速度反饋對多自由度微陀螺非線性影響的控制

郝淑英　宋宇昊　李偉雄　張琪昌　劉君　馮晶晶

摘要： 為揭示多自由度微陀螺非線性系統(tǒng)中速度反饋項對系統(tǒng)動力學(xué)特性的影響規(guī)律，探索減小或消除非線性影響的控制方法，以一類4自由度靜電驅(qū)動微機械陀螺為研究對象，應(yīng)用多尺度法分析了時滯速度反饋控制反饋增益對微陀螺輸出響應(yīng)的影響規(guī)律。研究發(fā)現(xiàn)：時滯量為零的條件下，反饋增益主要影響幅值大小;正的速度反饋增益會放大非線性的影響，系統(tǒng)出現(xiàn)新的不穩(wěn)定區(qū)域，靈敏度穩(wěn)定性遭到嚴(yán)重破壞;負(fù)的速度反饋增益對剛度非線性的影響有很好的控制作用，通過負(fù)增益的合理取值可完全消除剛度非線性的影響;提出了一種在不降低靈敏度的前提下利用速度反饋增益調(diào)阻作用來控制微陀螺靈敏度穩(wěn)定性的方法，此方法為含剛度非線性多自由度微陀螺動態(tài)性能的優(yōu)化和控制提供了理論依據(jù)。

關(guān)鍵詞： 非線性振動; 多自由度微陀螺; 多尺度法; 速度反饋; 剛度非線性

中圖分類號： O322; O318.2; TP271+.9 ? ?文獻標(biāo)志碼： A ? ?文章編號： 1004-4523（2021）02-0227-08

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2021.02.002

引 ?言

1988年，美國德雷伯實驗室研制出了世界上第一款微機械陀螺?雙框架式微機械陀螺儀[1]，在隨后的研究中發(fā)現(xiàn)微陀螺系統(tǒng)存在明顯的非線性行為，其中剛度非線性和靜電力非線性最為常見。這些非線性因素會導(dǎo)致微陀螺出現(xiàn)明顯的頻率偏移、多穩(wěn)態(tài)解、剛度的軟硬化特征以及軟硬特性過渡[2]，發(fā)生分岔甚至混沌等振蕩不穩(wěn)定現(xiàn)象[3]，對微陀螺的靈敏度、帶寬和穩(wěn)定性造成極大影響。為了提升微陀螺的精度、靈敏度和魯棒性等動態(tài)性能，時滯反饋控制[4]被廣泛應(yīng)用到微陀螺系統(tǒng)中。時滯信號主要分為位移信號、速度信號[5]和加速度信號[6]三種，通過設(shè)計合適的時滯反饋控制器實現(xiàn)對系統(tǒng)穩(wěn)定性的控制。Mehta等[7]利用位移正反饋振蕩器實現(xiàn)了微懸臂梁頻率輸出的控制，提高了基于微懸臂梁的化學(xué)和生物傳感器的靈敏度。李欣業(yè)等[8?9]對Duffing?van del Pol振子的動力學(xué)響應(yīng)和時滯反饋問題進行了深入的研究，通過線性和非線性時滯反饋以及雙時滯反饋實現(xiàn)了對系統(tǒng)零解穩(wěn)定性、極限環(huán)穩(wěn)定性和振幅的控制。Morrison等[10]研究了時滯非線性Mathieu方程的動力學(xué)行為，研究發(fā)現(xiàn)通過施加足夠大的反饋增益和選擇適當(dāng)?shù)臅r間滯后量可以消除與參激相關(guān)的不穩(wěn)定區(qū)域;在無阻尼系統(tǒng)中引入時滯項可加入有效阻尼。Alsaleem等[11]通過在直流和交流電壓驅(qū)動的MEMS諧振器中使用時滯反饋控制器，發(fā)現(xiàn)可將在動態(tài)吸合頻帶中工作的原本不穩(wěn)定的部分變成穩(wěn)定狀態(tài)，且在吸合附近對諧振器穩(wěn)定性有較強的增強作用。張麗娟[12]分別研究了剛度非線性下單自由度微陀螺在受迫振動和參數(shù)激勵下的時滯反饋問題，分析了不同反饋增益對系統(tǒng)振幅的影響。Warminski[13]研究了由外部激勵和時滯輸入驅(qū)動的非線性自激和參激MEMS器件的振動，給出了頻率鎖定區(qū)域的確定方法和閉環(huán)控制的策略。程春等[14]提出了一種時滯立方位移反饋控制方法，發(fā)現(xiàn)施加反饋參數(shù)能夠有效地減小隔振系統(tǒng)共振區(qū)的位移傳遞率。李帥等[15]提出了一種時變參數(shù)時滯減振控制方法來改善時滯動力吸振器的性能，發(fā)現(xiàn)反饋參數(shù)對系統(tǒng)的位移、速度和加速度幅值均有很好的控制作用。上述研究主要集中在微諧振器、單自由度微陀螺、隔振器和動力吸振器，對多自由度微陀螺非線性系統(tǒng)的速度反饋的研究未見報道。

本文將研究速度反饋控制參數(shù)對微陀螺非線性動力學(xué)行為的影響，采用多尺度方法對系統(tǒng)非線性動力學(xué)方程進行攝動求解，通過所求的近似解析解分析4自由度微陀螺非線性系統(tǒng)中速度反饋項對系統(tǒng)動力學(xué)特性的影響規(guī)律，并通過影響規(guī)律探索對多自由度微陀螺剛度非線性的控制方法。

1 微陀螺的動力學(xué)建模

本文考慮一類典型的雙驅(qū)動雙檢測4自由度微機械陀螺儀[16]，其結(jié)構(gòu)示意圖如圖1所示，此類微陀螺主要由驅(qū)動質(zhì)量、解耦質(zhì)量、轉(zhuǎn)換質(zhì)量、檢測質(zhì)量、彈性微梁以及梳齒電極組成。在圖1中，x方向為驅(qū)動方向，y方向為檢測方向，Ω_z為垂直于x?y平面的輸入角速度，解耦質(zhì)量m_f和轉(zhuǎn)換質(zhì)量m_2形成雙級解耦結(jié)構(gòu)，起到隔離驅(qū)動模態(tài)和檢測模態(tài)的作用。微陀螺工作時，驅(qū)動質(zhì)量m_1在梳齒驅(qū)動電極的作用下沿x方向振動，解耦質(zhì)量m_f由于梁k_2的作用開始沿x方向振動，同時，轉(zhuǎn)換質(zhì)量m_2在梁k_4的作用下隨解耦質(zhì)量一起沿x方向振動;當(dāng)系統(tǒng)在x?y平面垂直方向有角速度Ω_z輸入時，由于科氏效應(yīng)，x方向的振動引起y方向的諧振，轉(zhuǎn)換質(zhì)量m_2與檢測質(zhì)量m_3在梁k_4，k_5和k_6的約束下沿y方向振動。檢測質(zhì)量m_3在y方向的位移即為微陀螺的檢測輸出位移，其隨著角速度Ω_z的增大而增大。正是由于結(jié)構(gòu)諧振時檢測輸出幅值與輸入角速度Ω_z成正比，因此通過測量輸出幅值即可測得載體的輸入角速度Ω_z。

4自由度微陀螺動力學(xué)模型如圖2所示，其中驅(qū)動質(zhì)量塊m_1為驅(qū)動一、轉(zhuǎn)換質(zhì)量塊m_2與解耦質(zhì)量塊m_f組合為驅(qū)動二、轉(zhuǎn)換質(zhì)量塊m_2為檢測一、檢測質(zhì)量塊m_3為檢測二?？紤]到此類微陀螺的工作環(huán)境為真空封裝環(huán)境，空氣阻尼相對較小，阻尼的非線性因素可以忽略，因此可假設(shè)此系統(tǒng)中驅(qū)動和檢測方向所受阻尼均為線性阻尼。由于微陀螺驅(qū)動梁存在由于幾何大變形引起的剛度非線性，所以在建立其模型時還需考慮加入剛度非線性項。

3 反饋增益對動態(tài)響應(yīng)的影響

本節(jié)主要考慮速度反饋增益對微陀螺動態(tài)響應(yīng)的影響，忽略時間滯后的影響，因此令時間滯后參數(shù)τ=0，分析不同的反饋增益對微陀螺幅頻響應(yīng)的影響情況。分別取G=-350，0，350（即負(fù)增益、無增益和正增益）三種情況進行分析比較。

計算參數(shù)選取如下：激振力幅值F=3×〖10〗^（-5） ? N，ε=1，驅(qū)動一、二的共振頻率分別為ω_1=30940.1 rad/s，ω_2=31880.9 rad/s。此時σ_2=5.91×〖10〗^7，本文只考慮主共振下微陀螺的響應(yīng)情況。根據(jù)式（12），（13）并結(jié)合式（14），得到微陀螺各自由度的穩(wěn)態(tài)幅頻響應(yīng)，如圖4所示。為了驗證多尺度法得到的理論解析解，對式（1）使用Runge?Kutta方法進行求解，得到了一系列數(shù)值結(jié)果，對比理論解可見有較好的吻合度。

當(dāng)反饋增益值G=-350時，微陀螺各自由度的幅值均低于G=0時的幅值，兩峰值及其之間區(qū)域趨于平坦，剛度非線性表現(xiàn)出的硬化、幅值跳躍以及多穩(wěn)態(tài)解現(xiàn)象基本消失，不穩(wěn)定情況不再存在。當(dāng)G=350時，微陀螺各自由度的幅值均高于G=0時的幅值，由于存在剛度非線性的影響，幅值增長幅度極為顯著，非線性特征也變得更為明顯;兩峰值之間部分的幅值相差很大，靈敏度穩(wěn)定性遭到嚴(yán)重破壞（靈敏度與響應(yīng)幅值的大小正相關(guān)，響應(yīng)幅值在一定的頻率范圍內(nèi)越穩(wěn)定意味著微陀螺靈敏度的穩(wěn)定越好），甚至在峰值處出現(xiàn)了新的不穩(wěn)定區(qū)域，導(dǎo)致同時存在多處不穩(wěn)定區(qū)域，如圖4（b）和4（d）所示，對微陀螺靈敏度的穩(wěn)定性造成了嚴(yán)重的影響。

綜合圖4可知，在無時間滯后時，速度反饋的增益對各自由度幅頻響應(yīng)的影響僅表現(xiàn)在對幅值大小的影響上。當(dāng)速度反饋增益為負(fù)值時，穩(wěn)態(tài)響應(yīng)幅值和靈敏度隨負(fù)增益絕對值的增加而降低，且非線性的特征也隨之減弱;最終隨著反饋增益值持續(xù)的減小非線性幅值跳躍、多穩(wěn)態(tài)解的現(xiàn)象也隨之消失，系統(tǒng)保持在穩(wěn)定狀態(tài)。當(dāng)速度反饋增益為正值時，穩(wěn)態(tài)響應(yīng)幅值和靈敏度隨增益值的增加而升高，非線性的特征也隨之增強，系統(tǒng)出現(xiàn)新的不穩(wěn)定區(qū)域，進一步導(dǎo)致系統(tǒng)的失穩(wěn)。

由于在微陀螺非線性動力學(xué)方程（4）中，時滯速度反饋項作用于狀態(tài)速度量，等效于系統(tǒng)阻尼項，因此具有控制系統(tǒng)阻尼的作用，也是對響應(yīng)幅值的控制作用，此行為被稱為時滯速度反饋控制的調(diào)阻作用[19]。

在圖4（b）和（d）中，當(dāng)G=-350時，驅(qū)動二與檢測二的響應(yīng)幅值均有較高幅值的平坦區(qū)域且對應(yīng)較寬的頻帶范圍，具有較高的靈敏度穩(wěn)定性和較寬的檢測帶寬，這有利于微陀螺在工作中對輸出信號的監(jiān)測和采集，且具有較強的抗干擾能力。為了利用時滯速度控制這一特點，同時彌補其帶來的靈敏度下降的缺陷，本文提出了一種考慮靜電力與速度反饋增益量的綜合影響，在保持靈敏度或響應(yīng)幅值不降低的條件下，控制或消弱剛度非線性的影響，增加微陀螺靈敏度穩(wěn)定性的方法。

4 速度反饋對靈敏度穩(wěn)定性控制

由于靜電力幅值是影響微陀螺響應(yīng)幅值的最大因素，所以本文通過適當(dāng)提高靜電力以提升響應(yīng)幅值使其高于設(shè)計的目標(biāo)幅值，然后通過時滯速度負(fù)反饋進行控制，綜合考慮靈敏度和帶寬，最后使輸出響應(yīng)幅值達到目標(biāo)幅值同時兼具高靈敏度穩(wěn)定性和動態(tài)穩(wěn)定性，消除剛度非線性對微陀螺靈敏度動態(tài)穩(wěn)定性和帶寬的影響。

為驗證這一方法，首先取一固定速度反饋增益值，然后確定此增益下靜電力幅值和穩(wěn)態(tài)響應(yīng)振幅的關(guān)系，得到響應(yīng)振幅達到設(shè)計振幅時所需的靜電力幅值，最后比較設(shè)計振幅與使用此靜電力所得振幅值，從而確定微陀螺所需施加的靜電力幅值及反饋增益值。

設(shè)速度反饋增益值仍取-350，微陀螺驅(qū)動二與檢測二輸出響應(yīng)與靜電力幅值的關(guān)系如圖5所示。從圖5可知未施加速度反饋時驅(qū)動二輸出的最大幅值為3×〖10〗^（-6）（原響應(yīng)），檢測二輸出的最大幅值為4.3×〖10〗^（-9），也是該微陀螺的靈敏度最大值。依據(jù)圖5（a）可知驅(qū)動輸出響應(yīng)達到此最大峰值所需的靜電力幅值為5.05×〖10〗^（-5） ? N，即只要施加該靜電力值，那么驅(qū)動二在速度反饋控制條件下仍可獲得相應(yīng)的靈敏度;同理，依據(jù)圖5（b）中檢測二輸出響應(yīng)可知，達到檢測2最大峰值所需的靜電力幅值為4.66×〖10〗^（-5） ? N。由此得到了兩個滿足條件的靜電力幅值，但需通過對比兩種情況下微陀螺的動態(tài)特性篩選出最佳控制方案。

當(dāng)靜電力幅值取5.05×〖10〗^（-5） ? N時，無速度反饋和施加速度反饋控制條件下驅(qū)動輸出幅頻響應(yīng)和檢測輸出幅頻響應(yīng)關(guān)系如圖6所示。

由圖6可知，當(dāng)靜電力幅值為5.05×〖10〗^（-5） ? N時，施加速度控制后的驅(qū)動輸出響應(yīng)的峰值和原驅(qū)動輸出響應(yīng)峰值達到一致，均為3×〖10〗^（-6） ? m，而優(yōu)化后的檢測輸出響應(yīng)峰值超過了原檢測輸出響應(yīng)峰值。驅(qū)動和檢測的輸出帶寬在優(yōu)化前后基本保持不變，在帶寬范圍內(nèi)仍然不會受到非線性不穩(wěn)定區(qū)域的影響;共振峰由兩個峰變?yōu)橐粋€峰，靈敏度穩(wěn)定性較控制之前明顯提高;由于靜電力幅值的提升，共振區(qū)外的穩(wěn)定部分幅值也有所提高。另外，優(yōu)化后非線性的影響被削弱，不穩(wěn)定區(qū)域變小且遠(yuǎn)離帶寬范圍，對系統(tǒng)穩(wěn)定性的提升起到了重要作用。

當(dāng)靜電力幅值取4.66×〖10〗^（-5） ? N時，驅(qū)動輸出幅頻響應(yīng)和檢測輸出幅頻響應(yīng)與原響應(yīng)的對比關(guān)系如圖7所示。

由圖7可知，當(dāng)靜電力幅值為4.66×〖10〗^（-5） ? N時，優(yōu)化后的檢測輸出響應(yīng)的峰值和原檢測響應(yīng)峰值相同，均為4.3×〖10〗^（-9） ? m，而優(yōu)化后的驅(qū)動輸出響應(yīng)峰值略低于原驅(qū)動輸出響應(yīng)峰值。與圖6的特征類似，驅(qū)動和檢測的輸出帶寬在優(yōu)化前后基本保持不變，在帶寬范圍內(nèi)仍不受非線性不穩(wěn)定區(qū)域的影響;共振峰由兩個峰變?yōu)橐粋€峰，靈敏度穩(wěn)定性較優(yōu)化前明顯提高，共振區(qū)外的穩(wěn)定部分幅值也有所提高;優(yōu)化后非線性的影響也被削弱，不穩(wěn)定區(qū)域變小且遠(yuǎn)離帶寬范圍，對系統(tǒng)穩(wěn)定性的提升起到了作用。

在圖6和7中，由于共振峰均變?yōu)橐粋€峰，因此在設(shè)定微陀螺操作頻率時可直接設(shè)定為共振峰值的對應(yīng)頻率，可在保證穩(wěn)定的前提下獲得最大的靈敏度。

靜電力幅值為5.05×〖10〗^（-5） ? N時，驅(qū)動和檢測輸出響應(yīng)的峰值均稍高于靜電力幅值為4.66×〖10〗^（-5） ? N時的情況，這是外界傳遞能量高低所決定的。這兩種情況下的檢測輸出響應(yīng)峰值均不低于原響應(yīng)峰值，都可滿足微陀螺的工作需要，且兩種靜電力幅值下對帶寬、非線性穩(wěn)定性影響基本相同，均可在保證檢測帶寬的前提下提升系統(tǒng)對剛度非線性的抗性、提高驅(qū)動檢測響應(yīng)的靈敏度穩(wěn)定性。雖然靜電力在5.05×〖10〗^（-5） ? N時響應(yīng)幅值稍高，但相比于原靜電力幅值增長了68.35%，犧牲了較大的驅(qū)動力，而靜電力在4.66×〖10〗^（-5） ? N時相比于原靜電力幅值增長了55.38%，增長幅度比前者小，因此綜合考慮驅(qū)動力能量和性能，應(yīng)選擇靜電力為4.66×〖10〗^（-5） ? N的控制方法， 即根據(jù)檢測二的靜電力與輸出幅值的關(guān)系確定靜電力激振力的幅值。

通過上述比較，在無時滯、速度反饋增益一定時，通過適當(dāng)提升靜電力幅值可使微陀螺的輸出響應(yīng)在同等靈敏度和帶寬下獲得更好的靈敏度穩(wěn)定性和非線性抵抗能力。

5 結(jié) ?論

1）提出了一種利用速度反饋增益調(diào)阻作用來控制微陀螺響應(yīng)幅值的方法。該方法通過協(xié)調(diào)靜電力幅值和速度負(fù)反饋增益的綜合作用，在穩(wěn)定微陀螺輸出靈敏度的同時提高其靈敏度穩(wěn)定性，削弱非線性影響。

2）速度反饋增益對微陀螺幅頻響應(yīng)的影響僅表現(xiàn)在對幅值大小的影響上。反饋增益為負(fù)值時，穩(wěn)態(tài)響應(yīng)幅值和靈敏度隨負(fù)增益絕對值的增加而降低，且非線性的特征也隨之減弱;最終隨著反饋增益值持續(xù)的減小，非線性幅值跳躍、多穩(wěn)態(tài)解的現(xiàn)象也隨之消失，系統(tǒng)保持在穩(wěn)定狀態(tài)。因此，通過負(fù)增益的合理取值可完全消除剛度非線性的影響。正的速度增益會放大非線性的影響，系統(tǒng)出現(xiàn)新的不穩(wěn)定區(qū)域，靈敏度穩(wěn)定性遭到嚴(yán)重破壞。

參考文獻：

[1] Boxenhorn B， Greif P. A vibratory micromechanical gyroscope[C]. AIAA Guidance， Navigation and Control Conference， Minneapolis， MN， USA， 1988：1033-1040.

[2] Tatar E， Mukherjee T， Fedder G K. Nonlinearity tuning and its effects on the performance of a MEMS gyroscope[C]. 2015 18th International Conference on Solid-state Sensors， Actuators and Microsystems， 2015： 1133-1136.

[3] Han J X， Zhang Q C， Wang W. Static bifurcation and primary resonance analysis of a MEMS resonator actuated by two symmetrical electrodes[J]. Nonlinear Dynamics， 2015， 80（3）： 1585-1599.

[4] Shao S， Masri K M， Younis M I. The effect of time-delayed feedback controller on an electrically actuated resonator[J]. Nonlinear Dynamics， 2013， 74（1-2）： 257-270.

[5] Yamasue K， Hikihara T. Control of microcantilevers in dynamic force microscope using time delayed feedback[J]. Review of Scientific Instruments， 2006， 77（5）： 53703.

[6] Nayfeh A H， Nayfeh N A. Time-delay feedback control of lathe cutting tools[J]. Journal of Vibration and Control， 2011， 18（8）： 1106-1115.

[7] Mehta A， Cherian S， Hedden D， et al. Manipulation and controlled amplification of Brownian motion of microcantilever sensors[J]. Applied Physics Letters， 2001， 78（11）： 1637-1639.

[8] 李欣業(yè)，陳予恕，吳志強. 參數(shù)激勵Duffing-Van del Pol振子的動力學(xué)響應(yīng)及反饋控制[J]. 應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué)， 2006， 27（12）： 1387-1396.

LI Xin-ye， CHEN Yu-shu， WU Zhi-qiang. Response of a parametrically excited Duffing-Van der Pol oscillator with delayed feedback[J]. Applied Mathematics and Mechanics， 2006， 27（12）： 1387-1396.

[9] 李欣業(yè)，張振民，張華彪. Duffing-Van del Pol振子的時滯反饋控制研究[J].振動與沖擊，2010，29（10）： 118-121.

LI Xin-ye， ZHANG Zhen-min， ZHANG Hua-biao. Feedback control with time delay on Duffing-Van der Pol oscillators[J]. Journal of Vibration and Shock， 2010，29（10）： 118-121.

[10] Morrison T M， Rand R H. 2∶1 resonance in the delayed nonlinear Mathieu equation[J]. Nonlinear Dynamics， 2007， 50（1-2）： 341-352.

[11] Alsaleem F M， Younis M I. Stabilization of electrostatic MEMS resonators using a delayed feedback controller[J]. Smart Materials and Structures， 2010， 19（19）： 35016.

[12] 張麗娟.微陀螺系統(tǒng)非線性動力學(xué)及其時滯反饋控制[D].天津：河北工業(yè)大學(xué)， 2011.

ZHANG Li-juan. Nonlinear dynamics and delayed feedback control of micro-gyroscope system[D]. Tianjin： Hebei University of Technology， 2011.

[13] Warminski J. Frequency locking in a nonlinear MEMS oscillator driven by harmonic force and time delay[J]. International Journal of Dynamics and Control， 2015， 3（2）： 122-136.

[14] 程 ?春，李舜酩，王 ?勇，等.時滯立方位移反饋控制的高靜低動剛度隔振器動力學(xué)分析[J]. 振動與沖擊， 2017，36（13）：110-115，165.

CHENG Chun， LI Shun-ming， WANG Yong， et al. Dynamic analysis of a high-static-low-dynamic stiffness vibration isolator with time-delay cubic displacement feedback control[J]. Journal of Vibration and Shock， 2017，36（13）：110-115，165.

[15] 李 ?帥，周繼磊，任傳波，等.時變參數(shù)時滯減振控制研究[J].力學(xué)學(xué)報，2018，50（1）：99-108.

LI Shuai， ZHOU Ji-lei， REN Chuan-bo， et al. The research of time delay vibration control with time-varying parameters[J]. Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics， 2018，50（1）：99-108.

[16] Wang W， Lü X， Sun F. Design of micromachined vibratory gyroscope with two degree-of-freedom drive-mode and sense-mode[J]. IEEE Sensors Journal， 2012， 12（7）： 2460-2464.

[17] Alsaleem F M， Younis M I， Ouakad H M. On the nonlinear resonances and dynamic pull-in of electrostatically actuated resonators[J]. Journal of Micromechanics and Microengineering， 2009， 19（4）： 045012.

[18] Shao S， Masri K M， Younis M I. The effect of time-delayed feedback controller on an electrically actuated resonator[J]. Nonlinear Dynamics， 2013， 74（1-2）： 257-270.

[19] 韓建鑫.一類雙極板靜電驅(qū)動微梁諧振器的非線性振動及其控制研究[D].天津：天津大學(xué)，2016.

HAN Jian-xin. Nonlinear vibration and control analyses of a class of microbeam-based resonators actuated by two electrodes[D]. Tianjin： Tianjin University，2016.

Control of the nonlinear effect of velocity feedback on multi-DOF micro gyroscope

HAO Shu-ying1，2， SONG Yu-hao1，2， LI Wei-xiong1，2， ZHANG Qi-chang3， LIU Jun4，

FENG Jing-jing1，2

（1. Tianjin Key Laboratory of Advanced Electromechanical System Design and Intelligent Control， Tianjin University of

Technology， Tianjin 300384， China; 2. National Experimental Teaching Demonstration Center of Mechanical and

Electrical Engineering， Tianjin University of Technology， Tianjin 300384， China; 3. Tianjin Key Laboratory of

Nonlinear Dynamics and Control， Tianjin University， Tianjin 300072， China; 4. Zhengzhou Yutong Heavy

Industry Co. Ltd.， Zhengzhou 450001， China）

Abstract： To reveal the effect of velocity feedback on dynamic characteristics of multi-DOF micro-gyroscope nonlinear systems and explore control methods for nonlinearity， a class of 4-DOF electrostatically driven micro-gyroscopes is researched. The effect of the gain of the delay velocity feedback control on output response of micro-gyroscope is analyzed by multi-scale method. The research shows that the feedback gain mainly affects the amplitude when the time delay is zero. Positive velocity feedback gain amplifies the effect of nonlinearity and new unstable regions appear in the system， then the sensitivity stability is seriously damaged. The stiffness nonlinearity can be controlled well by negative velocity feedback gain and completely eliminated by the reasonable value of negative velocity feedback gain. A method for controlling the sensitivity stability of micro-gyroscopes by adjusting damping action of velocity feedback gain without reducing sensitivity is proposed， which provides a theoretical basis for the optimization and control of multi-DOF micro-gyroscopes with stiffness nonlinearity.

Key words： nonlinear vibration; multi-DOF micro-gyroscope; multi-scale method; velocity feedback; stiffness nonlinearity

作者簡介： 郝淑英（1962-），女，教授。電話：15122792706;E-mail： syhao@tju.edu.cn

通訊作者： 馮晶晶（1986-），女，副教授。電話：13652038139;E-mail： jjfeng@tju.edu.cn