π型疊合梁顫振試驗(yàn)及數(shù)值研究

汪志雄　張志田　吳長(zhǎng)青　郄凱

摘要： 基于某π型疊合梁斷面進(jìn)行了顫振試驗(yàn)及顫振導(dǎo)數(shù)試驗(yàn)，試驗(yàn)結(jié)果表明斷面的顫振形式是極限環(huán)振動(dòng)（LCO）而非發(fā)散振動(dòng);分析了斷面的后顫振極限環(huán)及頻率演變特性;采用了基于階躍函數(shù)的后顫振自激力模型并通過(guò)試驗(yàn)驗(yàn)證了其在計(jì)算顫振臨界風(fēng)速及后顫振幅值方面的精度及可靠性，進(jìn)一步分析了數(shù)值計(jì)算和試驗(yàn)兩者之間產(chǎn)生誤差的成因;對(duì)比分析了幾何非線性在后顫振數(shù)值計(jì)算中的作用;采用偽穩(wěn)態(tài)自激力分離法解決平均風(fēng)荷載重復(fù)計(jì)入的問題;研究了在+3°攻角下不同結(jié)構(gòu)阻尼比對(duì)π型斷面顫振臨界風(fēng)速及后顫振幅值演變的影響，研究表明π型斷面的顫振和后顫振對(duì)結(jié)構(gòu)阻尼具有較大的依賴性。數(shù)值計(jì)算結(jié)果表明，采用階躍函數(shù)自激力模型成功地實(shí)現(xiàn)了平均風(fēng)效應(yīng)及幾何非線性的時(shí)域分析，為分析大跨徑橋梁的非線性后顫振性能提供理論依據(jù)及求解策略。

關(guān)鍵詞： 風(fēng)洞試驗(yàn); 后顫振; 非線性; 階躍函數(shù); 極限環(huán)

中圖分類號(hào)： TU311.3; U441+.2 ? ?文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A ? ?文章編號(hào)： 1004-4523（2021）02-0301-10

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2021.02.010

引 言

由于美國(guó)原Tacoma橋的風(fēng)毀事件，橋梁的顫振失穩(wěn)被認(rèn)為是毀滅性的，即當(dāng)風(fēng)速達(dá)到臨界點(diǎn)之后結(jié)構(gòu)出現(xiàn)動(dòng)力失穩(wěn)，其振幅不斷增大直至結(jié)構(gòu)破壞。多年來(lái)，橋梁的顫振穩(wěn)定性采用一個(gè)臨界風(fēng)速來(lái)描述[1?5]，在設(shè)計(jì)上要求顫振臨界風(fēng)速不低于顫振檢驗(yàn)風(fēng)速。這一方法最大的缺點(diǎn)是忽略了顫振臨界點(diǎn)斷面氣動(dòng)性能的優(yōu)劣，不能體現(xiàn)橋梁的后顫振抗風(fēng)的強(qiáng)健性。原Tacoma大橋與金門大橋的歷史表明[6]，不同的后顫振性能對(duì)結(jié)構(gòu)顫振后的振幅甚至結(jié)構(gòu)的命運(yùn)起著決定性的作用。航空航天領(lǐng)域研究也表明，由于結(jié)構(gòu)非線性、氣彈非線性及二者組合的作用，細(xì)長(zhǎng)薄機(jī)翼的顫振形式是一種振幅較小的極限環(huán)振動(dòng)（LCO）[7]。因此，深入研究橋梁后顫振性能是必要的。

研究后顫振特性可能涉及三大類方法。第一類是使用風(fēng)洞試驗(yàn)。Amandolese X等[8]通過(guò)風(fēng)洞試驗(yàn)研究了雙自由度平板的后顫振幅值及極限環(huán)特性;Zhang M等[9]和鄭史雄等[10]也通過(guò)風(fēng)洞試驗(yàn)對(duì)橋梁斷面的后顫振進(jìn)行了研究。這一類方法具有如下兩個(gè)特點(diǎn)：（1）在接近顫振臨界風(fēng)速時(shí)，節(jié)段模型振動(dòng)幅值較小，因而彈性懸掛系統(tǒng)的幾何非線性特性可忽略，這樣能準(zhǔn)確得出橋梁節(jié)段的顫振臨界風(fēng)速;（2）當(dāng)試驗(yàn)?zāi)Ｐ驼穹^大時(shí)，彈性懸掛系統(tǒng)的非線性特性明顯，但和實(shí)橋的非線性特性具有較大的差異，因此節(jié)段模型風(fēng)洞試驗(yàn)的后顫振特性并不能代表實(shí)橋的后顫振特性，但能作為驗(yàn)證自激力理論模型可靠性和適用性的依據(jù)。第二類是直接采用計(jì)算流體動(dòng)力學(xué)（CFD）和結(jié)構(gòu)運(yùn)動(dòng)方程相結(jié)合的方法[11?14]。這類方法沒有引入任何半經(jīng)驗(yàn)或經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ?，其可靠性依賴于所選CFD模型及網(wǎng)格質(zhì)量，且計(jì)算成本巨大。第三類方法是在試驗(yàn)的基礎(chǔ)上，引入半經(jīng)驗(yàn)的非線性模型來(lái)描述氣彈效應(yīng)。目前為止，比較著名的有Tran C T和Petot D 1981年提出的ONERA模型[15]，已經(jīng)廣泛地應(yīng)用于處理直升機(jī)機(jī)翼及風(fēng)力機(jī)葉片的失速問題[16?17]; Leishman 和 Beddoes 提出了另一種半經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ蚚18]，該模型在解決動(dòng)力失速問題上得到了廣泛的應(yīng)用[19?20]。Larsen 等也提出了專門描述風(fēng)力機(jī)葉片的非線性氣動(dòng)力的半經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ蚚21]。Diana G等提出了以瞬態(tài)風(fēng)攻角及其一階導(dǎo)數(shù)為變量的非線性氣動(dòng)力模型，該模型可以描述給定振幅下氣動(dòng)力的滯回效應(yīng)[22]。

以上半經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ途枋鰷丨h(huán)特性，不能反映隨振幅演變的氣動(dòng)力非線性特性，后者是橋梁非線性后顫振關(guān)注的關(guān)鍵。這方面有不少學(xué)者進(jìn)行了嘗試。王騎等采用平衡位置泰勒級(jí)數(shù)展開式建立了簡(jiǎn)諧波疊加的非線性氣動(dòng)力模型[23];Wu T和Kareem A提出了以Volterra 理論來(lái)體現(xiàn)非線性氣動(dòng)自激力效應(yīng)[24];劉十一和葛耀君采用附加的非線性微分方程組與附加的氣動(dòng)力自由度的方法來(lái)模擬氣動(dòng)自激力隨幅值演變的氣動(dòng)自激力的記憶效應(yīng)以及非線性特性[25]，該方法單獨(dú)處理扭轉(zhuǎn)的影響而不是采用動(dòng)態(tài)風(fēng)攻角的概念;朱樂東和高廣中[26] 通過(guò)引入非線性氣動(dòng)導(dǎo)數(shù)來(lái)體現(xiàn)自激力隨幅值演變的特性，該方法需要結(jié)合試驗(yàn)進(jìn)行參數(shù)擬合，與試驗(yàn)結(jié)果吻合較好;Gao G等[27]采用三階多項(xiàng)式描述氣動(dòng)力的非線性特性，該方法與試驗(yàn)結(jié)果取得了較好的一致性。Zhang M 等[28]通過(guò)引入和幅值及模態(tài)耦合相關(guān)的氣動(dòng)參數(shù)來(lái)描述氣動(dòng)自激力，該方法和CFD數(shù)值計(jì)算結(jié)果吻合較好，但適用性有待考證。吳長(zhǎng)青和張志田[29]引入多階段階躍函數(shù)描述橋梁斷面的非線性氣彈效應(yīng)，但缺乏試驗(yàn)驗(yàn)證。

理論上，節(jié)段模型和實(shí)橋的顫振臨界風(fēng)速基本上有一致性;節(jié)段模型的氣動(dòng)力非線性特性和實(shí)橋的也基本一致，但幾何非線特性有顯著差異，因而節(jié)段模型后顫振試驗(yàn)可用于驗(yàn)證氣動(dòng)自激力模型的可靠性。

本文通過(guò)風(fēng)洞試驗(yàn)研究了π型疊合梁的氣動(dòng)性能，后顫振頻率及幅值特性，采用了基于階躍函數(shù)的后顫振自激力模型并通過(guò)試驗(yàn)驗(yàn)證了其在計(jì)算顫振臨界風(fēng)速及后顫振幅值方面的精度及可靠性，并分析了數(shù)值計(jì)算和試驗(yàn)兩者之間產(chǎn)生誤差的成因。為避免平均風(fēng)荷載與氣彈模型不兼容性所造成的氣動(dòng)力重疊問題，采用了階躍函數(shù)氣動(dòng)力模型中分離出偽穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的方法。通過(guò)數(shù)值計(jì)算研究了節(jié)段模型的顫振臨界風(fēng)速、后顫振幅值及極限環(huán)特性。

2 風(fēng)洞試驗(yàn)

2.1 顫振試驗(yàn)

π型疊合梁節(jié)段模型顫振風(fēng)洞試驗(yàn)在湖南大學(xué)HD?2風(fēng)洞試驗(yàn)段進(jìn)行。圖1為懸掛于風(fēng)洞中的模型。

節(jié)段模型由8根彈簧和兩根橫梁組成。兩根輕質(zhì)水平鋼絞線約束了模型的橫向運(yùn)動(dòng)。模型兩端各裝一塊帶倒角的橢圓端板以消除端部效應(yīng)。

剛性節(jié)段模型總長(zhǎng)度為1.54 m，其成橋狀態(tài)橫截面如圖2所示。整個(gè)彈性懸掛系統(tǒng)等效質(zhì)量為42.924 kg，等效質(zhì)量矩為1.208 kg·m。模型的豎彎頻率fh和扭轉(zhuǎn)頻率fα分別是4.160 Hz和4.321 Hz，豎彎阻尼比ξh和扭轉(zhuǎn)阻尼比ξα為0.007。所有的測(cè)試都是在均勻來(lái)流下進(jìn)行。+3°攻角下的顫振試驗(yàn)結(jié)果如圖3所示，從圖中可知，斷面的顫振形式是LCO而非發(fā)散振動(dòng)，且LCO隨著風(fēng)速的增大而增大。

2.2 顫振導(dǎo)數(shù)試驗(yàn)

利用三自由度強(qiáng)迫振動(dòng)裝置，在均勻流場(chǎng)中測(cè)試成橋階段+3°，0°及-3°攻角下的顫振導(dǎo)數(shù)。通過(guò)豎向幅值為h/B=1/29和扭轉(zhuǎn)振幅為2°的單自由度強(qiáng)迫振動(dòng)得到了相應(yīng)初始攻角下的顫振導(dǎo)數(shù)。結(jié)合圖4中的成橋狀態(tài)的三分力系數(shù)，+3°，0°及-3°攻角下的階躍函數(shù)擬合值如表 1所示。

試驗(yàn)顫振導(dǎo)數(shù)和通過(guò)階躍函數(shù)擬合的顫振導(dǎo)數(shù)示意圖如圖5所示。+3°，0°以及-3°攻角下顫振導(dǎo)數(shù)的擬合效果較好，尤其是對(duì)橋梁斷面影響最大的氣動(dòng)導(dǎo)數(shù)A2*，這說(shuō)明階躍函數(shù)基本能夠反映出斷面的真實(shí)氣動(dòng)性能。

3 數(shù)值模擬

3.1 有限元模型

表2提供了有限元模型的動(dòng)力參數(shù)。采用ANSYS有限元軟件建模，其中剛性模型和橫梁采用beam4單元模擬，彈簧支架采用link8單元模擬，質(zhì)量和質(zhì)量慣性矩采用mass21單元模擬。圖 6為有限元模型設(shè)計(jì)圖，和試驗(yàn)彈性懸掛系統(tǒng)一樣，由8根彈簧、兩根橫梁及剛性模型組成。顫振時(shí)域計(jì)算時(shí)采用瑞利阻尼模型，阻尼矩陣C是由質(zhì)量矩陣M和剛度矩陣K線性組合得到，表達(dá)式如下

C=αM+βK （26）

式中 α和β為瑞利阻尼系數(shù)。表2給出的α和β值對(duì)應(yīng)豎彎和扭轉(zhuǎn)阻尼比是0.007，與試驗(yàn)一致。

3.2 數(shù)值結(jié)果及數(shù)值模型驗(yàn)證

線性理論認(rèn)為，當(dāng)來(lái)流風(fēng)速超過(guò)顫振臨界風(fēng)速Uc時(shí)，模型的振動(dòng)響應(yīng)就會(huì)發(fā)散。然而在實(shí)際風(fēng)洞實(shí)驗(yàn)中剛性模型的振動(dòng)響應(yīng)會(huì)趨于一個(gè)穩(wěn)定LCO。從圖 7和8可以看出，在風(fēng)速超過(guò)臨界風(fēng)速Uc之后，振動(dòng)的幅值增加，模型達(dá)到了一個(gè)新的LCO，且隨著風(fēng)速的增加，后顫振的幅值也增加。當(dāng)來(lái)流風(fēng)速等于顫振臨界風(fēng)速Uc時(shí)，節(jié)段模型做振幅很小的等幅振動(dòng);當(dāng)來(lái)流風(fēng)速遠(yuǎn)大于顫振臨界風(fēng)速后，模型的振動(dòng)并不能直接穩(wěn)定下來(lái)，而是需要經(jīng)歷一段“拍”時(shí)間才能做等幅振動(dòng)。從圖 8可知，模型的豎向振動(dòng)和扭轉(zhuǎn)振動(dòng)存在相位差，且隨著風(fēng)速的增加相位差也發(fā)生變化。

圖 9給出了是否考慮幾何非線性的對(duì)比，考慮幾何非線性后，結(jié)構(gòu)振動(dòng)的形式由發(fā)散轉(zhuǎn)為極限環(huán)振動(dòng)。圖 10給出了+3°攻角下節(jié)段模型試驗(yàn)和數(shù)值計(jì)算幅值隨折算風(fēng)速演變結(jié)果。顫振數(shù)值計(jì)算結(jié)果在顫振臨界風(fēng)速之后的小范圍內(nèi)和試驗(yàn)結(jié)果吻合較好，隨著風(fēng)速的繼續(xù)增大，數(shù)值模擬結(jié)果和試驗(yàn)偏差也增大，但偏差仍在可接受的范圍內(nèi)。由此可以驗(yàn)證階躍自激力模型能較好地模擬本文的π型疊合梁斷面的氣動(dòng)自激力。在顫振的過(guò)程中，模型的豎彎和扭轉(zhuǎn)頻率一致，且隨著風(fēng)速的增大，耦合的頻率逐漸減小，數(shù)值模擬得出了同樣的結(jié)論，但數(shù)值模擬的頻率減小的程度要低，耦合頻率的結(jié)果如圖 11所示。數(shù)值模擬的顫振臨界風(fēng)速結(jié)果和試驗(yàn)結(jié)果十分接近，結(jié)果的對(duì)比如圖 12所示，三個(gè)攻角下試驗(yàn)和計(jì)算的誤差分別為-5.50%，-2.39%和6.49%。試驗(yàn)和數(shù)值模擬的不完全一致可以歸于為：

（1）試驗(yàn)顫振導(dǎo)數(shù)識(shí)別及階躍函數(shù)擬合自身也會(huì)存在誤差;

（2）試驗(yàn)懸掛系統(tǒng)的非線性阻尼與在數(shù)值計(jì)算中線性阻尼的差異;

（3）數(shù)值計(jì)算中沒有考慮平均風(fēng)攻角改變對(duì)氣動(dòng)自激力的影響，這種改變?cè)谠囼?yàn)中是存在的;

（4）氣動(dòng)導(dǎo)數(shù)會(huì)隨著幅值的改變而改變。氣動(dòng)導(dǎo)數(shù)A_2^*受幅值影響最大[32]，本文在數(shù)值計(jì)算中沒有考慮氣動(dòng)導(dǎo)數(shù)隨幅值的改變，因而扭轉(zhuǎn)幅值比豎向幅值與試驗(yàn)偏差更大;

（5）節(jié)段模型在大振幅下會(huì)與來(lái)流形成較大的風(fēng)攻角，這可能使風(fēng)洞阻塞率增大，進(jìn)而影響模型的后顫振響應(yīng)。

3.3 結(jié)構(gòu)阻尼比

相關(guān)規(guī)范[33]中，橋梁結(jié)構(gòu)顫振臨界風(fēng)速的估算方法并沒有直接考慮結(jié)構(gòu)阻尼比的影響。結(jié)構(gòu)的阻尼比是影響橋梁斷面顫振臨界極限環(huán)振動(dòng)風(fēng)速的重要因素[34]，其對(duì)橋梁斷面顫振臨界風(fēng)速的影響程度取決于氣動(dòng)阻尼大小，如果氣動(dòng)阻尼由正急劇變負(fù)，且遠(yuǎn)大于結(jié)構(gòu)阻尼，則即使增大結(jié)構(gòu)阻尼比，顫振臨界風(fēng)速也不會(huì)發(fā)生較大的改變。在接近顫振臨界風(fēng)速時(shí)，模型實(shí)際上是做幅值非常小的等幅振動(dòng)，可以描述為臨界極限環(huán)振動(dòng)。在數(shù)值計(jì)算中，不同阻尼下的臨界極限環(huán)振動(dòng)幅值略有不同，具體如圖13所示。從圖中可知處于顫振臨界狀態(tài)下的臨界極限環(huán)幅值較小，且豎向幅值在阻尼比ξ<0.011的情況下隨阻尼比線性增加，然后其增長(zhǎng)趨勢(shì)放緩;而扭轉(zhuǎn)幅值隨阻尼比先增加后減小。

如圖14所示，在+3°攻角的情況下，其顫振臨界風(fēng)速隨阻尼比基本成線性關(guān)系，因此顫振臨界風(fēng)速對(duì)結(jié)構(gòu)阻尼比較敏感。從圖5中也可知，A_2^*項(xiàng)在折算風(fēng)速U/（fB）小于6的區(qū)間內(nèi)變化較小，同時(shí)數(shù)值也接近零，進(jìn)而斷面的氣動(dòng)阻尼較小，結(jié)構(gòu)阻尼在系統(tǒng)總阻尼中占絕大部分，這間接說(shuō)明了顫振臨界風(fēng)速和結(jié)構(gòu)阻尼比基本成線性關(guān)系。由于在建造橋梁之前并不知道實(shí)際橋梁的真實(shí)阻尼比，在風(fēng)洞試驗(yàn)中，一般依據(jù)《公路橋梁抗風(fēng)設(shè)計(jì)規(guī)范》來(lái)選取不同類型橋梁的阻尼比，對(duì)于平板斷面，在規(guī)范建議的阻尼比范圍內(nèi)，其顫振臨界改變并不是很明顯，然而對(duì)于π型疊合梁斷面，這可能過(guò)高或過(guò)低估計(jì)橋梁的實(shí)際顫振臨界風(fēng)速。

利用本文數(shù)值模擬方法，可得不同阻尼比（豎彎阻尼比和扭轉(zhuǎn)阻尼比相同）下隨風(fēng)速演變的后顫振LCO幅值，如圖 15所示，從圖中可知不同阻尼比下，豎向幅值和扭轉(zhuǎn)幅值演變趨勢(shì)不相同，阻尼比較小時(shí)，改變阻尼比對(duì)幅值演變趨勢(shì)及幅值影響很大;當(dāng)阻尼比較大時(shí)，改變阻尼比基本不會(huì)對(duì)后顫振演變趨勢(shì)產(chǎn)生影響，只是幅值稍微變化;豎向幅值受結(jié)構(gòu)阻尼比相對(duì)較小。

4 結(jié) 論

本文通過(guò)風(fēng)洞試驗(yàn)研究了π型疊合梁斷面的顫振幅值、頻率及極限環(huán)特性，通過(guò)數(shù)值計(jì)算驗(yàn)證了自激力模型的可靠性，并基于階躍函數(shù)的自激力模型對(duì)π型疊合梁斷面進(jìn)行了數(shù)值模擬，主要結(jié)論如下：

（1）風(fēng)洞試驗(yàn)表明，π型疊合梁斷面在顫振臨界風(fēng)速狀態(tài)下以臨界極限環(huán)振動(dòng)，超過(guò)顫振臨近風(fēng)速后做幅值較大的LCO;數(shù)值計(jì)算表明，考慮幾何非線性后，π型疊合梁斷面的顫振形式并不是發(fā)散而是趨于穩(wěn)定的顫振LCO。顫振試驗(yàn)結(jié)果和數(shù)值模擬吻合較好，驗(yàn)證了本文時(shí)域計(jì)算方法的可靠性。

（2）采用偽穩(wěn)態(tài)自激力分離法成功地從階躍函數(shù)氣動(dòng)自激力模型中扣除了平均響應(yīng)引起的自激力部分，可成功處理傳統(tǒng)氣動(dòng)力模型中的一些不兼容問題。

（3）π型疊合梁的顫振臨界風(fēng)速隨阻尼比基本線性增加。這種對(duì)結(jié)構(gòu)阻尼特性的依賴關(guān)系，表征了中國(guó)現(xiàn)有橋梁抗風(fēng)規(guī)范的不足。

（4）不同阻尼比下的豎向幅值和扭轉(zhuǎn)幅值演變趨勢(shì)不一致;在低阻尼比下，較小的阻尼比變化對(duì)后顫振幅值和演變趨勢(shì)影響大，而在較高的阻尼比下，后顫振的演變趨勢(shì)基本一致，只是幅值輕微改變;豎向幅值受結(jié)構(gòu)阻尼比影響相對(duì)較小。

參考文獻(xiàn)：

[1] Larsen A， Walther J H. Aeroelastic analysis of bridge girder sections based on discrete vortex simulations[J]. Journal of Wind Engineering and Industrial Aerodynamics， 1997， 67（97）：253-265.

[2] Katsuchi H， Jones N P， Scanlan R H， et al. Multi-mode flutter and buffeting analysis of the Akashi-Kaikyo bridge[J]. Journal of Wind Engineering & Industrial Aerodynamics， 1998， 77-78（5）：431-441.

[3] Agar T J A. Aerodynamic flutter analysis of suspension bridges by a modal technique[J]. Engineering Structures， 1989， 11（2）：75-82.

[4] Namini A， Albrecht P， Bosch H. Finite element-based flutter analysis of cable-suspended bridges[J]. Journal of Structural Engineering， 1992， 118（6）：1509-1526.

[5] Diana G， Resta F， Zasso A， et al. Forced motion and free motion aeroelastic tests on a new concept dynamometric section model of the Messina suspension bridge[J]. Journal of Wind Engineering & Industrial Aerodynamics， 2004， 92（6）：441-462.

[6] Morse-Fortier L J. Professor Robert H Scanlan and the Tacoma Narrows Bridge[C]. Proceedings of the Structures Congress and Exposition， 2005：2367-2378.

[7] Schewe Günter， Mai Holger. Experiments on transonic limit-cycle-flutter of a flexible swept wing[J]. Journal of Fluids and Structures， 2019， 84（84）：153-170.

[8] Amandolese X， Michelin S， Choquel M. Low speed flutter and limit cycle oscillations of a two-degree-of-freedom flat plate in a wind tunnel[J]. Journal of Fluids and Structures， 2013， 43：244-255.

[9] Zhang M， Xu F， Ying X. Experimental investigations on the nonlinear torsional flutter of a bridge deck[J]. Journal of Bridge Engineering， 2017， 22（8）：04017048.

[10] 鄭史雄，郭俊峰，朱進(jìn)波，等. π型斷面主梁軟顫振特性及抑制措施研究[J].西南交通大學(xué)學(xué)報(bào)，2017，52（3）：458-465.

Zheng S， Guo J， Zhu J， et al. Characteristic and Suppression neasures for soft flutter of main girder with π-shaped cross section[J]. Journal of Southwest Jiaotong University，2017，52（3）：458-465.

[11] Ying X， Xu F， Zhang M， et al. Numerical explorations of the limit cycle flutter characteristics of a bridge deck[J]. Journal of Wind Engineering & Industrial Aerodynamics， 2017，170：226-237.

[12] Ruzicka Martin， Horacek Jaromir， Svacek Petr， et al.Numerical analysis of flow-induced nonlinear vibrations of an airfoil with three degrees of freedom[J].Computers & Fluids，2011，49（1）：110-127.

[13] Gharali K， Johnson D A. Dynamic stall simulation of a pitching airfoil under unsteady freestream velocity[J]. Journal of Fluids and Structures， 2013， 42：228-244.

[14] Wang S， Ma L， Ingham D B， et al. Turbulence modelling of deep dynamic stall at low Reynolds number[J]. Lecture Notes in Engineering & Computer Science， 2010， 2184（1）：191-209.

[15] Tran C T， Petot D. Semi-empirical model for the dynamic stall of airfoils in view of the application to the calculation of responses of a helicopter blade in forward flight[J].Vertica， 1981，5（1）：35-53.

[16] Sarkar S， Bijl H. Nonlinear aeroelastic behavior of an oscillating airfoil during stall-induced vibration[J]. Journal of Fluids and Structures， 2008， 24（6）：757-777.

[17] Stanford B， Beran P. Direct flutter and limit cycle computations of highly flexible wings for efficient analysis and optimization[J]. Journal of Fluids and Structures， 2013， 36：111-123.

[18] Leishman J G， Beddoes T S. A semi-empirical model for dynamic stall[J]. Journal of the American Helicopter Society， 1986， 34（3）：3-17.

[19] Leishman J G. Validation of approximate indicial aerodynamic functions for two-dimensional subsonic flow[J]. Journal of Aircraft， 1988， 25（10）：914-922.

[20] Galvanetto U， Peiró J， Chantharasenawong C. An assessment of some effects of the nonsmoothness of the Leishman?Beddoes dynamic stall model on the nonlinear dynamics of a typical aerofoil section[J]. Journal of Fluids and Structures， 2008， 24（1）：151-163.

[21] Larsen J W， Nielsen S R K， Krenk S. Dynamic stall model for wind turbine airfoils[J]. Journal of Fluids and Structures， 2007， 23（7）：959-982.

[22] Diana G， Rocchi D， Argentini T， et al. Aerodynamic instability of a bridge deck section model： Linear and nonlinear approach to force modeling[J]. Journal of Wind Engineering and Industrial Aerodynamics， 2010， 98（6-7）：363-374.

[23] 王 騎， 廖海黎， 李明水， 等. 橋梁斷面非線性自激氣動(dòng)力經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ蚚J]. 西南交通大學(xué)學(xué)報(bào)， 2013， 48（2）：271-277.

Wang Q， Liao H， Li M， et al. Empirical mathematical model for nonlinear motion-induced aerodynamic force of bridge girder[J]. Journal of Southwest Jiaotong University， 2013， 48（2）：271-277.

[24] Wu T， Kareem A.A low-dimensional model for nonlinear bluff-body aerodynamics： A peeling-an-onion analogy[J]. Journal of Wind Engineering and Industrial Aerodynamics， 2015， 146：128-138.

[25] 劉十一， 葛耀君. 非線性子系統(tǒng)的大振幅時(shí)域自激力模型[J]. 哈爾濱工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)， 2015，（9）：73-78.

Liu S， Ge Y. Nonlinear dynamic subsystem model for large-amplitude motion-induced aerodynamic forces of bridge decks[J]. Journal of Harbin Institute of Technology， 2015，（9）：73-78.

[26] 朱樂東， 高廣中. 雙邊肋橋梁斷面軟顫振非線性自激力模型[J]. 振動(dòng)與沖擊， 2016， 35（21）：29-35.

Zhu L， Gao G. A nonlinear self-excited force model for soft flutter phenomenon of a twin-side-girder bridge section[J]. Journal of Vibration and Shock， 2016， 35（21）：29-35.

[27] Gao G， Zhu L， Han W， et al. Nonlinear post-flutter behavior and self-excited force model of a twin-side-girder bridge deck[J]. Journal of Wind Engineering and Industrial Aerodynamics， 2018， 177：227-241.

[28] Zhang M， Xu F， Zhang Z， et al. Energy budget analysis and engineering modeling of post-flutter limit cycle oscillation of a bridge deck[J]. Journal of Wind Engineering and Industrial Aerodynamics， 2019， 188：410-420.

[29] 吳長(zhǎng)青，張志田.平均風(fēng)與氣彈效應(yīng)一體化的橋梁非線性后顫振分析[J].振動(dòng)工程學(xué)報(bào)，2018，31（3）：399-410.

Wu C， Zhang Z. Nonlinear post-flutter analysis of bridges decks with integrated mean and aero-elastic wind effects[J]. Journal of Vibration Engineering， 2018，31（3）：399-410.

[30] Robert H Scanlan. Problematics in formulation of wind-force models for bridge decks[J]. Journal of Engineering Mechanics， 1993， 119（7）：1353-1375.

[31] Zhang Z. Multi-stage indicial functions and post-flutter simulation of long-span bridges[J]. Journal of Bridge Engineering， 2018， 23（4）：04018010.

[32] Noda M， Utsunomiya H， Nagao F， et al. Effects of oscillation amplitude on aerodynamic derivatives[J]. Journal of Wind Engineering and Industrial Aerodynamics， 2003， 91（1-2）：101-111.

[33] 中華人民共和國(guó)交通部. 公路橋梁抗風(fēng)設(shè)計(jì)規(guī)范 [M]. 北京：人民交通出版社，2018

[34] Chen X， Kareem A. Efficacy of tuned mass dampers for bridge flutter control[J]. Journal of Structural Engineering， 2003， 129（10）：1291-1300.

Experimental and numerical investigations on flutter of π-shaped side-girders

WANG Zhi-xiong1， ZHANG Zhi-tian2， WU Chang-qing1， QIE Kai1

（1. Wind Engineering Research Center， College of Civil Engineering， Hunan University， Changsha 410082， China;

2. College of Civil Engineering and Architecture， Hainan University， Haikou 570228， China）

Abstract： The flutter instability and flutter derivative tests are carried out with a sectional model of a π-shaped composite beam. The results show that the flutter of the section is limit cycle oscillation （LCO） rather than divergent vibration. The post-flutter LCO and its evolution with frequency are analyzed. A post-flutter self-excitation force model based on indicial function （IF） is employed and its accuracy and reliability in calculating the critical flutter wind speed and post-flutter amplitude are verified by experiments. The sources of errors between the experimental and the numerical results are analyzed. The role of geometric nonlinearity in post-flutter is studied， and the pseudo-steady separation method is adopted to deal with the repeated consideration of mean wind loads. The effects of different structural damping ratios on the critical wind speed and post-flutter amplitude are studied. It is revealed that the flutter and post flutter of the π section have great dependence on the structure damping. The numerical results show that the IFs self-excitation force model successfully realizes the time-domain analysis considering the average wind effect and geometric nonlinearity， which provides theoretical basis and solving strategy for the analysis of the nonlinear post-flutter performance of long-span bridges.

Key words： wind tunnel test; post-flutter; nonlinear; indicial function; limit cycle oscillation

作者簡(jiǎn)介： 汪志雄（1994-），男，博士研究生。電話：18707497532;E-mail：doctorwzx@hnu.edu.cn

通訊作者： 張志田（1974-），男，博士，教授。電話：13975127541：E-mail：zhangzhitian@hnu.edu.cn