基于憶阻器的Sprott-B超混沌系統(tǒng)的動力學分析與電路實現(xiàn)

李曉霞,王雪,馮志新,張啟宇

(1河北工業(yè)大學省部共建電工裝備可靠性與智能化國家重點實驗室,天津 300130;2河北工業(yè)大學河北省電磁場與電器可靠性重點實驗室,天津 300130)

0 引言

1971年,Chua[1]預測了一種本質為非線性電阻,且其電阻值可以通過流經的磁通或電荷的變化而發(fā)生變化的元器件,且定名為憶阻器。憶阻器是表征磁通量與電荷的元器件[2,3],其非線性[4]使它可以代替眾多電路器件來構造非線性函數(shù),且憶阻器的伏安特性曲線具有傾斜“8”字型的緊捏滯回線特性,在電路中易于引起振蕩與混沌,這十分有利于混沌電路的搭建與實際應用,科研人員基于這一點構建了非線性電路。特別地,在基于憶阻器的混沌電路[5,6]與基于憶阻器的神經突觸電路[7,8]方面取得了很大進展。

混沌現(xiàn)象已經被廣泛研究了幾十年,其中在混沌化[9]、混沌的控制[10?12]、混沌的同步與應用等方面[13?16]有很多重要的研究成果。混沌化指的是產生或者增強系統(tǒng)的混沌性這一過程,混沌化的增強可以提高網絡的復雜性與難預測性,符合保密通訊領域對系統(tǒng)安全性的要求。一般來說,用三階或者高階的非線性常微分方程可以實現(xiàn)連續(xù)系統(tǒng)的混沌。除了常見的Lorenz系統(tǒng)[17?20],Sprott創(chuàng)造的19種含有非線性二次項的網絡[21,22]也逐漸成為研究熱點。這一系列Sprott系統(tǒng)的不同之處在于,包含常數(shù)項及多個非線性項在內的一系列微分方程組增加了系統(tǒng)的復雜性,滿足科研過程中對于多種難以預測的混沌狀態(tài)的需求。近年來對于該系統(tǒng)的研究大多針對其應用,如同步控制等[23,24]。對于Sprott系統(tǒng)本身混沌化增強的研究很少,并且鮮有對含常數(shù)的系統(tǒng)進行的電路實現(xiàn)分析。本文基于Sprott-B系統(tǒng)進行了包括混沌性驗證、系統(tǒng)特性研究、動力學分析及電路實現(xiàn)在內的一系列研究。

當前應用于混沌電路系統(tǒng)中的憶阻器引進方法包括以下幾種:1)基于現(xiàn)有經典系統(tǒng),利用憶阻作為某一或多維的反饋項或直接增加一維憶阻變量來增強憶阻混沌特性[25?27];2)在混沌電路中選擇一個非線性元件,然后用憶阻器將其替換[28,29]。

本文利用第一種憶阻器引進方法,基于Sprott-B系統(tǒng),通過增加一個磁控憶阻器反饋量和一維憶阻變量,構建了一個新型超混沌四階系統(tǒng),并觀察到了超混沌現(xiàn)象,與原Sprott-B系統(tǒng)相比,大大增強了混沌復雜特性及信號產生的隨機性。然后進行了新型系統(tǒng)的特性分析,包括Lyapunov指數(shù)和維數(shù)、耗散性、無限多平衡點集與穩(wěn)定性。接著分析了超混沌系統(tǒng)的動力學特性,其中通過分析隨參數(shù)變化的分岔圖,清楚地看到了通向混沌的過程,并觀察到了瞬態(tài)混沌現(xiàn)象;通過對比隨初始值變化的分岔圖與Lyapunov指數(shù)譜,觀察到多吸引子共存現(xiàn)象。最后,通過系統(tǒng)方程設計出相應電子模擬電路,實驗相圖與數(shù)值仿真結果一致,表明本系統(tǒng)可以應用于實際生產生活中。據(jù)了解,尚無文獻討論有關含常數(shù)項混沌系統(tǒng)的瞬態(tài)混沌與多吸引子共存等情況,本文創(chuàng)新性地構建了包含常數(shù)項的憶阻混沌系統(tǒng),為高性能多復雜性的通訊保密網絡奠定了基礎。

1 基于憶阻器的Sprott-B超混沌憶阻系統(tǒng)

1.1 Sprott-B簡單系統(tǒng)模型

簡單Sprott-B模型可表示為

式中:狀態(tài)變量為x=(x1,x2,x3)T∈R3,系統(tǒng)參數(shù)a=1,b=2,c=5,且當x1、x2、x3的初始值分別選取為(1,1,1)時,方程組(1)得到一個如圖1所示的吸引子,經計算,系統(tǒng)(1)的Lyapunov指數(shù)為0.4753,0.0004,?2.4757。

圖1 Sprott-B系統(tǒng)的吸引子Fig.1 Chaotic attractor of Sprott-B system

1.2 超混沌憶阻系統(tǒng)模型

在系統(tǒng)(1)的基礎上,分別在第二項上增加了一個憶阻反饋項,第三項增加了一個憶阻變量,并增加了一個第四項,得到了四階憶阻系統(tǒng)

式中:k是表征與憶阻器有關的系數(shù);W(x4)=?d+e|x4|是系統(tǒng)引入的憶阻性質的函數(shù)方程,此處選用磁控二次型憶阻器[30],且定義參數(shù)d=3,e=0.1。需要注意的是W(x4)雖與前述中憶導相同,但卻是無量綱的。由憶阻器相關定義可知,磁控性憶阻器兩端電流電壓關系可表示為i=W(φ)v,˙φ=v,其中W(φ)表示由磁通量控制的方程,代表憶導值;φ代表磁通量。這里定義流經憶阻器的電荷為q,那么磁控二次型憶阻器的模型可表示為

式中a、b均為正常數(shù),(3)式兩端對時間t進行微分可得

式中W(φ)是二次型磁控憶阻器的憶導,dq/dt=i(t),dφ/dt=v(t),即得到

對于憶阻型電路來說,其動力學輸出必定依賴于記憶變量的初始值,此處為磁通,對于不同的記憶變量初始值,會導致混沌系統(tǒng)在混沌與周期態(tài)之間相互的轉化。當給定磁通初值φ0=0,施加電壓v=sin(πt)時,得到如圖2所示憶阻器的伏安特性曲線。由圖2可知,引入增量確為憶阻性質的量,并且由捏滯回線落于伏安平面的第二和第四象限可知,v(t)i(t)<0,此處引入的是一個類似能量源的有源憶阻器。

圖2 憶阻器的伏安特性曲線Fig.2 Voltage-ampere characteristic of the memristor

選取參數(shù)a=3,b=15,c=30,k=1,初始條件(33,15,14,12),系統(tǒng)(2)產生的吸引子相圖如圖3所示。由吸引子圖像觀察得出本系統(tǒng)為超混沌狀態(tài)系統(tǒng),下面進行系統(tǒng)混沌性驗證。

圖3 系統(tǒng)(2)的吸引子。(a)x1-x2平面;(b)x1-x3平面;(c)x2-x3平面;(d)三維圖Fig.3 Chaotic attractor of the system(2).(a)x1-x2plane;(b)x1-x3plane;(c)x2-x3plane;(d)Three-dimensional graphic

1.3 系統(tǒng)特性分析

1.3.1 Lyapunov指數(shù)和維數(shù)

正的Lyapunov指數(shù)是造成系統(tǒng)軌線以指數(shù)倍進行分離的根本原因。對于四階超混沌系統(tǒng),必有2個正的Lyapunov指數(shù)。經計算,系統(tǒng)(2)的4個Lyapunov指數(shù)LE1、LE2、LE3、LE4分別為3.0785、0.0132、?0.0253、?18.0664。最大的Lyapunov指數(shù)LE1遠大于系統(tǒng)(1)的最大Lyapunov指數(shù)。說明本系統(tǒng)混沌特性大大增強。

根據(jù)Yorke公式[31]可求出Lyapunov維數(shù),即

根據(jù)計算得出系統(tǒng)(2)的Lyapunov維數(shù)是3.1697,分數(shù)維的出現(xiàn)不僅代表本系統(tǒng)具有復雜的分形結構,還表示該系統(tǒng)會使附近的軌道產生分岔現(xiàn)象,也說明混沌現(xiàn)象確存在于本動力系統(tǒng)中。

1.3.2 耗散性

對于系統(tǒng)(2),有

說明系統(tǒng)具有耗散性,且以指數(shù)形式收斂,可表示為

即體積元在t時收縮至體積元V0e?15t,當t→∞時,含有軌跡的每一個體積元都將以指數(shù)率?15收縮至0,故本系統(tǒng)的所有運動都將固定至一個吸引子上。

1.3.3 Poincare截面與功率譜分析

Poincare截面分析是指在多維空間內選取一個截面,當Poincare截面上的圖形是一定范圍內的連續(xù)曲線或成片密集點的時候,運動狀態(tài)為混沌。在系統(tǒng)(2)中,分別截取了x1=0與x2=1時的Poincare截面,如圖4所示。觀察到兩個截面均為成片的密集點,故可判定系統(tǒng)(2)為混沌狀態(tài)。

圖4 Poinacer截面。(a)x1=0;(b)x2=1Fig.4 Poincare section.(a)x1=0;(b)x2=1

混沌運動的內在周期性導致其功率譜是連續(xù)的,呈現(xiàn)寬峰狀態(tài),沒有明顯波峰,并呈現(xiàn)類噪聲和沖擊式特點。系統(tǒng)(2)的功率譜如圖5所示,由圖可見系統(tǒng)(2)符合這些特點,說明新系統(tǒng)是一個混沌系統(tǒng)。

圖5 系統(tǒng)(2)的功率譜Fig.5 Power spectrum of system(2)

1.3.4 平衡點集與穩(wěn)定性分析

令系統(tǒng)(2)中˙x1=˙x2=˙x3=˙x4=0,即

得到系統(tǒng)的平衡點集為E={(x1,x2,x3,x4)|x1=x2=0,x3=α,x4=?30},其中α是任意實數(shù),即系統(tǒng)(2)存在無盡的平衡點集,線性化系統(tǒng)(2)后可得Jacobian矩陣

將平衡點集代入JE后求得Jacobian矩陣的特征值與特征向量,第一個特征值λ1=0,特征向量e1=[0 0 0 1]T,表示系統(tǒng)在該平衡點集上處于亞穩(wěn)態(tài);第二個特征值λ2=0,特征向量e2=[0 0 1 0]T,表示本系統(tǒng)在z軸上呈收縮狀態(tài)。第三和第四個特征值分別為

相應的e3,e4分別為

令(11)、(12)式的Δc=225+180α,其決定了λ3、λ4是實數(shù)還是復數(shù),因此需要分情況討論。當Δc>0時,此時 α > ?1.25,λ3、λ4均為實數(shù),系統(tǒng)的平衡點呈穩(wěn)定狀態(tài);當 Δc<0時,此時 α < ?1.25,λ3、λ4均為虛數(shù),系統(tǒng)平衡點呈不穩(wěn)定狀態(tài);當Δc=0時,α=?1.25處于臨界點狀態(tài)。綜上,α>?1.25時,平衡點集穩(wěn)定,其余情況不穩(wěn)定。

2 超混沌系統(tǒng)的動力學特性分析

2.1 分岔特性與瞬態(tài)混沌

系統(tǒng)(2)擁有無限的平衡點集,故擁有無限的穩(wěn)定與不穩(wěn)定的平衡點,因此本系統(tǒng)具有多種復雜的動力學行為,例如極限環(huán)、混沌、超混沌等現(xiàn)象。系統(tǒng)參數(shù)改變會對平衡點穩(wěn)定產生影響,為了更進一步地研究系統(tǒng)的非線性動力學特性,觀察系統(tǒng)逐步通向混沌等的過程,研究了參數(shù)a與e改變時系統(tǒng)分岔圖的變化情況,如圖6所示。

固定參數(shù)b=15、c=30、d=3、e=0.1、k=1,取系統(tǒng)參數(shù)a∈(0.52,0.62),步長為0.0001,初始值選取(33,15,14,12),分岔圖如圖6(a)所示,揭示了本系統(tǒng)逐步走向混沌的過程?？梢婋S參數(shù)a的增大,系統(tǒng)從周期狀態(tài)出發(fā)經過多個倍周期分岔后,進入短暫的混沌狀態(tài),接著又重新進入類似周期狀態(tài),經過一段時間后進入永久混沌狀態(tài)。這一階段的有限時間尺度的混沌現(xiàn)象稱為瞬態(tài)混沌現(xiàn)象,此現(xiàn)象是由于參數(shù)的變化,使得吸引子與吸引盆之間邊界的距離慢慢變小,直到一個彼此相遇的臨界值出現(xiàn),這個過程使得吸引子碰觸到了一個不穩(wěn)定的周期軌道并引發(fā)了邊界危機。

固定參數(shù)a=3,b=15,c=30,d=3,k=1,取系統(tǒng)參數(shù)e∈(?0.2,?0.1),步長為0.0001,初始值選取(33,15,14,12),分岔圖如圖6(b)所示,可見,e從?0.2出發(fā)經歷了周期狀態(tài)后直接進入了混沌狀態(tài),從圖中可以非常明了地看到系統(tǒng)通向混沌的過程。

圖6 隨參數(shù)(a)a,(b)e變化的分岔圖Fig.6 Bifurcation diagram with parameters(a)a and(b)e

2.2 多吸引子共存現(xiàn)象

固定原系統(tǒng)各參數(shù),將初始值w作為分岔參數(shù),當w在區(qū)域[?32,12]內變化時,得到如圖7所示的Lyapunov指數(shù)譜和分岔圖。從圖中對比可以看出,圖7(a)、(b)兩圖證明系統(tǒng)隨初值w變化狀態(tài)相吻合,系統(tǒng)從初始的發(fā)散狀態(tài)出發(fā)(w=?30之前),逐步進入周期狀態(tài)(w∈[?30,6]),最終進入混沌狀態(tài),表明本系統(tǒng)在不同的憶阻初始值狀態(tài)下有著完全不同的動力學行為,這也是導致多吸引子共存現(xiàn)象的原因。為了更進一步證明多吸引子共存現(xiàn)象的存在,從該范圍內取w=?22.6作吸引子相圖,如圖8(a)所示,為周期態(tài);取w=10,為混沌態(tài),如圖8(b);取w=12,為超混沌狀態(tài),如圖8(c)?？梢姰斚到y(tǒng)各參數(shù)不變時,系統(tǒng)狀態(tài)隨著初始值的變化而改變。

圖7 (a)隨w變化的Lyapunov指數(shù);(b)w∈[?32,12]的分岔圖Fig.7 (a)Lyapunov exponent with w;(b)Bifurcation diagram with w ∈ [?32,12]

圖8 隨w變化的吸引子xy平面相圖。(a)w=?22.6;(b)w=10;(c)w=12Fig.8 Phase portraits of attractor on xy plane with w.(a)w=?22.6;(b)w=10;(c)w=12

3 憶阻超混沌系統(tǒng)的電路實現(xiàn)

為進一步證明本系統(tǒng)的可行性,避免混沌退化效應,設計出了相應超混沌憶阻電路,并在示波器上觀察到了相應形成的相圖。為了圖像整潔,分別給出了各支路的連線圖,并分別用x、y、z、w代替x1、x2、x3、x4。利用改進型模塊化設計方法最大程度節(jié)省了元器件的使用與工作量,并在Multisim上進行了電路仿真,圖中運算放大器與電容組合實現(xiàn)了反向積分功能,與電阻組合實現(xiàn)了反相器功能,乘法器用來實現(xiàn)電路中的非線性項。并采用運算放大器U1、U2(LM741)、乘法器、線性電容、線性電阻等元器件構建電路。根據(jù)基爾霍夫定律可得(2)式對應的電路方程為

其中反相器電路中各電阻Ri(i=2,3,7,8,11,12,14,15)=10 kΩ,Ci(i=1,2,3,4)=100 nF,選取VEE,VCC=±12 V,故運放的線性工作范圍為±10.6 V,需作變量比例壓縮變換(此處選取10倍),令vx、vy、vz、vw代表電壓,即vx=10vx1、vy=10vy1、vz=10vz1、vw=10vw1,其中vx1、vy1、vz1、vw1是積分電容上施加的電壓,且采用倍乘因子為0.1的AD633乘法器,時間尺度變換因子τ0=100。經過壓縮、尺度變換后的標準化方程為

計算可得到R1=333.333 Ω,R4=8.333 kΩ,R5=6.667 kΩ,R6=10 kΩ,R9=1 kΩ,R10=100 kΩ,R13=100 kΩ,R16=1 MΩ。電路原理如圖9所示,其中圖9(a)為x支路電路原理圖;圖9(b)為y支路電路原理圖,線框內是憶阻器的等效電路圖,其中?x經過反向積分后得到磁通量w,w經過由R100(10 kΩ)、R101(10 kΩ)、R102(10 kΩ)、R103(5 kΩ)、R104(10 kΩ)和二極管D1、D2構成的絕對值電路實現(xiàn)了對于憶阻器磁通量的絕對值運算。圖9(c)為第二種憶阻器等效電路搭建方法,原理是利用符號函數(shù)電路與乘法器連接實現(xiàn)絕對值電路,其中R19=100 kΩ,C5=100 nF,R17=Esat=10.6 kΩ,R18=1 kΩ。這種方法在系統(tǒng)中使用元件較少,節(jié)省元件數(shù)量,值得進一步研究。圖9(d)為z支路電路原理圖,將其中包含的常數(shù)項看成普通參數(shù)參與設計,計算后選用V1=?30 V的接地電源表示。

圖9 (a)x支路電路;(b)y支路電路;(c)憶阻器第二種等價電路;(d)z支路電路Fig.9 (a)Circuit of branch x;(b)Circuit of branch y;(c)The second equivalent circuit of memristor;(d)Circuit of branch z

示波器仿真結果如圖10所示,各平面相圖均與數(shù)值仿真結果一致,驗證了本系統(tǒng)的正確性與現(xiàn)實可用性。

圖10 示波器中得到的吸引子Fig.10 Attractors observed in analog circuit

4 結論

基于Sprott-B設計了一種新的憶阻器超混沌系統(tǒng),該系統(tǒng)通過引入二次型磁控憶阻器,極大地增加了系統(tǒng)復雜性,提高了系統(tǒng)混沌性。通過對于系統(tǒng)的包括Lyapunov指數(shù)與維數(shù)、耗散性、Poincare截面與功率譜圖、平衡點集與穩(wěn)定性等特性的分析,從數(shù)值仿真角度證明了本系統(tǒng)的超混沌特性;分析了包括隨參數(shù)變化的分岔圖和多吸引子共存等新動力學行為,這是首次對于包含常數(shù)項的超混沌系統(tǒng)進行的混沌形成過程和多吸引子共存的研究;最后搭建了基于Sprott-B的超混沌憶阻電路,并用示波器觀察到了吸引子相圖,驗證了本系統(tǒng)的切實可行性。第二種憶阻器等效電路在系統(tǒng)中雖然使用元件較少,但效果并不明顯,主要表現(xiàn)在示波器圖像失真等方面,有待進一步的研究。