圖形變換題的設(shè)計(jì)思路及應(yīng)對(duì)策略

夏濟(jì)軍

圖形的變換主要以圖形為載體，通過對(duì)圖形的平移、翻折、旋轉(zhuǎn)等方式，將圖形的位置改變，并以此考查同學(xué)們分析問題和解決問題的能力?，F(xiàn)結(jié)合2020年中考試題，從命題者的角度談?wù)劥祟愵}目的設(shè)計(jì)思路及應(yīng)對(duì)策略，希望對(duì)大家的學(xué)習(xí)有所幫助。

一、設(shè)計(jì)對(duì)稱

例1 （2020·江蘇鹽城）如圖1，已知點(diǎn)A（5，2），B（5，4），C（8，1），直線l⊥x軸，垂足為點(diǎn)M（m，0），其中m<[52]，若△A′B′C′與△ABC關(guān)于直線l對(duì)稱，且△A′B′C′有兩個(gè)頂點(diǎn)在函數(shù)y=[kx]（k≠0）的圖像上，則k的值為。

【命題思路】（1）本題考查坐標(biāo)的對(duì)稱變換，由m的取值范圍m<[52]，得△A′B′C′的3個(gè)頂點(diǎn)落在第二象限;（2）△A′B′C′有兩個(gè)頂點(diǎn)落在反比例函數(shù)y=[kx]（k≠0）的圖像上，考查了同學(xué)們分類討論的意識(shí)。

【應(yīng)對(duì)策略】第一步：因?yàn)椤鰽′B′C′與△ABC關(guān)于直線x=m對(duì)稱，所以縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)之和的一半等于m，不妨設(shè)A′（x′，2），則[x′+52]=m，所以x′=2m-5，所以A′（2m-5，2）、B′（2m-5，4）。同理可求出C′（2m-8，1）。

第二步：分類討論。當(dāng)函數(shù)圖像經(jīng)過A′、C′兩點(diǎn)時(shí)，k=xy=2（2m-5）=1（2m-8）;當(dāng)函數(shù)圖像經(jīng)過B′、C′時(shí)，k=xy=4（2m-5）=1（2m-8）;當(dāng)函數(shù)圖像經(jīng)過B′、A′時(shí)，這種情況不存在。分別解得m=1或2，所以k=-6或-4。

二、設(shè)計(jì)平移

例2 （2020·河南）如圖2，在△ABC中，∠ACB=90°，邊BC在x軸上，頂點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為（-2，6）和（7，0）。將正方形OCDE沿x軸向右平移，當(dāng)點(diǎn)E落在AB邊上時(shí)，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（）。

A.（[32]，2）B.（2，2）

C.（[114]，2）D.（4，2）

【命題思路】通過平移變換、坐標(biāo)與線段長(zhǎng)度之間的轉(zhuǎn)化，著重考查了同學(xué)們動(dòng)手操作的能力和對(duì)正方形的性質(zhì)、基本的相似圖形以及銳角三角函數(shù)的運(yùn)用能力，同時(shí)還考查了一次函數(shù)方面的有關(guān)知識(shí)。

【應(yīng)對(duì)策略】首先將點(diǎn)的坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為線段長(zhǎng)，由點(diǎn)A（-2，6）可知OC=2，即正方形OCDE的邊長(zhǎng)為2，所以正方形OCDE沿x軸向右平移不改變點(diǎn)D的縱坐標(biāo)2。如圖3，先畫出平移后點(diǎn)E落在AB上的示意圖，思路1：抓住相似三角形的基本圖形（正A型），由△BO′E

∽△BCA可求得O′B=3，從而推算出點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，2）;思路2：分別在Rt△ABC和Rt△EBO′中表示出tan∠ABC=tan∠EBO′得解;思路3：在求得直線AB函數(shù)表達(dá)式的基礎(chǔ)上，令縱坐標(biāo)等于2，求得點(diǎn)E的橫坐標(biāo)，由正方形邊長(zhǎng)為2，可以推算出點(diǎn)D的坐標(biāo)。

三、設(shè)計(jì)旋轉(zhuǎn)

例3 （2020·江蘇蘇州）如圖4，在△ABC中，∠BAC=108°，將△ABC繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到△AB′C′。若點(diǎn)B′恰好落在BC邊上，且AB′=CB′，則∠C′的度數(shù)為（）。

A.18° B.20° C.24° D.28°

【命題思路】利用三角形旋轉(zhuǎn)的不變性（三角形形狀、大小不改變，對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離不變），如∠C′=∠C、AB=AB′，構(gòu)造等腰三角形，考查了同學(xué)們對(duì)旋轉(zhuǎn)變換的理解和運(yùn)用方程解決問題的意識(shí)。

【應(yīng)對(duì)策略】“設(shè)小表大”，列方程求解。所謂“設(shè)小表大”，就是設(shè)較小角的度數(shù)為x，并用含x的代數(shù)式表示出與之相關(guān)的較大角，然后從中找出相等關(guān)系并列出方程，最終解決問題。設(shè)∠C′的度數(shù)為x，則∠C=x，因?yàn)锳B′=CB′，所以∠B′AC=x。接著利用△AB′C的外角表示出∠AB′B=2x，由旋轉(zhuǎn)得AB=AB′，所以∠B=∠AB′B=2x。在△ABC中，據(jù)三角形的內(nèi)角和等于180度可列方程x+2x+108=180，所以x=24，即∠C′的度數(shù)為24°。

圖形的變換歷來是中考考查的重要內(nèi)容，我們只要抓住圖形變化過程中變化的特征和規(guī)律，找準(zhǔn)變化前與變化后始終保持不變的量，就能以不變應(yīng)萬變，解決多種問題。

（作者單位：江蘇省東臺(tái)市教師發(fā)展中心）