瀝青混凝土路面電磁散射的FDTD研究

董子宇，任新成，趙 曄，楊鵬舉，朱小敏

(延安大學(xué) 物理與電子信息學(xué)院，陜西 延安 716000)

近年來，粗糙面電磁散射研究在軍事領(lǐng)域和民用領(lǐng)域的運用越來越廣泛，逐漸成為該領(lǐng)域?qū)W者關(guān)注的熱門課題[1-8]。自然界中的陸地面積雖然遠小于海洋面積，但是陸地環(huán)境卻非常復(fù)雜，并且很多地面下都是由多種介質(zhì)組成的，比如植被及其下方的介質(zhì)，煤層及其上方、下方的介質(zhì)，雪覆蓋的土壤，油層及其上方、下方的介質(zhì)，還有常見的公路等諸多情形。因此，對于粗糙面下方有多種介質(zhì)情形的電磁散射研究具有重要的意義。

粗糙面下方有多層介質(zhì)情形的電磁散射研究中，大多數(shù)學(xué)者以研究植被、雪層覆蓋的土壤為主[9，10]，對路面系統(tǒng)的研究較少。王蕊等人運用KA方法結(jié)合矩量法研究了兩層高斯粗糙表面的雙基地散射[11]；李娟等人用FDTD(時域有限差分)方法研究兩層粗糙面的電磁散射問題[12]；晁雪等人利用矩量法研究了非高斯分層粗糙面的電磁散射問題[13]。事實上，對瀝青混凝土路面的電磁散射的研究可以更好了解路面的粗糙程度，對于城鎮(zhèn)道路交通和飛機跑道的鋪設(shè)維護等方面具有重要的意義。

本文選用指數(shù)型分布表示由面層、基層、路基層構(gòu)成的瀝青混凝土路面的高度起伏，采用蒙特卡羅方法模擬瀝青混凝土路面，選取土壤四成分模型表示路基層介電常數(shù)，運用FDTD方法研究了瀝青混凝土路面的電磁散射特性。

1 基本理論

1.1 粗糙面的生成

在實際情況中，粗糙面一般都是二維的，但是在進行研究的時候為了方便，大多將其簡化成一維的。對于一維的隨機粗糙面可以使用蒙特卡羅方法進行模擬。將隨機生成的粗糙面的長度定義為L，第n個離散點可以表示為xn=n△x(n=1，…，N)，其中△x表示為相鄰兩個離散點的距離，

(1)

f(xn)即模擬粗糙面的輪廓，其空間傅里葉變化為F(Kj)，定義為

F(Kj)=

(2)

Kj定義為離散波數(shù)Kj=2πj/L，W(Kj)表示粗糙面的功率譜密度，△k為波束差，N(0,1)為均值為0，方差為1的正態(tài)分布的隨機數(shù)，當j<0時，為了減少譜重疊，有著F(Kj)=F(K-j)*的共軛對稱關(guān)系[14]。指數(shù)分布粗糙面的功率譜密度為：

(3)

1.2 路面下方介質(zhì)介電常數(shù)

通常我們常見的瀝青路面可以分為三層：第一層為瀝青混合物的面層，第二層為水泥碎石的基層，第三層為路基層，主要為土壤[15]。面層和基層的介電常數(shù)由文獻[16]給出，面層的介電常數(shù)實部為6，虛部為0.35，基層的介電常數(shù)的實部為13，虛部為2.78。路基層的介電常數(shù)通過土壤的四成分模型[17]計算得到，土壤類型為粉沙壤土[18]，含沙量為17.2%，黏土含量為19%，土壤復(fù)介電常數(shù)可表示為ε=ε′-jε″，其中ε′為復(fù)介電常數(shù)實部，ε″為復(fù)介電常數(shù)虛部。路基層的介電常數(shù)ε=16.19-5.86i(mv=0.3 g/cm3)。

1.3 入射波的引入

在水平線上引入入射波，入射角為θi，角頻率為ω，連接邊上的點r′=xx′+yy′在入射波方向上的投影為

d=xsinθi-ycosθi。

(4)

距離d的入射波可以通過以線性插值的方法得到，(5)式和(6)式中floor代表向下取整，

Einc(d)=

[1-d+floor(d)]Einc[floor(d)]+

[d-floor(d)]Einc[floor(d)+1]，

(5)

Hinc(d)=

[1-d+floor(d)]Hinc[floor(d)]+

[d-floor(d)]Hinc[floor(d)+1]。

(6)

邊界上入射波的場值表示為：

Ez(r′)=Einc(d)，

(7)

Hx(r′)=-Hinc(d)cosθi，

(8)

Hy(r′)=Hinc(d)sinθi。

(9)

為了解決人為發(fā)生的反射問題，通常會在入射波上附加高斯窗函數(shù)，

G(x,y)=

exp{-[(x-x0)2+(y-y0)2]·(cosθ/g)2}。

(10)

當x0=y0=0，要使窗函數(shù)在總場邊緣處下降為中心的10-3，應(yīng)使

(11)

其中ρm為中心到邊緣的最小距離。

2 FDTD計算

2.1 二維FDTD差分公式

對于二維的麥克斯韋方程情況，其物理量與z坐標無關(guān)。通常電磁波可分為TM波和TE波兩種，本文以TM波為例。TM波的二維FDTD差分公式可以寫為

(12)

(13)

(14)

式中的系數(shù)CA(m)，CB(m)，CP(m)，CQ(m)分別表示為

(15)

(16)

(17)

(18)

2.2 吸收邊界的選取

因為FDTD只能在有限區(qū)域內(nèi)進行，所以要對計算區(qū)域進行截斷處理，也就是需要引入吸收邊界條件使其等效為無限區(qū)域，而近年來比較常見的吸收邊界方法有Mur吸收邊界，CPML層，UPML層等。本文運用UPML吸收邊界來解決邊界問題。對于二維TM波，UPML的FDTD的推進步驟為Hx,Hy→Pz′→Pz→Ez和Ez→Bx,By→Hx,Hy。其具體的時域形式以及PML層的設(shè)置可參照文獻[19]。

2.3 近—遠場外推

因為FDTD只能計算有限區(qū)域內(nèi)的電磁散射，所以若要計算遠區(qū)的散射場時，就要通過外推邊界上的等效電磁流得到。波阻抗為Z，φ為散射波與水平軸的夾角，k為入射波數(shù)，當FDTD計算達到穩(wěn)態(tài)時，時諧場可外推得到遠區(qū)散射場

(19)

遠區(qū)場的雷達散射截面[20]為

(20)

遠區(qū)場的散射系數(shù)為

σ=10lg(σRCS)。

(21)

3 計算結(jié)果與數(shù)值分析

本文采用FDTD方法計算三層瀝青混凝土路面的散射系數(shù)，選取30個粗糙面進行計算，UPML層厚度選取10個網(wǎng)格，入射波波長λ=0.05 m，入射角大小θi=30°，各層隨機粗糙面的長度均為L=140λ，粗糙面網(wǎng)格大小dx=0.05λ，高度起伏均方根δ1=δ2=δ3=0.15λ，相關(guān)長度為l1=l2=l3=4λ，面層厚度h1=4λ，基層厚度h2=8λ，路基層厚度為無限大。

3.1 FDTD方法的驗證

首先得驗證FDTD算法計算單層隨機粗糙面電磁散射的有效性，λ=0.1 m，粗糙面長度L=100λ，入射角θi=20°，粗糙面參數(shù)δ=0.2λ，l=1.5λ，介質(zhì)相對介電常數(shù)ε=2.5-0.85i，粗糙面網(wǎng)格大小dx=0.05λ，選取了80個隨機粗糙面。如圖1所示。可以看出，由FDTD方法計算的雙站散射系數(shù)在整個散射角范圍內(nèi)和MoM計算結(jié)果吻合得很好，說明采用FDTD進行有關(guān)計算是正確的。

圖1 FDTD與矩量法數(shù)值結(jié)果的比較

3.2 高度起伏均方根對散射系數(shù)的影響

圖2計算了粗糙面高度起伏均方根對散射系數(shù)的影響，計算時，三個粗糙面的高度起伏均方根相同，計算時分別取0.1λ，0.2λ，0.3λ。由圖2可以看出，在鏡反射方向處，散射系數(shù)取得最大值，有鏡向增強效應(yīng)，且在鏡反射方向臨近，散射系數(shù)隨高度起伏均方根的增大而減小，而鏡像處臨近以外的其它方向，散射系數(shù)隨高度起伏均方根的增大而增大。

圖2 高度起伏均方根對散射系數(shù)的影響

隨著高度起伏均方根的增大，粗糙面的高度起伏就越明顯，粗糙面就越粗糙，從而導(dǎo)致散射在非相干散射方向上增大，在相干散射方向上減小。

3.3 相關(guān)長度對散射系數(shù)的影響

圖3表示了相關(guān)長度對散射系數(shù)影響的計算結(jié)果，計算時，三個粗糙面的相關(guān)長度相同，計算時分別取1λ，4λ，7λ。從圖3可以看出，在鏡反射方向處，散射系數(shù)取得最大值，有鏡向增強效應(yīng)(下同)，在鏡反射方向臨近，散射系數(shù)隨相關(guān)長度的增大而增大，而在鏡像處臨近以外的其它方向，散射系數(shù)隨相關(guān)長度的增大而減小，但變化不是太大。

圖3 相關(guān)長度對散射系數(shù)的影響

隨著相關(guān)長度的增大，粗糙面的高度起伏就越不明顯，粗糙面就越不粗糙，從而導(dǎo)致散射在非相干散射方向上減小，在相干散射方向上增大。

3.4 面層厚度對散射系數(shù)的影響

圖4計算了面層厚度對散射系數(shù)的影響，計算時，面層厚度h1分別取0.5λ、4λ和6λ。由圖4能夠看出，當-80°<θS<-10°時，散射系數(shù)隨面層厚度的增大而減小，并且變化較為明顯；在-10°<θS<40°時，散射系數(shù)隨面層厚度的增大而減小，但是變化不太明顯；在40°<θS<90°時，散射系數(shù)隨面層厚度的變化不明顯，而且無固定的規(guī)律可循。

圖4 面層厚度對散射系數(shù)的影響

3.5 基層厚度對散射系數(shù)的影響

圖5為基層厚度對散射系數(shù)的影響的計算結(jié)果，計算時，基層厚度h2分別取為5λ，8λ，11λ。從圖5可以看出，散射系數(shù)隨基層厚度的變化并無明顯規(guī)律可言，這說明基層厚度對散射系數(shù)的影響很小。

圖5 基層厚度對散射系數(shù)的影響

3.6 路基層濕度對散射系數(shù)的影響

圖6計算了路基層濕度對散射系數(shù)的影響，計算時，用土壤的四成分模型計算路基層的介電常數(shù)，考察路基層介電常數(shù)對散射系數(shù)的影響實際上就歸結(jié)為考慮路基層濕度對散射系數(shù)的影響，路基層濕度mv分別取0.3 g/cm3，0.35 g/cm3，0.4 g/cm3。由圖6能夠看出，散射系數(shù)隨路基層濕度的變化并無明顯的規(guī)律變化，說明路基層的濕度對散射系數(shù)無明顯影響。

圖6 土壤濕度對散射系數(shù)的影響

3.7 入射波頻率對散射系數(shù)的影響

圖7為當入射波頻率f分別為1 GHz，2 GHz，6 GHz時對散射系數(shù)影響的計算結(jié)果。由圖7不難看出，除了θS<-40°范圍內(nèi)散射系數(shù)隨入射波頻率的變化沒有明顯的變化外，在散射角變化的其它范圍，散射系數(shù)隨入射波頻率的變化有明顯的變化，在鏡像處，散射系數(shù)隨入射波頻率的增大而增大，其它部分散射系數(shù)都隨入射波頻率的增大而減小，總體看來，入射波頻率對散射系數(shù)的影響較大。這是因為入射波頻率的變化，即入射波波長的變化，導(dǎo)致了粗糙面高度起伏均方根和相關(guān)長度相對值的改變，即粗糙程度的改變，再加上路基層土壤的介電常數(shù)同時也發(fā)生了變化，因此入射波頻率對散射系數(shù)的影響較大。

圖7 不同入射波頻率對散射系數(shù)的影響

4 結(jié)論

本文運用FDTD方法研究了瀝青混凝土路面的電磁散射問題，計算結(jié)果可用于研究多層均勻介質(zhì)粗糙面的電磁散射問題，同時對于地面平整度的檢測具有重要的意義。本文使用的FDTD方法相較于其它數(shù)值計算方法更具有應(yīng)用性，并且還可以節(jié)約運算和存儲空間，還具有較高的準確性，同時在建立粗糙面模型時運用四成分模型計算路基層的介電常數(shù)，因此，本文理論上在瀝青混凝土路面的電磁散射問題上更加貼近于實際情況。當然，本文研究的瀝青混凝土路面為一維的，還未涉及到二維的路面系統(tǒng)電磁散射問題和瀝青混凝土路面與目標的復(fù)合散射問題，而這些問題還需要今后更進一步的研究。