一類雙層高靜低動剛度隔振系統(tǒng)動力學(xué)特性和應(yīng)用局限性研究

利云云　周徐斌　陳衛(wèi)東　劉興天

摘要： 高靜低動剛度隔振系統(tǒng)低頻隔振性能優(yōu)越，雙層隔振系統(tǒng)對高頻振動衰減迅速。將二者結(jié)合，提出基于歐拉屈曲梁負(fù)剛度調(diào)節(jié)器的一類雙層高靜低動剛度隔振系統(tǒng)，該類雙層高靜低動剛度隔振系統(tǒng)的特點是上下層的負(fù)剛度調(diào)節(jié)器安裝于同一基礎(chǔ)。對該系統(tǒng)進行了靜力學(xué)分析，給出了此類隔振系統(tǒng)的負(fù)剛度適用范圍;采用積極隔振模型，建立了雙層高靜低動剛度隔振系統(tǒng)的動力學(xué)方程，并使用諧波平衡法求解了系統(tǒng)動力學(xué)響應(yīng)，根據(jù)上下層剛度之間存在的約束關(guān)系，且上下層剛度不能同時達到準(zhǔn)零剛度等限制條件，給出了上下層線性剛度系數(shù)的有效取值范圍，圍繞有效取值范圍的邊界討論上下層剛度系數(shù)對系統(tǒng)隔振性能的影響，并將其與普通的雙層線性隔振系統(tǒng)的隔振性能進行比較。此外，還定義了雙層非線性隔振系統(tǒng)的力傳遞率，研究了外激勵幅值和阻尼比的大小對動力學(xué)響應(yīng)和隔振性能的影響。結(jié)果表明，上下層分別使用負(fù)剛度來獲取準(zhǔn)零剛度隔振系統(tǒng)帶來的性能迥異，上層剛度完全線性，下層為準(zhǔn)零剛度時系統(tǒng)的隔振性能最好。

關(guān)鍵詞： 雙層隔振; 動力學(xué); 高靜低動剛度; 負(fù)剛度; 傳遞率

中圖分類號： O328 ? ?文獻標(biāo)志碼： A ? ?文章編號： 1004-4523（2021）02-0364-08

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2021.02.017

引 ?言

無論是自然科學(xué)[1?2]還是工程應(yīng)用[3?4]，都對振動環(huán)境提出了越來越高的要求[5]。近年來，高靜低動剛度隔振系統(tǒng)，因既能提供較大的靜載荷支撐能力，又具有極低的固有頻率，引起國內(nèi)外學(xué)者的廣泛關(guān)注。高靜低動剛度隔振系統(tǒng)的基本原理是正負(fù)剛度機構(gòu)并聯(lián)，當(dāng)正負(fù)剛度恰好互相抵消時系統(tǒng)能夠達到準(zhǔn)零剛度[6]。Molyneux[7]最早提出了三彈簧準(zhǔn)零剛度模型，水平彈簧組成負(fù)剛度結(jié)構(gòu)。針對該模型，Carrella等[8]用 Duffing方程描述了系統(tǒng)的動力學(xué)模型，確定了響應(yīng)的最大振幅和跳變頻率的解析表達式;文獻[9?11]采用擴展平均法對模型的頻率響應(yīng)特性進行了優(yōu)化，并總結(jié)了周期、混沌等復(fù)雜的動力學(xué)現(xiàn)象。單層準(zhǔn)零剛度結(jié)構(gòu)的隔振器構(gòu)型多樣，Wang等[12]提出了準(zhǔn)零剛度（quasi zero stiffness）座椅懸架來提高車輛的隔振性能;Han等[13]通過電磁不對稱磁齒結(jié)構(gòu)實現(xiàn)負(fù)剛度，驗證了該結(jié)構(gòu)優(yōu)良的隔振效果;Zheng等[14]利用由兩個同軸環(huán)形磁鐵排斥性產(chǎn)生負(fù)扭轉(zhuǎn)剛度來抵消橡膠彈簧的正剛度，揭示了扭轉(zhuǎn)磁簧幾何參數(shù)對隔振性能的影響。Zhou等[15]采用凸輪?滾子?彈簧機構(gòu)概念，研究了外激力和阻尼對力傳遞率的影響。

因更快的高頻衰減速度，雙層高靜低動隔振系統(tǒng)也得到了一定關(guān)注。Li等[16]研究了雙層準(zhǔn)零剛度結(jié)構(gòu)的隔振浮筏系統(tǒng)，該系統(tǒng)可以實現(xiàn)更寬的隔振頻帶;Gattia等[17]研究了由一層準(zhǔn)零剛度隔振器和一層線性隔振器串聯(lián)組成的二自由度系統(tǒng)，討論了在主共振曲線內(nèi)建立獨立共振曲線的兩種典型情況;Zhou等[18]也對類似結(jié)構(gòu)開展了研究，負(fù)剛度調(diào)節(jié)器采用一對相互排斥的永磁體與線圈彈簧并聯(lián)，討論了使剛度在小于線圈彈簧的位移范圍內(nèi)最大化的條件。Lu等[19]在雙層線性隔振系統(tǒng)中引入非線性剛度來提高其隔振性能，推導(dǎo)了系統(tǒng)的力傳遞率表達式，并分析了不同層引入非線性剛度對力傳遞率的影響。理論研究表明只有在下層中引入非線性剛度能夠提升系統(tǒng)的隔振效率。Lu等[20]還提出了改進的雙層非線性系統(tǒng)隔振模型，模型中將上層的非線性剛度連接到了中間質(zhì)量而非基礎(chǔ)上，力傳遞率和位移傳遞率的分析結(jié)果表明，在上、下兩層引入合適的非線性剛度能夠使該隔振系統(tǒng)兼具較低的起始隔振頻率和較高的高頻衰減速率。系統(tǒng)引入非線性除了劉興天等[21]所提的增加橫向彈簧外還可以采用非線性庫倫摩擦阻尼器。Wang等[22]將具有負(fù)剛度的凸輪滾子彈簧機構(gòu)引入到雙層線性隔振系統(tǒng)中，增加質(zhì)量比或降低垂向彈簧的剛度比都能夠減小力傳遞率，增加上、下兩層的阻尼會縮短直至消除諧振分支，但是會降低高頻的隔振性能。在研究類似雙層隔振結(jié)構(gòu)時，大多數(shù)學(xué)者都默認(rèn)上下層彈簧之間是相互獨立的，這樣的假設(shè)具有一定局限性。

本文主要對一類負(fù)剛度調(diào)節(jié)結(jié)構(gòu)共用一個基礎(chǔ)的雙層高靜低動剛度隔振系統(tǒng)進行分析，由于這類系統(tǒng)的總剛度可以看作是下層系統(tǒng)總剛度（下層系統(tǒng)線性剛度與非線性剛度并聯(lián)）與線性剛度串聯(lián)，再與非線性剛度并聯(lián)組成。采用這樣組合方式的系統(tǒng)上下層剛度不獨立，它會使上下兩層剛度之間存在一定的約束關(guān)系，需要滿足整體剛度不能小于0的條件。就該約束條件得出剛度有效取值范圍，針對其邊界及內(nèi)部區(qū)域，研究了線性剛度和非線性剛度對系統(tǒng)隔振性能的影響，最后討論了外激勵幅值和阻尼比大小對系統(tǒng)隔振性能的影響。

1 雙層高靜低動剛度隔振系統(tǒng)靜力學(xué)分析

1.1 雙層高靜低動剛度隔振系統(tǒng)模型

本文提出的雙層高靜低動剛度隔振模型如圖1所示。在雙層線性隔振系統(tǒng)的上下層分別并聯(lián)一對歐拉屈曲梁負(fù)剛度調(diào)節(jié)器，m，kv和c分別表示被隔振質(zhì)量、線性彈簧剛度與黏性阻尼系數(shù);下角標(biāo)1，2代表結(jié)構(gòu)上層和下層。

2.2.2 上下層剛度沿右邊邊界變化

在κ11，κ12有效取值區(qū)域右邊界選取（κ12=1; κ11=0.5， 0.6， 0.8， 1）4個點（如圖7所示），分析當(dāng)下層剛度線性時，上層剛度對系統(tǒng)力傳遞率的影響。從圖8所示的傳遞率曲線中可以看出，隨著κ11減小，即結(jié)構(gòu)上層剛度非線性逐漸增強的過程中，傳遞率曲線的第一個峰向低頻移動，幅值先減小后增大，并出現(xiàn)了不穩(wěn)定解，而第二個峰幾乎沒有變化;從隔振的角度來看，在結(jié)構(gòu)上層剛度引入非線性后，除了會使低頻隔振性能降低外，還會造成第二個共振峰之后的隔振效率大幅減緩，削弱系統(tǒng)高頻隔振性能。

類似地，對傳遞力幅值進行分析，結(jié)構(gòu)上層非線性的增強實質(zhì)上是關(guān)于響應(yīng)幅值X1的三次項系數(shù)增大，使傳遞力的非線性增強。由于在高頻區(qū)X1，X2都是隨κ11減小而增大的，因此在三項次項系數(shù)的影響下，總力傳遞率反而增大。

2.2.3 上下層剛度沿下邊界變化

在κ11，κ12有效取值區(qū)域下邊界分別?。é?2， κ11）=（0， 1），（0.1， 0.9091），（0.3， 0.7692），（1， 0.5） 4個點（如圖9所示）。此時對應(yīng)的是上下層剛度同為非線性的情況，系統(tǒng)的力傳遞率曲線如圖10所示。隨著κ11減小，κ12增大，結(jié)構(gòu)上層剛度由線性逐漸過渡至準(zhǔn)零剛度，下層剛度則逐漸線性化。從圖10中可以看出，系統(tǒng)的第一個共振峰先向低頻移動后向高頻移動，峰值也是先減小后增大，第二個共振峰向高頻移動，峰值逐漸變大;從隔振性能的角度來看，κ12， κ11?。?， 1）時對應(yīng)的結(jié)構(gòu)（上層線性，下層準(zhǔn)零剛度）在高頻衰減速率方面表現(xiàn)最好，但是由于具有強非線性，跳躍區(qū)間過大會不利于低頻隔振。

2.3 激勵幅值和阻尼比對隔振性能的影響

在考察外激勵幅值F ?_e和阻尼比ζ對隔振性能的影響時，將研究對象選為結(jié)構(gòu)某一層剛度為線性的特殊情況：上層線性剛度下層準(zhǔn)零剛度（κ11=1，κ12=0）;上層剛度非線性下層剛度線性（κ11=0.5，κ12=1）。

2.3.1 激勵幅值對力傳遞率的影響

首先研究結(jié)構(gòu)上層剛度線性下層準(zhǔn)零剛度的情況，取ζ1=ζ2=0.015，所得不同激勵幅值F ?_e下的力傳遞率曲線如圖11所示。圖11中，減小激勵幅值會使第一個共振峰向低頻移動，且峰值明顯減小;對第二個共振峰沒有影響，高頻段的傳遞率曲線能夠彎曲重合。系統(tǒng)的起始隔振頻率隨著激勵幅值的減小而逐漸降低，并且不穩(wěn)定解頻率區(qū)間也在逐漸縮短，可見系統(tǒng)的非線性程度是在減弱的?？梢灶A(yù)見的是，當(dāng)激勵幅值小到一定程度時，傳遞率曲線的共振峰將會消失，由此說明上層剛度線性下層準(zhǔn)零剛度的結(jié)構(gòu)在隔離微幅力激勵方面具有很強的優(yōu)勢。

另一方面，上層剛度非線性下層剛度線性時的傳遞率曲線如圖12所示，可以發(fā)現(xiàn)減小激勵幅值會使第一個共振峰向低頻移動，曲線的右彎程度減弱，但是峰值會增大;面對不同幅值的力激勵，系統(tǒng)的起始隔振頻率并未發(fā)生改變，隔振頻段的傳遞率曲線互相重合，說明此種結(jié)構(gòu)適用于隔離幅值較大的激勵。

2.3.2 阻尼比大小對力傳遞率的影響

激勵幅值取F ?_e=0.01，針對上述兩種不同的結(jié)構(gòu)，阻尼比對系統(tǒng)力傳遞率的影響如圖13和14所示。這里本文只考慮了上下層阻尼比相同的情況，可以看出增大阻尼比能夠抑制兩類隔振系統(tǒng)的第一個力傳遞率共振峰，改善低頻隔振性能，但是高頻處的傳遞率衰減速率都會降低。對于上層剛度線性，下層準(zhǔn)零剛度的結(jié)構(gòu)，其力傳遞率的第二個峰不會得到抑制，并且兩個峰之間的傳遞率會增大。而對于上層剛度非線性，下層剛度線性的結(jié)構(gòu)，其第二個峰能夠得到有效的抑制。

綜上所述，無論對哪一種結(jié)構(gòu)，系統(tǒng)的阻尼比都不應(yīng)取得太小或太大，需要平衡低頻和高頻處的隔振需求來選取合適的阻尼比。

3 單雙層高靜低動剛度隔振系統(tǒng)隔振性能對比

為進一步說明雙層高靜低動剛度隔振系統(tǒng)設(shè)計的必要性和其隔振性能的優(yōu)越性，現(xiàn)以前文分析所得到的最優(yōu)雙層高靜低動剛度隔振系統(tǒng)（上層剛度線性，下層準(zhǔn)零剛度）與雙層線性隔振系統(tǒng)以及單層準(zhǔn)零剛度隔振系統(tǒng)進行對比。雙層隔振系統(tǒng)參數(shù)仍?。篎 ?_e=0.01，ζ1=ζ2=0.015，μ=0.2。保持單層隔振系統(tǒng)具有相同的參數(shù)，求解三類隔振系統(tǒng)的力傳遞率，結(jié)果如圖15所示。可以看出雙層高靜低動剛度隔振系統(tǒng)兼顧了單層準(zhǔn)零剛度隔振系統(tǒng)和雙層線性隔振系統(tǒng)的優(yōu)勢，具有更寬的隔振頻帶以及更快的高頻衰減速率。與單層準(zhǔn)零剛度隔振系統(tǒng)相比，本文提出的雙層高靜低動剛度隔振系統(tǒng)的起始隔振頻率進一步降低，并且高頻衰減速率從-40 dB/dec提升到了-60 dB/dec。

4 結(jié) ?論

本文提出了一種由歐拉屈曲梁負(fù)剛度調(diào)節(jié)器與雙層線性隔振系統(tǒng)并聯(lián)構(gòu)成的雙層高靜低動剛度隔振系統(tǒng)。對隔振系統(tǒng)進行了靜力學(xué)分析，采用諧波平衡法求解了系統(tǒng)在簡諧力激勵下的幅頻曲線，并針對不同層的剛度非線性組合進行了力傳遞率的比較分析。總結(jié)全文可以得到以下結(jié)論：

（1）當(dāng)上下層線性彈簧剛度大小相等且上下層負(fù)剛度調(diào)節(jié)器共用一個基礎(chǔ)時，結(jié)構(gòu)上下層剛度存在約束關(guān)系，不能同時達到準(zhǔn)零剛度;

（2） 雙層高靜低動剛度隔振系統(tǒng)的隔振性能要優(yōu)于單層高靜低動剛度隔振系統(tǒng)以及等價雙層線性隔振系統(tǒng)。并且當(dāng)結(jié)構(gòu)上層剛度線性，下層準(zhǔn)零剛度時系統(tǒng)的隔振性能最好;

（3） 激勵幅值對高頻段的力傳遞率沒有影響，只會改變低頻段的力傳遞率;阻尼比則主要對第一個共振峰產(chǎn)生影響，基本不影響第二個共振峰值。通過選取合適的阻尼比，采用上層剛度線性，下層準(zhǔn)零剛度的結(jié)構(gòu)能夠獲得極寬的隔振頻帶和可觀的高頻衰減速率。

本文提出的一類雙層高靜低動剛度模型受限于上下層剛度的約束關(guān)系，不能同時達到準(zhǔn)零剛度。通過將上層負(fù)剛度調(diào)節(jié)器改為安裝在下層質(zhì)量上，可以消除這種約束，在后續(xù)的研究中可針對該結(jié)構(gòu)的隔振系統(tǒng)進行對比。

此外，本文討論集中在理論分析，后續(xù)可進行隔振試驗，對理論的準(zhǔn)確性和全面性進行完善。

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Dynamic characteristics and application restrictions of a two-stage vibration isolation system with high-static-low-dynamic stiffness

LI Yun-yun1，2， ZHOU Xu-bin1，2， CHEN Wei-dong1， LIU Xing-tian2

（1. State Key Laboratory of Mechanics and Control of Mechanical Structure， Nanjing University of Aeronautics and Astronautics， Nanjing 210016， China; 2. Laboratory of Space Mechanical and Thermal Integrative Technology， Shanghai Institute of Satellite Engineering， Shanghai 201109， China）

Abstract： The low-frequency vibration isolation performance of the vibration isolation system with high-static-low-dynamic stiffness is superior to linear system， and the two-stage vibration isolation system attenuates high-frequency vibration rapidly. Combining the two advantages， a two-stage vibration isolation system with high-static-low-dynamic stiffness based on Euler buckled beam negative stiffness corrector is proposed. The static analysis of the system is carried out. The dynamic equations of the two-stage isolation system with high-static-low-dynamic stiffness is established by using the active vibration isolation model， and the dynamic response of system is solved by using the Harmonic Balance Method. There is a restriction when using the two-stage vibration isolation system. The restriction is that there is a constraint relationship between the upper and lower stiffness， and the upper and lower stiffness cannot achieve quasi-zero stiffness at the same time when using the system. Moreover， the effective range of the linear stiffness coefficient of the upper and lower stiffness is given. The influence of the upper and lower stiffness coefficients on the vibration isolation performance of the system is discussed in detail in terms of the boundary of the effective range， and its vibration performance is compared with that of the ordinary two-stage linear vibration isolation system. The results show that the vibration isolation performance of the system is the best when the upper stiffness is completely linear and the lower stiffness is quasi-zero stiffness. Furthermore， the force transmissibility of the two-stage nonlinear vibration isolation system is defined and the influence of system parameters on dynamic response and vibration isolation performance is studied.

Key words： two-stage vibration isolation; dynamics; high-static-low-dynamic stiffness; negative stiffness; force transmissibility

作者簡介： 利云云（1993-），女，碩士研究生。電話：13341725778; E-mail：1461832786@qq.com

通訊作者： 陳衛(wèi)東（1962-），男，研究員。電話：13705174335; E-mail：chenwd@nuaa.edu.cn