多勢阱中電子的束縛態(tài)與能帶形成研究

江俊勤,涂菁

(廣東第二師范學(xué)院物理與信息工程系,廣東 廣州 510303)

0 引言

量子阱(有限深勢阱)是量子器件的基本單元,是理論研究的熱點(diǎn)之一[1?4]。從量子物理的層面研究勢阱數(shù)目和勢壘寬度對能態(tài)分裂的影響,對于理解半導(dǎo)體多勢阱結(jié)構(gòu)中電子的能態(tài)分布和制備具有實(shí)際意義的量子器件都具有參考價(jià)值。同時(shí),計(jì)算一維量子阱中電子的能級(jí)和態(tài)函數(shù)是量子力學(xué)中一個(gè)重要的基礎(chǔ)問題[5?9]。量子阱中電子的能態(tài)可以通過薛定諤方程或轉(zhuǎn)移矩陣的方法來描述,文獻(xiàn)[3]用轉(zhuǎn)移矩陣的方法研究了雙勢阱中能級(jí)分裂的物理機(jī)理,但該方法是否便于推廣到多勢阱的情況則未見報(bào)道。另一方面,能帶理論是固體物理學(xué)的核心,但是能帶的形成機(jī)理頗為復(fù)雜和抽象,如果能用一種簡單易懂的計(jì)算方法直觀地展示多勢阱中能帶的形成過程,將有助于理解能帶這個(gè)重要概念。文獻(xiàn)[9]發(fā)展了一種近似的初值法,通過數(shù)值求解定態(tài)Schr¨odinger方程計(jì)算多勢阱的能級(jí),但是該方法能否成功依賴于較多的人為因素,需要人為調(diào)節(jié)一系列參數(shù)(調(diào)試波函數(shù)的求解邊界和調(diào)試合適的近似初值以及對合理波函數(shù)的篩選),以確保成功將邊值問題轉(zhuǎn)化為近似的初值問題。對于未知能級(jí)的多勢阱結(jié)構(gòu)來說,此調(diào)試工作量難以估計(jì)、結(jié)果的可靠性難以保證。

求解量子阱中電子能態(tài)的經(jīng)典方法是先求出定態(tài)薛定諤方程的解析解,然后用波函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)條件計(jì)算電子的能級(jí)和波函數(shù)。經(jīng)典方法的優(yōu)點(diǎn)是物理概念明晰、計(jì)算方法簡單易懂,而且不依賴人為調(diào)節(jié)的參數(shù)。然而,即使在單一個(gè)量子阱的情況下,用于確定電子能級(jí)的個(gè)數(shù)及其大小的方程也是頗為復(fù)雜的超越方程,所以目前常用的教科書[5,6]只能求出能級(jí)滿足的方程,而無法具體計(jì)算能級(jí)和波函數(shù)。想要得到足夠精度的能級(jí)和波函數(shù),需要進(jìn)行有效的數(shù)值計(jì)算。對于多個(gè)勢阱的情況,更需要一種有效的數(shù)值方法。

為此,提出了一種基于Mathematica有效計(jì)算電子能級(jí)和波函數(shù)的數(shù)值方法,并在4個(gè)勢阱的情況下初步顯示了該方法的優(yōu)勢[10]。本文在文獻(xiàn)[10]的基礎(chǔ)上進(jìn)一步考慮5個(gè)量子阱(有限深勢阱)的情況,利用新版本Mathematica強(qiáng)大的符號(hào)運(yùn)算和數(shù)值計(jì)算能力,研究了能態(tài)結(jié)構(gòu)隨勢阱數(shù)目變化的規(guī)律,顯示了電子能級(jí)分裂成能帶的機(jī)理。

1 1～5個(gè)勢阱中電子能級(jí)的計(jì)算

1.1 單個(gè)量子阱的能級(jí)

設(shè)電子被如圖1所示的單勢阱束縛(電子能量E0):左右兩邊的勢壘為無限寬但有限高,高度為U0,即勢能函數(shù)可寫為

按照經(jīng)典解法,定態(tài)Schr¨odinger方程分3個(gè)區(qū)間求解:

其通解為

2)當(dāng)x≤0或x≥a時(shí),令,則定態(tài)Schr¨odinger方程可表示為

其滿足ψ(±∞)為有限值要求的解為

根據(jù)波函數(shù) (及其一階導(dǎo)數(shù))的連續(xù)性要求,在x=0 處,要求 ψ(0?)= ψ(0+)且 ψ′(0?)= ψ′(0+),即

這就是取如圖1所示坐標(biāo)系的優(yōu)點(diǎn)之一,x=0處的邊界條件可以提前單獨(dú)處理,這樣(3)式可寫成

圖1 單勢阱Fig.1 Single-well potential

在x=a處,要求 ψ(a?)= ψ(a+)且 ψ′(a?)= ψ′(a+),即

其為關(guān)于A和B的二元齊次線性方程組,有非平庸解(非0解)的充分必要條件是系數(shù)行列式等于0,這是確定能量本征值的條件,使用有效的數(shù)值解法即可獲得能級(jí)的高精度值。約去系數(shù)行列式中無用的公因子 e?βa,令方程式f(E)=0的全部實(shí)數(shù)根就是所求的電子的能級(jí)。但是,若要得到足夠精度的電子能級(jí),需要有效的數(shù)值計(jì)算,借助Mathematica-11.3的找根命令FindRoot可完美解決問題。先用繪制曲線圖的命令Plot畫出f(E)的曲線圖,確定數(shù)值解的個(gè)數(shù)及其初值。此處取a=1 nm和U0=5 eV,對應(yīng)的f(E)曲線如圖2所示,即在此參數(shù)下共有4個(gè)能級(jí),分別在0.3、1.1、2.3、4.1附近(曲線的單調(diào)區(qū)間較寬,初值的選取比較自由,如取0.2、1.3、2.5、3.5,找根結(jié)果也一樣),以它們?yōu)閿?shù)值解的初值,容易求得高精度的能級(jí)(單位為 eV,下同),分別為 0.271803、1.07739、2.37920、4.05933。

圖2 單勢阱中的 f(E)曲線Fig.2 Curves of f(E)in single-well potential

1.2 2個(gè)量子阱的能級(jí)

設(shè)單個(gè)電子被如圖3所示的雙量子阱束縛(電子能量E

圖3 對稱雙勢阱Fig.3 Symmetric two-well potential

式中各未知系數(shù)和能量由x=0,a1,a2,a3處波函數(shù)(及其導(dǎo)數(shù))的連續(xù)性確定。先由x=0處連續(xù)性要求,得A1=βA/α和A2=A,再由x=a1,a2,a3三處連續(xù)的要求,得

其為六元線性齊次方程組,有非平庸解的充要條件是(10)式的系數(shù)行列式等于0,去掉無用的公因子e?βa3,得到確定能量本征值的條件

式中f(E)是六階行列式,其結(jié)果比(8)式復(fù)雜得多,用Mathematica計(jì)算則十分快捷,即

圖4 對稱雙勢阱中的 f(E)曲線Fig.4 Curves of f(E)in symmetric two-well potential

取a1=1 nm、a2=1.5 nm、a3=2.5 nm(兩勢阱的寬度均為1 nm、中間勢壘寬度為0.5 nm)以及U0=5 eV,則f(E)的曲線如圖4所示,能級(jí)一共有8個(gè),它們的大概值分別是0.271、0.272、1.0、1.1、2.3、2.4、4.0、4.1(可以局部放大以便正確確定能級(jí)個(gè)數(shù)及其初值位置,圖4右下方給出了f(E)在E=0.271和4.05附近的局部放大圖,都是兩個(gè)很靠近的交點(diǎn))。以它們?yōu)槌踔?用命令FindRoot求出高精度能級(jí)(單位為eV,下同),分別為:0.271504、0.272100、1.07565、1.07913、2.37158、2.38691、4.02556、4.09941。

1.3 3～5個(gè)量子阱、能帶的形成

單個(gè)量子阱和雙量子阱的計(jì)算方法容易推廣到多量子阱的情況。每增多1個(gè)量子阱,表示束縛定態(tài)的分段波函數(shù)增加兩段,定態(tài)波函數(shù)中待定系數(shù)滿足的線性方程組增加4個(gè)未知數(shù);相應(yīng)地,用于確定電子能級(jí)的行列式f(E)增加4階。

對于三勢阱,波函數(shù)分為7段,即

由x=0,a1,a2,a3,a4,a5處波函數(shù)的連續(xù)性可確定(13)式各未知系數(shù)和能量所滿足的方程組

其為十元線性齊次方程組,由十階系數(shù)行列式f(E)=0可計(jì)算出高精度的能量本征值,求解方法和處理超越方程式(12)相同,但對應(yīng)(14)式的十階系數(shù)行列式f(E)的表達(dá)式比(12)式復(fù)雜得多,本文從略。

取a1=1 nm、a2=1.5 nm、a3=2.5 nm、a4=3 nm、a5=4 nm(即每個(gè)勢阱的寬度都是1 nm,而中間勢壘寬度都是0.5 nm)和U0=5 eV,可求得所有能級(jí)(共12個(gè)),分別為:0.27138、0.271802、0.272223、1.07493、1.07739、1.07985、2.36846、2.37919、2.39013、4.01223、4.06124、4.11722,每 3 個(gè)一組。

對于四勢阱,波函數(shù)分為9段,即

由x=0,a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7處波函數(shù)的連續(xù)性可確定(15)式中各未知系數(shù)和能量所滿足的方程組

其為十四元線性齊次方程組,由其系數(shù)行列式(十四階,略)f(E)等于0(有非平庸解的條件)可求得所有能級(jí)。取每個(gè)勢阱的寬度都是1 nm,中間勢壘寬度都是0.5 nm(即a1=1 nm、a2=1.5 nm、a3=2.5 nm、a4=3 nm、a5=4 nm、a6=4.5 nm、a7=5.5 nm)和U0=5 eV,則共有16個(gè)能級(jí),分別為:0.271319、0.271617、0.271986、0.272284、1.07457、1.07631、1.07846、1.08021、2.36692、2.37447、2.38395、2.39173、4.00574、4.03942、4.08507、4.12619,每 4 個(gè)一組。

對于N≥5的情況,其計(jì)算量遠(yuǎn)大于4個(gè)勢阱的情況,但由于Mathematica-11.3具有強(qiáng)大的符號(hào)運(yùn)算和數(shù)值計(jì)算能力,仍然可以得到有效處理。對于5個(gè)勢阱,波函數(shù)分為11段,確定能級(jí)和波函數(shù)待定系數(shù)的是十八元齊次線性方程組(略),由十八階系數(shù)行列式f(E)等于0(有非0解的條件)可求得所有能級(jí)。仍然取每個(gè)勢阱的寬度都是1 nm、中間勢壘寬度都是0.5 nm(即a1=1 nm、a2=1.5 nm、a3=2.5 nm、a4=3 nm、a5=4 nm、a6=4.5 nm、a7=5.5 nm、a8=6 nm、a9=7 nm)和U0=5 eV,則共有20個(gè)能級(jí),分別為:0.271285、0.271503、0.271801、0.272100、0.272318、1.07437、1.07564、1.07738、1.07913、1.08041、2.36607、2.37158、2.37919、2.38690、2.39262、4.00211、4.02643、4.06188、4.10049、4.13124,每5個(gè)成一組。

圖5 單個(gè)勢阱至5個(gè)勢阱的電子能級(jí)Fig.5 Energy levels of electron from single-well potential to five-well potential

把1～5個(gè)對稱勢阱的能級(jí)繪制在一個(gè)圖上,如圖5所示,由于各個(gè)量子阱距離很近(只有0.5 nm),當(dāng)N個(gè)完全一樣的量子阱排在一起時(shí),電子的態(tài)函數(shù)發(fā)生了重疊(越高能級(jí)的電子態(tài)重疊越嚴(yán)重),電子受到了N個(gè)量子阱的影響,原來的一個(gè)能級(jí)分裂成為N個(gè)相近的新能級(jí),量子阱數(shù)目N越大能級(jí)間隙越小;隨著量子阱數(shù)目N的增加,形成了能帶。

2 電子定態(tài)波函數(shù)的數(shù)值計(jì)算

僅以N=4(4勢阱)為例,其能級(jí)已經(jīng)高精度確定,也就能計(jì)算電子定態(tài)波函數(shù)了。把能級(jí)E、電子質(zhì)量μ、電量e、約化普朗克常數(shù)?和勢阱高度U0值代入(16)式,就可以確定各個(gè)系數(shù)與A之間的關(guān)系(A由歸一化條件給出),從而求出線性方程組(16)的基礎(chǔ)解系。實(shí)際上,系數(shù)A1和A2已經(jīng)由A1=βA/α和A2=A確定了,再由(16)式的前兩個(gè)方程可以解出系數(shù)B1和B2,由第3個(gè)和第4個(gè)方程解出C1和C2,由第5個(gè)與第6個(gè)方程可以解出系數(shù)D1和D2,由第7個(gè)與第8個(gè)方程可以求得系數(shù)E1和E2,由第9個(gè)與第10個(gè)方程可以確定系數(shù)F1和F2,由第11與第12個(gè)方程可以解出系數(shù)G1和G2,最后利用(16)式的第13(或第14)個(gè)方程就可以求得系數(shù)H。

把從(16)式求得的各個(gè)系數(shù)代入(15)式就可以計(jì)算出波函數(shù)并繪圖,限于篇幅此處只給出一部分波函數(shù)的圖形,如圖6～10所示,分別是基態(tài)的波函數(shù)、第一激發(fā)態(tài)的波函數(shù)、第二激發(fā)態(tài)的波函數(shù)、第十四激發(fā)態(tài)的波函數(shù)和第十五激發(fā)態(tài)的波函數(shù)。

所有定態(tài)波函數(shù)都是以勢阱中心軸(在x=2.75nm處)為對稱軸的奇偶函數(shù),隨著能級(jí)的升高,定態(tài)波函數(shù)的奇偶性輪流呈現(xiàn),基態(tài)波函數(shù)為偶函數(shù),最高能級(jí)的波函數(shù)為奇函數(shù)。

圖6 對稱四勢阱中基態(tài)的波函數(shù)Fig.6 Wave function of ground state in a symmetric four-well potential

圖7 對稱四阱勢中第一激發(fā)態(tài)的波函數(shù)Fig.7 Wave function of the first excited state in a symmetric four-well potential

圖8 對稱四阱勢中第二激發(fā)態(tài)的波函數(shù)Fig.8 Wave function of the second excited state in a symmetric four-well potential

圖9 對稱四阱勢中第十四激發(fā)態(tài)的波函數(shù)Fig.9 Wave function of the fourteenth excited state in a symmetric four-well potential

圖10 對稱四阱勢中第十五激發(fā)態(tài)的波函數(shù)Fig.10 Wave function of the fifteenth excited state in a symmetric four-well potential

3 結(jié)論

研究了處在1～5個(gè)量子阱(有限深方勢阱)中單電子的束縛態(tài)。從定態(tài)薛定諤方程出發(fā),利用新版本Mathematica強(qiáng)大的符號(hào)運(yùn)算和數(shù)值計(jì)算能力,研究了能級(jí)結(jié)構(gòu)隨勢阱數(shù)目N變化的規(guī)律-用數(shù)值方法求解由標(biāo)準(zhǔn)條件決定的(4N?2)元線性方程組,由系數(shù)行列式等于0的超越方程計(jì)算出電子的能級(jí)、再通過計(jì)算線性方程組的基礎(chǔ)解系確定本征函數(shù)。計(jì)算過程和所得到的結(jié)果表明所提出方法是研究多勢阱中電子束縛態(tài)的有效方法,其保留了經(jīng)典解法的優(yōu)點(diǎn),物理概念清晰、過程簡明易懂、不存在人為調(diào)節(jié)的參數(shù),而且計(jì)算精度高、速度快。同時(shí),所得結(jié)果直觀地展示了電子能級(jí)分裂成能帶的機(jī)理。