任意熵糾纏平方的單配性關(guān)系

苑光明,董明慧,王學文,唐順磊,白志明

(1齊魯理工學院基礎(chǔ)部,山東 濟南 250200;2河北科技大學理學院,河北 石家莊 050018)

0 引言

量子糾纏作為量子計算與量子信息的一類重要的物理資源,在量子多體系統(tǒng)糾纏分布描述、量子隱形傳態(tài)、量子密碼學以及黑洞物理學等領(lǐng)域有著重要的應用。糾纏單配性[1?3]是量子糾纏現(xiàn)象中一類奇特的物理性質(zhì),它意味著量子糾纏不能自由分布,即對于多體量子比特系統(tǒng),一個量子系統(tǒng)和另一個量子系統(tǒng)的糾纏大小會限制此系統(tǒng)與其他量子系統(tǒng)的糾纏大小。換句話說,在多體量子比特系統(tǒng)中各個子系統(tǒng)同時處于最大糾纏是禁止的。目前對于兩體量子比特系統(tǒng)的糾纏描述已經(jīng)有了很好地研究,但是推廣到多體量子系統(tǒng)時,其糾纏的描述與量化沒有得到很好的解決,所以對于多體量子比特系統(tǒng)中的糾纏描述變得很有意義。單配性關(guān)系由Coffman、Kundu和Wootters[4]三人在研究三體量子比特系統(tǒng)時首次提出。2006年Osborne和Verstraete[5]將該單配性關(guān)系推廣到了多體量子比特系統(tǒng)。但是,隨后的研究發(fā)現(xiàn)基于并發(fā)度平方的單配性關(guān)系不能描述所有的多體量子比特系統(tǒng)的糾纏結(jié)構(gòu)?？茖W家隨后將單配性關(guān)系推廣到了其他的糾纏度量方式,例如高斯糾纏[6]、壓縮糾纏[7]、糾纏負熵[8]、形成糾纏[9]、任意熵糾纏[10]、非廣延熵糾纏[11]。糾纏單配性的研究具有重要的價值,其可應用于物理學的諸多領(lǐng)域[12?21]。

任意熵糾纏是形成糾纏的一種推廣形式,同時是一種很好的糾纏度量,之前對于任意熵糾纏的單配性研究發(fā)現(xiàn),當參數(shù)α≥2時其本身服從單配性關(guān)系。Song等[10]研究了任意熵糾纏平方的單配性關(guān)系,將范圍擴展至α≥0.823。之后對于任意熵糾纏單配性的研究擴展到了高階。Fei等[21]研究了幾種基于任意熵糾纏嚴格的單配性關(guān)系。本文給出基于任意熵糾纏平方的嚴格單配性關(guān)系,且論證其與文獻[10]的優(yōu)點。結(jié)果表明,基于任意熵糾纏平方的單配性關(guān)系比文獻[4]基于任意熵糾纏的單配性關(guān)系適用范圍更廣,同時比文獻[22]的任意熵糾纏平方的單配性關(guān)系更加嚴格。

1 基于并發(fā)度的新型單配性關(guān)系

對于兩體量子比特純態(tài)|ψ〉A(chǔ)B,并發(fā)度的定義為[4]

式中ρA=trB|ψ〉A(chǔ)B〈ψ|為子系A(chǔ)的約化密度矩陣。對于兩體量子比特混合態(tài)ρAB,并發(fā)度的定義為凸脊擴展形式

2000年,Coffman、Kundu和Wootters[4]首次提出了單配性關(guān)系,證明了并發(fā)度糾纏的平方遵循單配性關(guān)系,并將這一單配性關(guān)系推廣到了多體量子比特系統(tǒng),即

之后對于并發(fā)度單配性的研究推廣了更加嚴格的形式[21]

式中μ≥2。其后對于并發(fā)度單配性的研究進一步推廣:對于任意多比特混合態(tài)ρ∈HA?HB1?···?HBN?1,如果CABi≥CA|Bi+1··BN?1,其中i=1,2,···,m; 且CABj≥CA|Bj+1··BN?1,其中j=m+1,···,N? 2,存在1≤m≤N?3、N≥4,并發(fā)度服從單配性關(guān)系式[21]

式中μ≥2。下面介紹幾個相關(guān)概念[21]。

引理1假設k為實數(shù),且0

式中m≥1,以及

式中0≤n≤1。

證明:首先討論公式f(m,x)=(1+x)m?xm,其中x≥1/k,m≥1。對公式求一階導數(shù)f′(m,x)=m[(1+x)m?1?xm?1],結(jié)果顯而易見為非負,即函數(shù)為增函數(shù)。所以

令x=1/t,可得(8)式;同理,若0≤n≤1,公式f(m,x)=(1+x)n?xn一階導數(shù)為非正,即函數(shù)為減函數(shù)。綜上,不等式證明完畢。

下面利用引理1的知識,給出并發(fā)度的新型單配性關(guān)系。

定理1假設k為實數(shù),且0

證明:對于任意2?2?2n?2混合態(tài)ρABC∈HA?HB?HC,如果CAB≥CAC,則

其中(10)式第一步推導利用并發(fā)度的單配性不等式,(10)式第三步推導利用引理1。接下來將定理1擴展至多體量子比特系統(tǒng)中。

式中α≥2。

證明:由定理1,可得

結(jié)合以上兩式,證明完畢。

2 基于任意熵平方的新型單配性關(guān)系

對于兩體量子比特純態(tài)|ψ〉A(chǔ)B,任意熵糾纏的定義為[22]

對于兩體量子比特混合態(tài)ρAB,任意熵糾纏的定義為凸脊擴展形式[10]

對于任意熵糾纏單配性研究,Kim[19]構(gòu)建了任意熵糾纏與并發(fā)度的解析表達式

式中

式中參數(shù)α≥1。論證了α≥2時任意熵糾纏的單配性關(guān)系;Song等[10]改寫函數(shù)關(guān)系式

式中

對于任意三比特混合態(tài)ρA1A2A3,高階任意熵糾纏滿足單配性關(guān)系

下面利用并發(fā)度的新型單配性關(guān)系,討論基于任意熵糾纏的新型單配性。

N≥4,任意熵糾纏平方服從關(guān)系式

第二個不等式利用了并發(fā)度的單配性不等式;第三個不等式利用了引理1。

接下來考慮將該單配性關(guān)系應用于一個三比特態(tài)|ψ〉,即

對應的單配性關(guān)系為

圖1為μ取不同情況下三比特態(tài)|ψ〉的任意熵糾纏分布情況,其中點線表示|ψ〉的任意熵糾纏,虛線表示(22)式中k=0.5時的結(jié)果,實線表示(20)式的結(jié)果。由圖可見所得到的結(jié)果(22)要比文獻[22]提出的單配性關(guān)系更加嚴格。

圖1 |Ψ〉的任意熵糾纏分布圖Fig.1R′enyi entanglement for|ψ〉

通過以上證明發(fā)現(xiàn),多體量子比特系統(tǒng)中任意熵平方的新型單配性關(guān)系得到的結(jié)果較之前得到的基于任意熵糾纏平方的單配性關(guān)系更加嚴格。

3 結(jié)論

量子糾纏的分布特性不同于經(jīng)典關(guān)聯(lián),量子糾纏不能在多體之間任意分享,糾纏單配性不僅是多體量子比特系統(tǒng)中一類重要的物理性質(zhì),同時有助于了解多體量子比特系統(tǒng)的糾纏結(jié)構(gòu)。提出了一種基于任意熵糾纏的新型糾纏單配性不等式,在參數(shù)、階數(shù)時服從的單配性不等式,本單配性關(guān)系較之前本課題組得到的基于任意熵糾纏平方的單配性關(guān)系更加嚴格,有利于推動對多體量子比特系統(tǒng)糾纏的描述和量化。