帶有滯后脈沖作用的隨機(jī)泛函微分系統(tǒng)的穩(wěn)定性

馬斯琪，程 培

（安徽大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，安徽 合肥 230601）

0 引言

隨機(jī)泛函微分系統(tǒng)是一類重要的隨機(jī)系統(tǒng)，由于其在數(shù)學(xué)、經(jīng)濟(jì)、生態(tài)和控制等領(lǐng)域的重要應(yīng)用而受到廣泛關(guān)注［1-5］.許多隨機(jī)泛函微分系統(tǒng)常常會經(jīng)歷狀態(tài)突然的變化，即受到脈沖效應(yīng)的影響.脈沖效應(yīng)不僅可以導(dǎo)致系統(tǒng)的不穩(wěn)定性、振蕩性等其他動力學(xué)行為，還可以改變系統(tǒng)的穩(wěn)定性.因此，關(guān)于脈沖隨機(jī)泛函微分系統(tǒng)的穩(wěn)定性及其鎮(zhèn)定問題的研究受到學(xué)者們的大量關(guān)注［6-10］.

另一方面，由于脈沖滯后問題在實際脈沖系統(tǒng)中普遍存在，因而研究帶有滯后脈沖作用的隨機(jī)泛函微分系統(tǒng)具有重要的理論和實際意義.近年來，學(xué)者越來越關(guān)注帶有滯后脈沖作用的隨機(jī)泛函微分系統(tǒng)的穩(wěn)定性.例如，針對鎮(zhèn)定型脈沖和干擾型脈沖，利用Lyapunov函數(shù)法和Razumikhin技巧，文獻(xiàn)［11］建立帶有滯后脈沖作用的隨機(jī)泛函微分系統(tǒng)的指數(shù)穩(wěn)定性的一些充分性判定定理.文獻(xiàn)［12］改進(jìn)文獻(xiàn)［11］的結(jié)果，并研究系統(tǒng)的幾乎必然指數(shù)穩(wěn)定性.文獻(xiàn)［11-12］所使用的Razumikhin技巧要求Lyapunov函數(shù)的擴(kuò)散算子在所有連續(xù)時間處都是負(fù)定的，或者被一個線性組合所限制，這具有一定的保守性.文獻(xiàn)［13］針對這一點進(jìn)行改進(jìn)，使用Lyapunov 函數(shù)法及平均脈沖區(qū)間法研究帶有滯后脈沖作用的混雜隨機(jī)泛函微分系統(tǒng)的指數(shù)穩(wěn)定性，但是由于其對擴(kuò)散算子的限制條件系數(shù)為常數(shù)，具有一定的保守性.

值得注意的是，以上研究結(jié)果主要集中于指數(shù)穩(wěn)定性問題，對漸近穩(wěn)定性關(guān)注較少.文獻(xiàn)［14］研究沒有滯后脈沖作用的隨機(jī)泛函微分系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定性.在其啟發(fā)下，本文對帶有滯后脈沖作用的隨機(jī)泛函微分系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定性進(jìn)行研究.不同于文獻(xiàn)［13］的是本文對擴(kuò)散算子的限制條件是時變系數(shù)的，基于Lyapunov 函數(shù)法，利用常數(shù)變易公式及脈沖系統(tǒng)的比較原理，建立系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的充分性條件，并研究指數(shù)穩(wěn)定性.最后通過實例說明所得結(jié)果的可行性.

1 預(yù)備知識

考慮以下脈沖隨機(jī)泛函微分系統(tǒng)

在本文中，假設(shè)f，g及Ik，k∈N 在t≥0 上都滿足解的全局存在與唯一性條件.因此對任意的初值，存在唯一的全局解x(t,φ)，此解在t≥0 且t≠tk處連續(xù)，在t=tk處右連續(xù)且左極限存在.還假設(shè)f(t,0,0)=0，g(t,0,0)=0及Ik(t,0,0)=0，k∈N，因此系統(tǒng)（1）有平凡解x(t)≡0.

定義1［14］若存在常數(shù)N0≥0 及Ta ＞0，使得

則稱脈沖序列ζ={tk:k∈N} 有平均脈沖區(qū)間Ta，其中N(t,s) 表示脈沖序列ζ在區(qū)間(s,t]上的脈沖時間數(shù)，N0稱為彈性數(shù).

定義2［15］令p ＞0，則系統(tǒng)（1）的平凡解為

（1）p階矩穩(wěn)定，若對任意的ε ＞0，存在一個δ ＞0，使得當(dāng)＜δ時，有E|x(t,φ)|p ＜ε，t≥0；

（2）p階矩漸近穩(wěn)定，若系統(tǒng)（1）的平凡解p階矩穩(wěn)定且對任意的ε ＞0，存在δ ＞0 及T=T(ε)，使得當(dāng)，有E|x(t,φ)|p ＜ε，t ＞T；

（3）p階矩指數(shù)穩(wěn)定，若存在常數(shù)λ ＞0 及M ＞0，使得當(dāng)p=2 時，稱為均方指數(shù)穩(wěn)定.

定義3［15］若函數(shù)V:[-τ,∞)×Rn→R+滿足

（1）在集合[tk,tk+1)×Rn上連續(xù)且對?x,y∈Rn，t∈[tk,tk+1)，k∈N，存在；

（2）在集合(tk,tk+1)×Rn，k∈N 上，函數(shù)V對t連續(xù)一次可微且對x連續(xù)二次可微；則稱函數(shù)V屬于函數(shù)類V0.

2 主要結(jié)果

定理1假設(shè)脈沖時間序列ζ={tk:k∈N} 有平均脈沖區(qū)間Ta及彈性數(shù)N0.若存在函數(shù)V∈V0，α(t),β(t)∈Ψ且β(t)≥0 及常數(shù)c1＞0,c2＞0,p ＞0,ρ1＞0,ρ2≥0 滿足

則系統(tǒng)（1）的解p階矩漸近穩(wěn)定.

證明令x(t,φ)=x(t)，V(t)=V(t,x(t)).由Ito^ 公式知，當(dāng)t∈[tk,tk+1)，k∈N 時，

令Δt ＞0 充分小使得t+Δt∈(tk,tk+1)，則有

在式（3）左右兩邊同時令Δt→0+，再結(jié)合條件（H2）可得，當(dāng)t∈[tk,tk+1)，k∈N 時，

其中D+為右上Dini導(dǎo)數(shù).當(dāng)t=tk，k∈N 時，由條件（H3）可得

考慮下面這個脈沖時滯微分方程，ε ＞0 充分小，

當(dāng)t∈[ 0,t1)時，對方程（6）使用常數(shù)變易法可得

從而結(jié)合方程（6）及式（8）可知

當(dāng)t∈[t1,t2)時，對方程（6）使用常數(shù)變易法再結(jié)合式（9）可得

故由歸納法知，當(dāng)t∈[tk,tk+1)，k∈N 時，

因此，方程（6）的解可表示為

其中

當(dāng)t+θ≥0 時，由式（12）及t+θ≤t可知

由N(t,s)的定義可知

因此，可以得到

將式（14）（16）代入式（13）得，當(dāng)t+θ≥0 時，

注意到t+θ ＜0，從而有t ＜-θ≤τ，重復(fù)式（14）（16）的證明過程可得

將式（19）（20）代入式（18），當(dāng)t+θ ＜0 時，得

將式（22）代入方程（6）得

由脈沖系統(tǒng)的比較原則知，當(dāng)t∈R+時，

在式（24）左右兩邊同時令ε→0+，再結(jié)合式（7）即可得到

由式（25）結(jié)合條件（H1）及式（26）得

定理2假設(shè)條件（H1）～（H3）都成立，且

則系統(tǒng)（1）的解p階矩指數(shù)穩(wěn)定.

當(dāng)t ＞t*時，則存在k0∈N，使得t*+k0T*≤t＜t*+(k0+1)T*，從而

易得

將式（31）～（33）代入式（30）得

結(jié)合式（34）得

將式（35）代入式（28）得，當(dāng)t ＞t*時，

結(jié)合式（29）與式（36）得

例1考慮下面帶有時滯脈沖的一維隨機(jī)泛函微分系統(tǒng)

當(dāng)t≠tk時，計算可得

當(dāng)t=tk時，

取t*=0，T*=2π，就有