)帶寬等問題，本文提出了一種ET-MPC方法對交通信號控制過程進行探討。采用ET-MPC算法可以利用事件觸發(fā)方法的優(yōu)點，節(jié)省了網(wǎng)絡(luò)資源，通過在線優(yōu)化計算可以及時補償量化帶來的不確定性。采用LMI方法對所述穩(wěn)定性分析和控制器設(shè)計進行了研究，并給出了算法，通過仿真實例驗證了該方法的有效性。