例析關(guān)于證明不等式的一種圖表法

廖遠(yuǎn)萍

【摘要】本文運(yùn)用T·施勒伊費(fèi)爾在《關(guān)于證明不等式的一種圖表法》里所提到的圖表法，對(duì)某些不等式做了進(jìn)一步的推廣

【關(guān)鍵詞】圖表法;均值不等式

眾所周知，不等式的證明方法有非常多，作差法、作商法、放縮法、整體代換法，數(shù)形結(jié)合法……數(shù)不勝數(shù)，令人嘆為觀止。這一方面體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的精巧，另一方面卻為教學(xué)帶來(lái)了一定的困難。因此，我們?cè)谙驅(qū)W生教授不等式的各種技巧時(shí)，一方面要展現(xiàn)不等式的多種技巧，另一方面應(yīng)盡可能地教給學(xué)生一些易于掌握而且適用范圍比較廣的方法。

蘇聯(lián)數(shù)學(xué)教育家T·施勒伊費(fèi)爾所給出了關(guān)于證明不等式的圖表法就是這樣的一種具有普遍性的方法。T·施勒伊費(fèi)爾運(yùn)用這種方法推廣了Cauchy不等式、Holder不等式和冪平均不等式等諸多結(jié)果。之后，在2005年，王亞輝和王亞紅應(yīng)用這種方法對(duì)數(shù)學(xué)競(jìng)賽中出現(xiàn)的諸多不等式問(wèn)題做了很多的討論。在2009年，王增強(qiáng)在考慮不等式，，其中a，b，c∈R+且a+b+c=1，也使用了T·施勒伊費(fèi)爾的方法。

本文旨在運(yùn)用該方法對(duì)近年來(lái)中數(shù)研究中出現(xiàn)的幾個(gè)不等式做一些討論。為方便閱讀，我們先重述T·施勒伊費(fèi)爾在《關(guān)于證明不等式的一種圖表法》中關(guān)于圖表法的介紹：

約定A=A（a1，a2，…，an）與=（a1，a2，…，an）分別表示非負(fù)實(shí)數(shù)a1，a2，…，an的算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)。

定理1：設(shè)由n行k列組成的長(zhǎng)方形表中，全部填寫(xiě)著非負(fù)實(shí)數(shù)：第一行填寫(xiě)a1，a2，…，a1n，第二行填寫(xiě)a21，a22，…，a2n，……，第k行填寫(xiě)ak1，ak2，…，akn.在每一行中，計(jì)算它們的幾何平均數(shù)并分別用來(lái)表示它們。其次，在每一列，計(jì)算它們的算術(shù)平均數(shù)并分別用來(lái)A1，A2，…，An表示它們（表1），則有。

下面，我們運(yùn)用這個(gè)定理對(duì)幾個(gè)不等式做進(jìn)一步的推廣：

定理2：設(shè)n是一個(gè)自然數(shù)，x1，x2，…，xn=1為正實(shí)數(shù)且x1x2…xn=1.則.

證明：在n×n的長(zhǎng)方形表格中填數(shù)如下：

令. 則由定理1得從而，由均值不等式有，于是.

又因?yàn)?，所?

因此.

證畢。

令n=3，則有：

推論1：（第39屆IMO備選題） 已知x，y，z為正實(shí)數(shù)且xyz=1， 求證

定理2：設(shè)n是一個(gè)自然數(shù)，x1，x2，…，xn為正實(shí)數(shù)且x1，x2，…，xn=1. 則

.

證明：在的長(zhǎng)方形表格中填數(shù)如下：

令 則由定理1，有由定理1以及，有.

于是

因此.

證畢。

令n=3，則有：

推論2：（第二屆友誼杯國(guó)際數(shù)學(xué)競(jìng)賽） 已知a，b，c為正實(shí)數(shù). 求證

.

定理3：設(shè)是一個(gè)自然數(shù)， 為正實(shí)數(shù). 則

證明：在n×n的長(zhǎng)方形表格中填數(shù)如下：

令則由定理1， 有

于是

因此

證畢。

令n=3，則有：

推論3：（2000年加拿大數(shù)學(xué)奧林匹克試題） 證明：對(duì)任意正實(shí)數(shù)，均有

定理4：設(shè)n是一個(gè)自然數(shù)， x1， x2，…，

xn， xn+1， 為正實(shí)數(shù)且x1， x2，…xn=1， xn+1=x1則

證明：在的長(zhǎng)方形表格中填數(shù)如下：

由定理1，有

因?yàn)閤1，x2，…xn=1，所以有

因此

證畢。

令n=3，則有：

推論4：設(shè)x，y，z為正實(shí)數(shù)， 且xyz=1. 則（x+2y）（y+2z）（z+2x）≥27.

最后，為了進(jìn)一步說(shuō)明該方法的實(shí)用性，我們來(lái)看一些熟知的例子：

例1：設(shè)是一個(gè)自然數(shù)， x1，x2，…，xn+1為實(shí)數(shù)且x1=xn+1. 則

證明：在的長(zhǎng)方形表格中填數(shù)如下：

令則由定理1， 有

于是A≥B.

即

證畢。

例2：設(shè)ai，bi為正實(shí)數(shù)（i=1，2，...n）且. 求證：.

證明：在n×2的長(zhǎng)方形表格中填數(shù)如下：

由定理1，有

即

又因?yàn)椋?所以

證畢。

例3：求證： ， 其中a，b，c，為的三邊。

證明：因?yàn)閍，b，c，為△ABC的三邊， 所以c+b-a，a+c-b，a+b-c，a，b，c，都為正實(shí)數(shù)。

在的長(zhǎng)方形表格中填數(shù)如下：

則由定理1，有

兩邊平方，得

證畢。

由上述的證明，我們可以知道我們將問(wèn)題不斷地有一般到特殊，由復(fù)雜到簡(jiǎn)單，由概括到具體，層層遞進(jìn)，讓學(xué)生感受了數(shù)學(xué)的精巧以及數(shù)學(xué)的邏輯思維的巧妙。

鑒于我校數(shù)學(xué)基礎(chǔ)比較薄弱，學(xué)生的基礎(chǔ)知識(shí)不是那么拔尖，我們的這個(gè)關(guān)于不等式的圖表法的若干應(yīng)用，主要是設(shè)想用于學(xué)校的綜合實(shí)踐的課堂中使用。主要是選拔一部分?jǐn)?shù)學(xué)愛(ài)好者集中一起探討，會(huì)更加適合。同時(shí)，豐盈了教師對(duì)數(shù)學(xué)研究的成就感，讓愛(ài)好數(shù)學(xué)的師生們一起愉快進(jìn)步。

最后，筆者將不斷地調(diào)整關(guān)于不等式的圖表法，用更通俗易懂的方法，將復(fù)雜的事情簡(jiǎn)單化，由淺入深，由一般到特殊，由特殊到一般，將課題研究得更加接近現(xiàn)在初中生的學(xué)習(xí)水平。

參考文獻(xiàn)：

[1]Φ·T· 施勒伊費(fèi)爾.關(guān)于證明不等式的一種圖表法[J].王玉懷，譯.數(shù)學(xué)通報(bào)，1987（10）.

[2]王亞輝，王亞紅.應(yīng)用均值不等式的推廣證不等式[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2005（12）：35-37.

[3]謝躍進(jìn).柯西不等式應(yīng)用探討[J].銅仁職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報(bào)，2008（12）：59-61.

[4]陳唐明.也談利用柯西不等式及其推論證明不等式[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究，2008（10）：39-40.