在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的直覺思維的策略方法

沙志峰

[摘? 要] 對(duì)于學(xué)生而言，直覺思維是其數(shù)學(xué)思維中需要具備的重要思維方法之一，既能反映學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)問題的敏銳度，又決定解題的效率和思維的深度. 因此，研究者認(rèn)為，在教學(xué)過程中教師要一以貫之地強(qiáng)調(diào)和滲透直覺思維，文章結(jié)合幾個(gè)具體例題介紹了培養(yǎng)直覺思維的策略.

[關(guān)鍵詞] 直覺思維;課堂教學(xué);培養(yǎng)

錢學(xué)森教授曾這樣評(píng)價(jià)直覺思維：直覺就是一種無意識(shí)的信息加強(qiáng)活動(dòng)，是根植于潛意識(shí)內(nèi)的一種醞釀解決問題與顯性意識(shí)的溝通，這樣的溝通使得答案的獲取顯得突然，卻未曾意識(shí)到對(duì)應(yīng)的具體進(jìn)程. 這番話不僅是對(duì)數(shù)學(xué)直覺思維的完美詮釋，同時(shí)從中映射出直覺思維對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要意義. 我們可以認(rèn)為，直覺是有效溝通了數(shù)學(xué)知識(shí)和思維，從而迅速找尋到解題途徑的一種思維形式，因此，直覺思維的培養(yǎng)是大有益處的，身為一線的數(shù)學(xué)教師應(yīng)當(dāng)關(guān)注并一以貫之地加以培養(yǎng). 下面，筆者就結(jié)合具體的課例，談?wù)剬?duì)直覺思維培養(yǎng)的觀點(diǎn)和思考.

牢固的“雙基”是產(chǎn)生直覺的前提

直覺的獲得并非僅僅是運(yùn)氣和機(jī)遇，也不是自動(dòng)產(chǎn)生的，更不是憑空臆想而成的，它的形成有賴于許多因素. 總體來說分為主觀與客觀兩個(gè)方面，學(xué)生的主觀因素和牢固的“雙基”對(duì)直覺思維的產(chǎn)生都有著重要的影響. 可以這樣說，扎實(shí)的知識(shí)技能和深厚的數(shù)學(xué)功底是迸射思維火花的重要因素. 因此，教師應(yīng)讓學(xué)生自發(fā)自主地獲取知識(shí)，放手讓學(xué)生自主學(xué)習(xí)、自主探究、嘗試、質(zhì)疑、猜想、討論、練習(xí)、歸納和反思，在重難點(diǎn)形成之處積極啟導(dǎo)，在概括規(guī)律時(shí)充分誘導(dǎo)，在解決疑難問題中有效疏導(dǎo)，保證雙基的落實(shí)，進(jìn)而孕育直覺思維.

例1：已知sinα+sinβ= ①，cosα+cosβ= ②，據(jù)此可以得出哪些結(jié)論？

分析：本題的特色明顯，形式創(chuàng)新. 命題人從基本知識(shí)技能和學(xué)生的思維出發(fā)進(jìn)行考量，從而巧妙編制出這樣一道考查雙基和直覺思維的試題. 想要?jiǎng)?chuàng)意性解決這一問題需要學(xué)生準(zhǔn)確理解和熟練掌握三角基本知識(shí)，學(xué)生經(jīng)過思考后易生成以下方法.

探究1：①2+②2，可得cos（α-β）= - . （余弦公式）

探究2：先①×②，再和差化積，可得sin（α+β）[cos（α-β）+1]= . 再溝通探究1，可得sin（α+β）= .

探究3：先①2-②2，再和差化積，可得2cos（α+β）[cos（α-β）+1]=- . 再溝通探究1，可得cos（α+β）=- .

探究4：先①÷②，再和差化積，進(jìn)而約去公因式，可得tan = . 后利用萬能公式探求sin（α+β），cos（α+β）和tan（α+β）.

探究5：利用消參思想，先由sin2α+cos2α=1消去α，可得4sinβ+3cosβ= ;再消去β，可得4sinα+3cosα= .

探究6：①+②，再逆用兩角和的正弦公式，可得sinα+ +sinβ+ = ;①-②，再逆用兩角差的正弦公式，可得sinα- +sinβ- = .

探究7：①×3-②×4，可得3sinα-4cosα+3sinβ-4cosβ=0，sin（α-θ）+sin（β-θ）=0θ=arctan ，即2sin cos =0，所以α=2kπ+π+β（與條件不符，舍去）或α+β=2kπ+2θ（k∈Z），即可探求sin（α+β），cos（α+β）和tan（α+β）.

評(píng)析：對(duì)于學(xué)生而言，試題質(zhì)量的高低意義深遠(yuǎn)，不僅影響著解題的興趣，還關(guān)乎著思維火花的喚醒. 本題是一道創(chuàng)新問題，由于教師對(duì)有價(jià)值素材的精心選取，讓原本枯燥的數(shù)學(xué)問題變得充滿活力，不僅可以讓學(xué)生感受到三角問題的強(qiáng)大魅力，還可以通過充分的直覺思維去探索其中蘊(yùn)含的各種數(shù)學(xué)魅力. 由于本題的開放性和創(chuàng)新性較為明顯，充分體現(xiàn)了對(duì)學(xué)生直覺思維的考查，這無疑遵循了對(duì)優(yōu)質(zhì)素材的選取.

注重直覺的誘導(dǎo)是產(chǎn)生直覺的基礎(chǔ)

“跟著感覺走”是不少教師的經(jīng)典語錄，事實(shí)上，其中深層次地蘊(yùn)含著直覺的孕育，而僅僅是未上升至思維的層面而已. 因此，教師應(yīng)在課堂中“冠冕堂皇”地提出直覺思維，并關(guān)注到直覺的誘導(dǎo)，設(shè)計(jì)與之相應(yīng)的活動(dòng)，制定相應(yīng)的活動(dòng)策略，讓學(xué)生去摸索、去探究、去驗(yàn)證、去反思. 同時(shí)，不可忽視對(duì)思維的合理之處給予及時(shí)的鼓勵(lì)，對(duì)學(xué)生的疑難之處及時(shí)因勢(shì)利導(dǎo)，就這樣，在尊重和愛護(hù)中扶植直覺思維，讓學(xué)生對(duì)自身的直覺產(chǎn)生成功的愉悅感.

例2：已知正四面體ABCD的棱長是1，且棱AB∥平面α，則該正四面體上的所有點(diǎn)在平面α內(nèi)的射影構(gòu)成的圖形面積的取值范圍是________.

分析：本題是一次模擬考試中的試題，由于考試的時(shí)間有限，嚴(yán)密邏輯推理下得出答案耗時(shí)巨大，且不易成功. 此時(shí)，倘若在長期的直覺思維誘導(dǎo)下，學(xué)生即可憑直覺進(jìn)行如下思考：如圖1，直覺可以判斷出CD∥α?xí)r，射影面積最大;CD⊥α?xí)r，射影面積最小. 最終易得出取值范圍為 ， .

評(píng)析：為了學(xué)生在解題時(shí)能善用直覺思維，在平時(shí)的教學(xué)則需要積極誘導(dǎo). 當(dāng)然，在教學(xué)中不僅需要強(qiáng)調(diào)思維的跨越性，也不應(yīng)忽視思維的嚴(yán)密性，即不僅要重視數(shù)學(xué)直覺，還要關(guān)注數(shù)學(xué)邏輯思維，從而在解題時(shí)能迅速直覺判斷，合理思維.

鼓勵(lì)大膽猜想是產(chǎn)生直覺的關(guān)鍵

直覺思維是基于人的已有經(jīng)驗(yàn)的，廣博的知識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)是聯(lián)想和猜想的基石. 愛因斯坦也正是由于敢于質(zhì)疑和大膽猜想的精神，打破了“時(shí)間的同一性”這被人們視為不可更改的真理，提出了意義深遠(yuǎn)的相對(duì)論. 由此可見，大膽猜想可以發(fā)現(xiàn)前人沒有發(fā)現(xiàn)的問題，在創(chuàng)新中發(fā)展直覺思維. 因此，除去基礎(chǔ)知識(shí)的夯實(shí)之外，還需鼓勵(lì)學(xué)生大膽猜想，實(shí)現(xiàn)學(xué)習(xí)的創(chuàng)新和思維的創(chuàng)造.

例3：設(shè)m≤ （a，b，c，d∈R ），試求出m的最大值.

分析：仔細(xì)分析分式 的結(jié)構(gòu)特征，一些學(xué)生易猜想出最值很大可能是在a=d，b=c時(shí)取得的，原因在于這兩對(duì)元素的地位相同，無論如何互換，結(jié)果都不會(huì)改變. 正是有了這樣的猜想，問題即可轉(zhuǎn)化為求 的最大值，進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為求 = 的最大值，最終以換元法或是導(dǎo)數(shù)法即可探求得出最大值 -1.

評(píng)析：本題的解題方法在近年來的最值問題中應(yīng)屬于創(chuàng)新思維，學(xué)生正是有了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)和勇于創(chuàng)新的精神，才能敢于猜想，形成解題思路. 這樣的解題過程不僅訓(xùn)練了學(xué)生的數(shù)學(xué)直覺，還增加了學(xué)生的思維厚度，從而賦予了其更好的評(píng)價(jià)功能.

豐富的解題教學(xué)是產(chǎn)生直覺的保障

豐富的解題活動(dòng)可以鍛煉和發(fā)展思維，這是毋庸置疑的. 教學(xué)中，教師不妨展開對(duì)數(shù)學(xué)問題的研究，讓解題活動(dòng)更好地為學(xué)生思維的發(fā)展助力. 例如，選擇題由于只需要從4個(gè)備選答案中選擇正確答案，而不需要解題過程，顯然這里是允許有合理猜想的. 又如，開放性問題可以從各個(gè)角度提出猜想，自然利于直覺思維的開發(fā). 因此，教師可以選擇適宜直覺思維的題型，力求將題目中的思維容量得以延續(xù)，同時(shí)在解題過程中明確提出直覺思維，制定與之對(duì)應(yīng)的活動(dòng)方法，這樣一來，則可以充分發(fā)揮其潛在的功能，培養(yǎng)和考查學(xué)生的直覺思維能力.

例4：已知實(shí)數(shù)a和b分別滿足a3-3a2+5a=1，b3-3b2+5b=5，則a+b的值是______.

分析：例4是一道探究問題，若以函數(shù)的思路為探究主線，則根本無法解決根的問題，而倘若仔細(xì)觀察兩個(gè)等式，即可發(fā)現(xiàn)它們有著相同的結(jié)構(gòu)，再以構(gòu)造函數(shù)為突破口，將已知等式轉(zhuǎn)化為（a-1）3+2（a-1）=-2，（b-1）3+2（b-1）=2，即可構(gòu)造一個(gè)單調(diào)遞增函數(shù)f（x）=x3+2x. 因?yàn)閒（a-1）=-2，f（b-1）=2，所以f（a-1）= -f（b-1）=f（1-b），所以a-1=1-b，a+b=2.

評(píng)析：每一類題型都有著其特定的特征和常規(guī)的解法，但教學(xué)中教師不僅要滲透一般解法，更重要的是去啟發(fā)和引導(dǎo)學(xué)生全面而富有個(gè)性地分析條件和問題中的關(guān)聯(lián)，探尋解題捷徑. 這樣，不僅有助于解題思路的擴(kuò)展，還有助于直覺思維的啟發(fā)，同時(shí)有助于在高效的解題活動(dòng)中達(dá)到思維的生長.

總之，直覺思維作為一種瞬間思維，是邏輯思維的凝結(jié)和躍進(jìn)，而培養(yǎng)直覺思維是一門高深的教學(xué)藝術(shù). 可見，這方面的教學(xué)技藝對(duì)于一線教師來說，體現(xiàn)了把握教學(xué)標(biāo)準(zhǔn)的能力和教學(xué)智慧. 因此，在教學(xué)過程中，教師要一以貫之地強(qiáng)調(diào)和滲透，引導(dǎo)學(xué)生打破思維定式，并避免思維的狹隘性，全面引導(dǎo)學(xué)生有效溝通邏輯思維和直覺思維，并進(jìn)行高效的數(shù)學(xué)思考，進(jìn)而培育學(xué)生的整體思維品質(zhì)，促進(jìn)直覺思維的超長性發(fā)揮.