問題串在高中數(shù)學(xué)概念課教學(xué)中的有效運(yùn)用

陸敏陽

[摘? 要] 數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)對(duì)象空間性質(zhì)以及數(shù)量關(guān)系本質(zhì)屬性的反應(yīng)，數(shù)學(xué)的推理、判斷都是以數(shù)學(xué)概念為依據(jù)的，數(shù)學(xué)定理、法則以及公式也都是以數(shù)學(xué)概念為基礎(chǔ)而生成的. 但是在高中數(shù)學(xué)的實(shí)際教學(xué)中，教師缺乏對(duì)數(shù)學(xué)概念的重視. 因此，在教學(xué)中，我們可以通過設(shè)計(jì)問題串的方式一步一步地分析高中數(shù)學(xué)概念，提高學(xué)生理解概念和運(yùn)用概念的能力.

[關(guān)鍵詞] 高中數(shù)學(xué);概念教學(xué);有效運(yùn)用

問題串和高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)的關(guān)系

問題串?dāng)?shù)量繁多，連接緊密，可以很好地運(yùn)用到概念生成教學(xué)中. 在概念生成過程中，學(xué)生們會(huì)遇到很多困惑. 主要分為兩種：（1）對(duì)新知識(shí)的不理解，沒有明白概念的具體含義，只是通過簡單的背記掌握特點(diǎn)，然后運(yùn)用到具體的解題中. 可以解決簡單的概念題，但對(duì)于復(fù)雜的概念辨析題，常常找不出頭緒. （2）新舊知識(shí)的沖突，學(xué)生學(xué)習(xí)的新知識(shí)和舊知識(shí)很相近，區(qū)分起來比較困難，導(dǎo)致概念混淆. 又或者學(xué)生學(xué)習(xí)的新知識(shí)和舊知識(shí)之間存在矛盾，學(xué)生不知道如何處理，導(dǎo)致學(xué)習(xí)過程停滯不前. 當(dāng)新知識(shí)的內(nèi)容和舊知識(shí)的內(nèi)容出入時(shí)，教師就要積極介入. 而問題串運(yùn)用到概念教學(xué)中就可以很好地解決學(xué)生們的困惑. 在高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，正余弦定理、函數(shù)、直線斜率的概念教學(xué)比較困難. 本文特意選取這三個(gè)部分，探討問題串和概念教學(xué)的融合方式.

基于概念生成過程的問題串的應(yīng)用

1. 正弦定理教學(xué)

正弦定理的具體內(nèi)容是：在一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等. 通過正弦定理，可以把三角形的邊和角聯(lián)系起來. 通過兩條邊和一個(gè)角或者一個(gè)角和兩條邊就可以獲得一個(gè)三角形的全部信息. 研究常見的數(shù)學(xué)題目，正弦定理會(huì)和具體的數(shù)學(xué)情景相結(jié)合，以填空題或應(yīng)用題的形式出現(xiàn)，難度中等. 如果同學(xué)們不清楚正弦定理的概念，計(jì)算起來會(huì)非常麻煩，很容易出錯(cuò).

為了讓同學(xué)們消化正弦定理的相關(guān)概念，本文設(shè)置了六個(gè)問題：（1）現(xiàn)有一個(gè)直角三角形，直角部分缺失，可以將其補(bǔ)齊嗎？如何補(bǔ)齊？（2）在Rt△ABC中，已知sinA= ，sinB= ，而sinC=sin90°=1，如何用字母a，b，c表示sinC？（3）在直角三角形中，存在以下等式： = = ，從中可以得出什么結(jié)論？（4）可以發(fā)現(xiàn)，在直角三角形中，有如下結(jié)論：三角形各邊及其所對(duì)角的正弦之比相等，那么對(duì)于一般三角形而言，是否也存在這一準(zhǔn)則呢？（5）在銳角三角形和鈍角三角形中，是否也存在 = = 這一等式呢？（6）通過幾何畫板，基本上可以得出 = = 這一結(jié)論，這一結(jié)論也被稱之為正弦定理，那么該如何證明這一結(jié)論呢？

問題（1）的提出在于結(jié)合實(shí)際生活引導(dǎo)學(xué)生從生活當(dāng)中觀察相關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維. 而如果是直接從問題（2）導(dǎo)入課程，盡管能夠快速直接地進(jìn)入課程的教學(xué)，但是沒有引發(fā)學(xué)生的深入思考以及積極探索. 提出問題（1），學(xué)生會(huì)思考能夠應(yīng)用多種方法來完成這一問題，例如說使用直尺測量，測角儀測量之后再應(yīng)用正弦定理，從而計(jì)算出直角邊，進(jìn)而再順勢引入問題（2），而接下來的問題（3）、問題（4）以及問題（5）則充分地體現(xiàn)出定理的從特殊到一般，并應(yīng)用幾何畫板，可以使學(xué)生對(duì)于定理有著更加直觀形象的理解. 問題（6）需要教師重點(diǎn)講解. 有些教師為了省事，會(huì)直接告訴學(xué)生結(jié)論，不帶領(lǐng)學(xué)生推導(dǎo). 我們可以通過三種方式和途徑來證明正弦定理. 每種方式有著不同的思維訓(xùn)練點(diǎn)，能夠使學(xué)生的概念生成過程更加清晰. 問題串中的每一個(gè)問題都發(fā)揮著特殊的作用，是必不可少的. 少一個(gè)問題都會(huì)變得不完整.

通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，學(xué)生們的收獲非常多. 學(xué)生們掌握了解決任意三角形邊角關(guān)系的重要工具，了解了正弦定理的證明方法，認(rèn)識(shí)了實(shí)際生活中三角度量的運(yùn)用. 這是知識(shí)，也是收獲.

2. 函數(shù)教學(xué)

在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，學(xué)生們就接觸到了不少簡單的函數(shù). 在高中，學(xué)生們會(huì)學(xué)習(xí)到一些新的函數(shù). 總之，從一開始我們就不斷地完善和擴(kuò)展函數(shù)知識(shí)，以實(shí)現(xiàn)對(duì)函數(shù)定義的進(jìn)一步明確化. 分析歸納，函數(shù)概念的確定主要經(jīng)歷了三個(gè)階段：變量說、對(duì)應(yīng)說以及關(guān)系說. 變量說要求學(xué)生明白函數(shù)中的自變量和因變量. 對(duì)應(yīng)說要求學(xué)生注重函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系. 關(guān)系說要求學(xué)生明白變量間的關(guān)系.

本文針對(duì)高中函數(shù)教學(xué)中的對(duì)應(yīng)說，提出了以下問題串：（1）初中的時(shí)候，我們對(duì)于函數(shù)已經(jīng)展開了教學(xué)，而高中再次教學(xué)，初中函數(shù)與高中函數(shù)是否具有矛盾呢？（2）根據(jù)初中所學(xué)習(xí)的函數(shù)相關(guān)概念和定義，以下代數(shù)式是否為函數(shù)呢？y=x，y= ，y=x2+x+1，y=2. （3）假設(shè) A（2，2）與B（0，2）為兩個(gè)定點(diǎn)，而點(diǎn)P是x正半軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)其坐標(biāo)為（x，0），那么，假設(shè)這個(gè)三角形的面積為y，請(qǐng)回答y是不是關(guān)于x的函數(shù)？與y=2之間是什么關(guān)系？（4）y=x，y= 這兩個(gè)式子代表著一個(gè)函數(shù)嗎？

以上四個(gè)問題的設(shè)計(jì)目的是為了說明：初中函數(shù)主要圍繞變量說來展開教學(xué)，重在強(qiáng)調(diào)變量之間的基本關(guān)系，是相對(duì)宏觀的，但是高中函數(shù)更加注重具體的對(duì)應(yīng)關(guān)系，是微觀的. 因此以上問題串的提問，就在于使學(xué)生領(lǐng)悟，初中函數(shù)和高中函數(shù)的概念基本上是一致的，是函數(shù)概念兩個(gè)不同階段的理解，兩者之間不存在矛盾. 問題（1）幫助學(xué)生們銜接初中和高中的概念學(xué)習(xí). 問題（2）則重點(diǎn)回顧了原先學(xué)習(xí)的舊知識(shí)，前三個(gè)式子為函數(shù)，分別是正比例函數(shù)、反比例函數(shù)以及二次函數(shù)，而y=2不是函數(shù). 問題（3）強(qiáng)調(diào)了函數(shù)當(dāng)中變量的重要性，為接下來函數(shù)教學(xué)打好了基礎(chǔ). 問題（4）則檢驗(yàn)學(xué)生對(duì)于函數(shù)概念的理解. 在函數(shù)的學(xué)習(xí)中，概念辨析類題目比較多，形式也比較多，因?yàn)楹瘮?shù)的概念分枝比較多. 學(xué)生們要理解函數(shù)概念有三個(gè)要素，由此判斷一個(gè)式子是否為函數(shù).

高中函數(shù)教學(xué)與初中函數(shù)教學(xué)有著明顯的不同，高中函數(shù)教學(xué)重在以集合為基礎(chǔ)導(dǎo)入概念，而且還引入了抽象的函數(shù)符號(hào)，難度比初中函數(shù)教學(xué)大很多. 為此，高中的函數(shù)概念教學(xué)要盡可能地把抽象、復(fù)雜的知識(shí)直觀化和簡單化，加強(qiáng)高中函數(shù)概念理解.

3. 直線斜率教學(xué)

本文以高中數(shù)學(xué)直線的傾斜角和斜率這一節(jié)為例，探討問題串的設(shè)置. 本節(jié)的重點(diǎn)是讓學(xué)生們理解直線傾斜角的唯一性和直線斜率的存在，這是正確理解直線的傾斜角和斜率相關(guān)概念的基礎(chǔ). 這一節(jié)的概念比較抽象，除了引入問題串，教師還要采用數(shù)形結(jié)合的方法，把圖像也當(dāng)做輔助手段. 直線傾斜角的概念是什么呢？當(dāng)直線與x軸相交時(shí)，x軸作基準(zhǔn)，x軸正向與直線向上方向之間所成的角，叫做直線的傾斜角. 什么是直線的斜率？一條直線的傾斜角的正切值，就表示為這條直線的斜率. 斜率和傾斜角的概念辨析值得學(xué)生們重視.

本文提出了以下問題串：（1）如何確定一條直線？（2）經(jīng)過一個(gè)點(diǎn)的直線有多少條？（3）這些直線的異同點(diǎn)分別有哪些？（4）對(duì)一條直線進(jìn)行旋轉(zhuǎn)平移，如何確定直線的旋轉(zhuǎn)傾斜程度呢？（5）在平面當(dāng)中確定一條直線，需要有哪幾個(gè)因素？（6）假設(shè)直線l的解析式如下：y=x，那么傾斜角是多少呢？（7）直線l 的解析式為y=3x，那么這條直線的傾斜角是多少？

本文在此闡述一下這七個(gè)問題的設(shè)置意圖. 問題（1）、問題（2）引導(dǎo)學(xué)生回憶初中直線知識(shí)：兩點(diǎn)確定一條直線;經(jīng)過一點(diǎn)的直線有無數(shù)條. 問題（3）、問題（4）則使學(xué)生學(xué)會(huì)在平面直角坐標(biāo)系中理解直線及其傾斜角. 問題（5）通過一點(diǎn)可以確定無數(shù)條直線，每兩條直線之間不會(huì)重合，因?yàn)槊恳粭l直線的傾斜度不同. 問題（6）、問題（7）則使學(xué)生對(duì)傾斜角有更高層次的理解. 通過以上的概念教學(xué)，教師可以適當(dāng)引入直線的斜率公式，開展有關(guān)直線斜率的應(yīng)用題的分析講解.

直線斜率的概念教學(xué)對(duì)學(xué)生的情感態(tài)度、價(jià)值觀的培養(yǎng)都有益. 學(xué)生需要理解用數(shù)學(xué)語言表達(dá)的概念，并通過觀察探討交流來深入理解概念的本質(zhì)，有利于培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)習(xí)態(tài)度和專業(yè)的數(shù)學(xué)精神.

對(duì)概念教學(xué)的分析與總結(jié)

概念教學(xué)是當(dāng)下教育研究的熱門話題. 為了把好的知識(shí)結(jié)構(gòu)教給學(xué)生，很多數(shù)學(xué)老師都在想不同的辦法. 比如，以情景的構(gòu)建為基礎(chǔ)傳授相關(guān)的概念;從生活實(shí)際出發(fā)，通過問題引出數(shù)學(xué)概念等. 以上總結(jié)的三個(gè)教學(xué)案例都是為相關(guān)數(shù)學(xué)概念課程設(shè)計(jì)了一系列問題串. 作為高中數(shù)學(xué)的組成部分，數(shù)學(xué)概念知識(shí)是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，概念課的教學(xué)重點(diǎn)在于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維以及掌握數(shù)學(xué)方法，例如函數(shù)引入時(shí)通過制造知識(shí)點(diǎn)的矛盾，使學(xué)生分析初高中函數(shù)概念的區(qū)別和聯(lián)系，根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展規(guī)律來實(shí)現(xiàn)對(duì)高中函數(shù)概念的教學(xué)，使教學(xué)效果和質(zhì)量得以優(yōu)化和提高，這對(duì)于學(xué)生今后數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)也十分有意義. 數(shù)學(xué)教師可以按照本文的教學(xué)案例，找到每節(jié)課內(nèi)容中的關(guān)鍵概念，推出相關(guān)的問題串. 這是概念課教學(xué)的良好途徑和方法.

高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，很多學(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)都缺乏積極性和主動(dòng)性. 而通過一系列問題串的設(shè)計(jì)，可以有效活躍學(xué)生的思維，引發(fā)學(xué)生積極展開思考，在長期思考和分析過程中實(shí)現(xiàn)自身數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的提高、數(shù)學(xué)思維的發(fā)展.