三因素原油期貨定價模型及解析解

喬克林，張少鋒

(延安大學(xué) 數(shù)學(xué)與計算機科學(xué)學(xué)院，陜西 延安 716000)

原油期貨可以說是人類智慧的結(jié)晶，它在成功實現(xiàn)轉(zhuǎn)移風(fēng)險功能的同時，還為市場的投資者提供了新的工具。自原油期貨誕生以來，學(xué)者們對其進行了廣泛而深度的研究，其中原油期貨定價模型的研究尤為重要。1997年Schwartz[1]將利率作為一個直接影響到原油期貨價格的狀態(tài)變量引入到定價模型中，提出了三因素模型。之后，Schwartz等[2]提出期限三因素模型；王蘇生等[3]在二因素模型中加入中期因素，建立三因素模型；閆偉等[4]研究了帶有隨機匯率因素的三因子期貨價格模型。基于此，本文利用隨機過程理論和微分方法，對三因素原油期貨定價模型做了進一步的研究，并得出了模型的解析解。

1 三因素原油期貨定價模型

定義1[5]如果隨機過程{X(t),t≥0滿足

(1)X(0)=0；

(2){X(t),t≥0}為平穩(wěn)獨立增量過程；

(3)對于每一個t≥0，有X(t)～N(0,σ2t)。

則稱隨機過程{X(t),t≥0}為維納過程或布朗運動。

定義2[6]如果隨機變量X的函數(shù)Y=lnX服從正態(tài)分布N(μ,σ2)，則稱X服從參數(shù)為μ和σ2的對數(shù)正態(tài)分布。

本文給出王蘇生[3]的期限三因素原油定價模型。設(shè)現(xiàn)貨價格的對數(shù)可以分解成短期、中期、長期均衡變量三部分：

lnSt=x1t+x2t+x3t。

其中St為原油現(xiàn)貨價格，短期變量x1t和中期變量x2t服從均值為零的O-U過程，長期均衡變量x3t服從布朗運動：

其中，k1，k2分別表示短期變量和中期變量的均值回復(fù)率；μ表示長期均衡變量的漂移率；σ1，σ2，σ3分別表示x1t，x2t，x3t的波動率；dW1，dW2，dW3分別表示x1t，x2t，x3t的標(biāo)準(zhǔn)布朗運動的增量，且有

在風(fēng)險中性測量下，我們引入風(fēng)險溢價因子λ1，λ2，λ3，分別表示短期、中期、長期風(fēng)險溢價因子。此時三因素模型為

(1)

2 三因素原油期貨定價模型的解析解

利用隨機過程知識和微分方法，針對模型(1)推導(dǎo)其解析解，為了求得期貨價格，下面先求解lnSt的期望，然后求解lnSt的方差，進而得出模型的解析解。

首先對模型(1)中的第一個等式兩邊同乘ek1t并且移項得

ek1tdx1t+ek1tk1x1tdt=-ek1tλ1dt+ek1tσ1dW1，

由分部微分duv=udv+vdu得

兩邊積分得

移項同除以ek1t，即得xt的價格為

由模型中的第二個等式同理得到x2t的價格為

對模型中的第三個等式兩邊積分得

移項即得x3t的價格為

期望則是各自隨機變量的期望：

E(lnSt)=Ex1t+Ex2t+Ex3t。

又EU1=0，

所以

故得出

同理得

Ex3t=x30+(μ-λ3)t。

所以求得lnSt的期望

E(lnSt)=Ex1t+Ex2t+Ex3t=

x30+(μ-λ3)t+(μ-λ3)t。

下面繼續(xù)求解lnSt的方差。

由于D[lnSt]=D[x1t+x2t+x3t]=

Dx1t+Dx2t+Dx3t+2Cov(x1t,x2t)+2Cov(x1t,x3t)+

2Cov(x2t,x3t)，

而Cov(x1t,x1r)=E(x1t·x1r)-Ex1tEx1r=

其中假定r>t，由Ito隨機過程推論

故得

同理可得

進一步有

Cov(x1t,x2t)=E(x1t·x2t)-Ex1tEx2t=

同理有

由于F0,t=E[St]，再由對數(shù)正態(tài)分布的[6]性質(zhì)可知

若給定狀態(tài)變量初始值，根據(jù)F0,t=E[St]得到初始時刻的期貨價格解析解

求解完畢。