基于高中數(shù)學(xué)現(xiàn)象背景下的概念教學(xué)

何燕

[摘? 要] 數(shù)學(xué)現(xiàn)象指的是將一個(gè)現(xiàn)象放在數(shù)學(xué)的視野中，數(shù)學(xué)現(xiàn)象是在客觀世界的基礎(chǔ)上，結(jié)合人類的數(shù)學(xué)觀念形成的. 教師在進(jìn)行高中數(shù)學(xué)教學(xué)時(shí)，需要將來自客觀世界的數(shù)學(xué)現(xiàn)象展示在學(xué)生眼前，讓學(xué)生通過自己的思維進(jìn)行剖析. 在這一過程中，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維. 文章將從“掌握數(shù)學(xué)概念，加深對教材的理解”“重視概念形成，體驗(yàn)數(shù)學(xué)思維魅力”“揭示概念特性，分析課堂數(shù)學(xué)現(xiàn)象”“發(fā)展數(shù)學(xué)概念，完善數(shù)學(xué)知識體系”四個(gè)方面討論.

[關(guān)鍵詞] 高中數(shù)學(xué);數(shù)學(xué)現(xiàn)象;概念教學(xué)

由于數(shù)學(xué)具有較強(qiáng)的邏輯性、思維性，使得學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)存在更多的困難. 數(shù)學(xué)現(xiàn)象能夠直觀地反映客觀的世界，它引導(dǎo)人類用數(shù)學(xué)的眼光看世界. 人們通過數(shù)學(xué)的眼光，利用數(shù)學(xué)工具剖析客觀世界，形成數(shù)學(xué)現(xiàn)象. 在這一過程中，能感受到數(shù)學(xué)的魅力和自身的價(jià)值. 數(shù)學(xué)教學(xué)也是如此，教師需要引導(dǎo)學(xué)生通過自己的數(shù)學(xué)眼光，形成自己的數(shù)學(xué)思維方式，從而更好地理解、鞏固知識.

掌握數(shù)學(xué)概念，加深對教材的理解

學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中，離不開教材的內(nèi)容. 數(shù)學(xué)教材中包含有豐富的數(shù)學(xué)概念. 要想讓學(xué)生加深對教材概念的理解，教師需要引導(dǎo)學(xué)生深入教材中，讓他們從最原始的概念教學(xué)過程中獲得學(xué)習(xí)的體驗(yàn)感，并在這一過程中獲得相應(yīng)的知識，形成良好的學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的習(xí)慣，促使自己的認(rèn)知水平不斷提高，從而使課堂學(xué)習(xí)質(zhì)量不斷提升.

例如，教師在教學(xué)“平面向量”這一相關(guān)內(nèi)容時(shí)，學(xué)生已經(jīng)從物理這門學(xué)科了解了有關(guān)力、位移這類矢量的概念. 事實(shí)上，這就是一個(gè)數(shù)學(xué)現(xiàn)象. 教師在進(jìn)行高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)時(shí)，在教授學(xué)生關(guān)于向量的概念內(nèi)容時(shí)，只需引申物理矢量的概念，就能幫助學(xué)生掌握數(shù)學(xué)中向量的概念. 因此，教師可用“速度”這一物理矢量導(dǎo)入數(shù)學(xué)課堂. 教師可以向?qū)W生提問：假設(shè)一輛汽車行駛的速度為每小時(shí)15千米，一輛自行車行駛的速度為每小時(shí)5千米，自行車行駛在汽車前，汽車是否能夠超越自行車？學(xué)生根據(jù)自己已有的知識概念，會回答教師汽車肯定能夠超越自行車，因?yàn)槠囉忻黠@高于自行車速度的優(yōu)勢. 教師可以再提問：如果汽車行駛的速度為每小時(shí)15千米，自行車行駛的速度為每小時(shí)5千米，自行車由西向東行駛，而汽車向東北行駛，自行車與汽車行駛過程中不存在交點(diǎn)，那么汽車能否行駛在自行車前面？為什么？學(xué)生會馬上回答“不可能”，因?yàn)槠嚭妥孕熊囆旭偟姆较虿煌? 通過提問，學(xué)生能夠感受到汽車能否超過自行車這一數(shù)學(xué)現(xiàn)象，知道汽車想要超過自行車，不僅需要考慮行駛的速度，還需要考慮行駛的方向. 通過這種方式，教師可以引導(dǎo)學(xué)生回歸向量最原始的概念中，將概念的本質(zhì)呈現(xiàn)在學(xué)生眼前，加深學(xué)生對向量的理解.

重視概念形成，體驗(yàn)數(shù)學(xué)思維魅力

教師將數(shù)學(xué)現(xiàn)象代入高中數(shù)學(xué)課堂中，讓學(xué)生通過直觀的數(shù)學(xué)現(xiàn)象感受數(shù)學(xué)概念形成的過程，近距離地接觸概念思維，體驗(yàn)數(shù)學(xué)思維的魅力，感悟數(shù)學(xué)的智慧. 教師需要引導(dǎo)學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)現(xiàn)象，理解數(shù)學(xué)概念，并從這一過程中獲得學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的快樂，提升自己的數(shù)學(xué)綜合能力.

例如，教學(xué)“三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式”時(shí)，教師要幫助學(xué)生掌握cos（α-β）的推導(dǎo)公式，由于該公式的推導(dǎo)過程較為復(fù)雜，學(xué)生理解起來比較困難. 因此，教師要層層遞進(jìn)，利用不同的數(shù)學(xué)現(xiàn)象，幫助學(xué)生掌握這一推導(dǎo)公式. 如教師可以先讓學(xué)生計(jì)算cos435°的值，引導(dǎo)學(xué)生在不用計(jì)算機(jī)的情況下，將其化簡為cos75°進(jìn)行計(jì)算，這是一種數(shù)學(xué)現(xiàn)象. 學(xué)生對計(jì)算cos75°感到無措時(shí)，教師再提問學(xué)生：知道哪些特殊角的余弦值？一般情況下，學(xué)生會回答30°，45°，60°，90°等特殊角的余弦值;然后教師再引導(dǎo)學(xué)生尋找75°和特殊角之間的關(guān)系，學(xué)生會發(fā)現(xiàn)75°等于30°加45°，這時(shí)教師再提問學(xué)生：cos75°是否就等于cos45°加cos30°？學(xué)生根據(jù)已經(jīng)掌握的余弦函數(shù)的單調(diào)性，可推導(dǎo)出cos75°并不等于cos45°加cos30°. 學(xué)生陷入思考，教師順勢提出向量夾角公式，引導(dǎo)學(xué)生通過繪制形成75°夾角的兩個(gè)向量進(jìn)行計(jì)算. 學(xué)生在繪制時(shí)，教師需要注意指導(dǎo)學(xué)生使用正確的、高效的繪制方法進(jìn)行作圖. 如將其放在直角坐標(biāo)系中，作兩角之和的圖，即30°加45°. 通過這種方式，學(xué)生學(xué)會了如何計(jì)算不是特殊角的角度的余弦值. 教師再由計(jì)算75°類比cos（α-β），幫助學(xué)生掌握cos（α-β）的推導(dǎo)公式，加深學(xué)生對該公式的理解，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，鍛煉學(xué)生的數(shù)學(xué)分析解決能力.

揭示概念特性，分析課堂數(shù)學(xué)現(xiàn)象

數(shù)學(xué)概念的形成可以讓學(xué)生直接感知到概念的表象，了解數(shù)學(xué)概念形成的過程. 數(shù)學(xué)作為一門嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)科，概念更是教學(xué)的重中之重，數(shù)學(xué)的概念具有自己的特殊的屬性：實(shí)在性、合理性和結(jié)構(gòu)性. 數(shù)學(xué)概念的特性是教師在教學(xué)過程中必須教授給學(xué)生的重要內(nèi)容之一，學(xué)生明確數(shù)學(xué)概念的特性能夠更好地進(jìn)行數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)，且有利于提高學(xué)生自身的數(shù)學(xué)素養(yǎng). 概念在最終呈現(xiàn)時(shí)的實(shí)在性、合理性以及結(jié)構(gòu)性都要求教師教學(xué)時(shí)將實(shí)踐活動(dòng)與課堂結(jié)合在一起，幫助學(xué)生更好地構(gòu)建數(shù)學(xué)知識概念體系，避免機(jī)械、低效甚至無效的教學(xué).

例如，數(shù)學(xué)概念的實(shí)在性，數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)知識高度濃縮概括的產(chǎn)物，是經(jīng)歷人腦的轉(zhuǎn)化形成的物質(zhì)，它并不直接存在于自然界中. 自然界中不存在脫離具體實(shí)物的一二三，也不存在沒有具體體積的球體，數(shù)學(xué)當(dāng)中的函數(shù)方程、概率等也不直接存在于自然界中，但只要經(jīng)過人腦的構(gòu)造，它們就可以存在于人的腦海中，對它們也有一個(gè)清晰的認(rèn)知，使得在面對它們時(shí)，能夠快速辨別出來，并將其表達(dá)出來. 教師在將數(shù)學(xué)概念的實(shí)在性這一特殊屬性教授給學(xué)生時(shí)，需要注意發(fā)揮學(xué)生的課堂主體作用，引導(dǎo)學(xué)生將課堂與生活結(jié)合在一起，幫助學(xué)生跳出感性的知識圈，以理性的思維自主構(gòu)建數(shù)學(xué)概念，了解數(shù)學(xué)概念的實(shí)在性. 又如數(shù)學(xué)概念的另一特殊屬性——結(jié)構(gòu)性，數(shù)學(xué)概念并不是單個(gè)獨(dú)立存在的，概念與概念之間存在著必然的聯(lián)系，數(shù)學(xué)概念是在結(jié)構(gòu)中形成的，孤立的數(shù)學(xué)概念沒有實(shí)際意義，不具有存在的價(jià)值. 因此，教師在教學(xué)過程中，需要站在數(shù)學(xué)的整體角度把握數(shù)學(xué)概念的結(jié)構(gòu)性，才能夠發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)概念中存在的不足之處，做到及時(shí)修改，正確地引導(dǎo)學(xué)生，加深學(xué)生對數(shù)學(xué)概念的印象. 教師在教導(dǎo)學(xué)生時(shí)，需要幫助學(xué)生在對現(xiàn)象的感悟與辨析中改造與升華活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，使學(xué)生頭腦中對數(shù)學(xué)概念有一個(gè)清晰明了的認(rèn)知. 進(jìn)行抽象類數(shù)學(xué)內(nèi)容教學(xué)時(shí)，教師不能通過“什么是什么”的這種方式向?qū)W生傳授知識，而應(yīng)該用日常生活中存在的現(xiàn)象將數(shù)學(xué)知識內(nèi)容導(dǎo)入課堂中，貼近生活的案例更容易吸引學(xué)生的注意力，可以幫助學(xué)生更為直觀地了解掌握相應(yīng)的數(shù)學(xué)知識內(nèi)容，加深學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的記憶，使學(xué)生自發(fā)地形成相應(yīng)的數(shù)學(xué)概念.

發(fā)展數(shù)學(xué)概念，完善數(shù)學(xué)知識體系

數(shù)學(xué)概念是在客觀世界的基礎(chǔ)上濃縮形成的物質(zhì)反應(yīng)，要想將自然界中存在的數(shù)學(xué)現(xiàn)象轉(zhuǎn)化為自己頭腦中的數(shù)學(xué)知識，需要通過自己的思維方式進(jìn)行轉(zhuǎn)化. 然而，數(shù)學(xué)現(xiàn)象并不一定真正地反映了自然世界，數(shù)學(xué)概念并不一定真實(shí). 因此，教師在教學(xué)時(shí)，需要引導(dǎo)學(xué)生對數(shù)學(xué)概念進(jìn)一步地了解，使數(shù)學(xué)概念趨于真實(shí)，符合更多的數(shù)學(xué)現(xiàn)象. 數(shù)學(xué)概念是有價(jià)值的，不會與其他的概念相矛盾. 數(shù)學(xué)概念來源于生活，且高于生活，它具有較高的邏輯必然性，教師在教學(xué)過程中需要培養(yǎng)學(xué)生在理解數(shù)學(xué)、總結(jié)數(shù)學(xué)概念時(shí)的邏輯能力，使學(xué)生的思維得到創(chuàng)新. 數(shù)學(xué)概念憑借著實(shí)在性、結(jié)構(gòu)性等特性在高中數(shù)學(xué)教學(xué)過程中發(fā)揮著重要作用. 教師在教學(xué)時(shí)將數(shù)學(xué)概念引入課堂，調(diào)動(dòng)學(xué)生自身的實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)，幫助學(xué)生進(jìn)行理性的、自主的構(gòu)建概念的活動(dòng)，避免了感性的邏輯錯(cuò)誤，在一定程度上幫助學(xué)生從數(shù)學(xué)現(xiàn)象中挖掘了數(shù)學(xué)概念的本質(zhì).

總而言之，數(shù)學(xué)概念的形成不能僅僅依靠教師課堂上的教學(xué)，形成數(shù)學(xué)概念的過程也十分重要，教師需要將數(shù)學(xué)概念知識逐漸滲透進(jìn)學(xué)生的學(xué)習(xí)生活中. 數(shù)學(xué)是在不斷發(fā)展的，數(shù)學(xué)概念也在不斷改進(jìn)，數(shù)學(xué)現(xiàn)象的教學(xué)就是將最原始的自然世界呈現(xiàn)在學(xué)生面前，并讓學(xué)生在這一過程中掌握數(shù)學(xué)知識、培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維、領(lǐng)悟數(shù)學(xué)魅力. 結(jié)合數(shù)學(xué)概念的特性，發(fā)揮學(xué)生的思維創(chuàng)新能力，推動(dòng)著數(shù)學(xué)向前發(fā)展.