混合潤(rùn)滑狀態(tài)下結(jié)合面法向動(dòng)態(tài)接觸剛度與阻尼模型

李玲　裴喜永　史小輝　蔡安江　段志善

摘要： 機(jī)械結(jié)合面的動(dòng)態(tài)接觸特性對(duì)評(píng)估機(jī)床整機(jī)性能有著重要的意義。針對(duì)混合潤(rùn)滑狀態(tài)下固定結(jié)合面復(fù)雜的接觸特性，提出了一種結(jié)合面的法向接觸剛度與阻尼模型。采用三維Weierstrass?Mandelbrot函數(shù)獲得粗糙表面形貌，并基于分形理論建立了結(jié)合面固體部分的接觸剛度與接觸阻尼模型;根據(jù)平均流動(dòng)的廣義雷諾方程建立了液體油膜接觸剛度與阻尼模型，其中油膜接觸剛度是固體表面接觸剛度的函數(shù)，實(shí)現(xiàn)了油膜接觸剛度與固體接觸剛度的耦合。通過仿真分析了固體、液體油膜以及結(jié)合面的剛度阻尼特性，結(jié)果表明：液體油膜接觸阻尼遠(yuǎn)大于固體接觸阻尼，結(jié)合面的接觸阻尼特性主要取決于油膜接觸阻尼;在接觸前期油膜接觸面積所占比例較大，結(jié)合面的接觸剛度主要由油膜接觸剛度主導(dǎo)，隨著固體真實(shí)接觸面積的增加，液體油膜接觸剛度占結(jié)合面接觸剛度的比率越來越小，最后轉(zhuǎn)變?yōu)楣腆w接觸剛度主導(dǎo)結(jié)合面的接觸剛度。

關(guān)鍵詞： 結(jié)合面; 混合潤(rùn)滑; 等效厚度; 接觸剛度; 接觸阻尼; 分形理論

中圖分類號(hào)： TH113.1; TB123 ? ?文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A ? ?文章編號(hào)： 1004-4523（2021）02-0243-10

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2021.02.004

引 ?言

結(jié)合面是構(gòu)成機(jī)床整機(jī)的關(guān)鍵組成部分，在機(jī)床結(jié)構(gòu)件之間起著傳遞運(yùn)動(dòng)、載荷和能量的重要作用。研究表明，整個(gè)機(jī)床中，結(jié)合面的接觸剛度約占機(jī)床總剛度的60%?80%[1]，結(jié)合面的接觸阻尼占機(jī)床全部阻尼的90%以上[2]。因此，開展結(jié)合面剛度阻尼特性的研究對(duì)整機(jī)性能的預(yù)測(cè)至關(guān)重要。

機(jī)械結(jié)構(gòu)中的結(jié)合面可等效為兩個(gè)粗糙表面的接觸，國(guó)內(nèi)外學(xué)者已對(duì)粗糙表面的接觸問題進(jìn)行了廣泛的研究[3?6]，但仍然存在很多問題。其中應(yīng)用最廣泛的接觸模型是Greenwood和Williamson[7]提出的統(tǒng)計(jì)學(xué)接觸模型（GW模型），GW模型將單個(gè)剛性球體與彈性半空間的接觸擴(kuò)展為一個(gè)剛性平面與一個(gè)粗糙表面間的接觸，通過統(tǒng)計(jì)學(xué)方法分析了多種因素對(duì)結(jié)合面的影響規(guī)律，但該模型中采用的統(tǒng)計(jì)學(xué)參數(shù)會(huì)受到測(cè)量?jī)x器分辨率的影響[8]，使得測(cè)量結(jié)果具有尺寸依賴性。因此，建立一種能夠?qū)⑺谐叨鹊拇植诙刃畔⒍及谄渲械拇植诒砻姹碚髂Ｐ途哂兄匾囊饬x。

Mandelbrot等[9?10]首先發(fā)現(xiàn)，Weierstrass?Mandelbrot函數(shù)（W?M函數(shù)）處處連續(xù)且不可微，具有統(tǒng)計(jì)自仿射特性，很適合用來表征粗糙表面的表面輪廓，避免了統(tǒng)計(jì)學(xué)模型受測(cè)量?jī)x器分辨率的影響。Majumdar和Bhushan[11?12]基于W?M函數(shù)將分形幾何理論應(yīng)用于兩粗糙表面間的接觸分析，認(rèn)為粗糙表面形貌具有自相似性和尺度獨(dú)立性，建立了一種新的結(jié)合面分形接觸模型（MB模型）。為了進(jìn)一步完善分形接觸模型，W?M函數(shù)也被用于建立考慮微凸體彈性變形，彈塑性變形以及塑性變形的各個(gè)分析模型中[13?15]，且有大量學(xué)者基于分形模型研究了結(jié)合面法向與切向的接觸剛度阻尼特性[16?19]。但是，上述關(guān)于結(jié)合面的研究中僅限于干摩擦條件下的粗糙表面接觸，獲得的法向接觸剛度與接觸阻尼模型尚不能用于混合潤(rùn)滑狀態(tài)下結(jié)合面的剛度阻尼特性分析。

實(shí)際上，機(jī)床中大部分結(jié)合面在工作中往往都處于混合潤(rùn)滑狀態(tài)[20]，此時(shí)，結(jié)合面間同時(shí)存在油膜和微凸體的接觸。關(guān)于混合潤(rùn)滑狀態(tài)下結(jié)合面接觸剛度與阻尼的研究，李小彭等[21]將梁結(jié)構(gòu)及它們之間的結(jié)合面重構(gòu)為固體?廣義間隙?固體系統(tǒng)，利用結(jié)合面接觸剛度的分形模型與材料應(yīng)變能等效的方法，獲得了結(jié)合面廣義間隙的材料常數(shù)，并驗(yàn)證了結(jié)合面接觸剛度分形模型的正確性。Li等[22]采用雙變量W?M函數(shù)表征粗糙表面形貌，利用表面粗糙度來計(jì)算油膜等效厚度，建立了考慮表面形貌影響的結(jié)合面接觸阻尼模型，分析了表面粗糙度對(duì)擠壓油膜阻尼特性的影響規(guī)律。李昌等[23]基于Dowson最小膜厚公式，給出了彈流油膜剛度的解析表達(dá)式。

然而，上述關(guān)于混合潤(rùn)滑結(jié)合面的理論接觸模型都假設(shè)油膜等效厚度為一定值，且缺乏完整的混合潤(rùn)滑狀態(tài)下結(jié)合面的接觸剛度與阻尼模型。為此，本文基于分形理論建立了結(jié)合面固體接觸剛度與接觸阻尼模型，利用固體彈性接觸剛度獲得了變化的油膜等效厚度。根據(jù)平均流動(dòng)的廣義雷諾方程獲得了潤(rùn)滑油膜的接觸剛度與接觸阻尼。最后，基于載荷分配的思想，建立了混合潤(rùn)滑狀態(tài)下固定結(jié)合面的法向接觸剛度與接觸阻尼模型。該模型考慮了油膜等效厚度的變化，對(duì)結(jié)合面的潤(rùn)滑設(shè)計(jì)以及潤(rùn)滑狀態(tài)預(yù)測(cè)具有重要的理論指導(dǎo)意義。

1 三維粗糙表面形貌表征

傳統(tǒng)的表面形貌表征采用的是輪廓算術(shù)平均值Ra、輪廓高度均方根值σ等統(tǒng)計(jì)學(xué)參數(shù)，但這些統(tǒng)計(jì)學(xué)參數(shù)受測(cè)量?jī)x器分辨率的影響，只能反映測(cè)量?jī)x器分辨率和采樣長(zhǎng)度相關(guān)的粗糙度信息。因此，本文采用具有自相似性和尺寸獨(dú)立性的分形幾何參數(shù)來表征粗糙表面形貌[24]，其可表示為

2 混合潤(rùn)滑結(jié)合面的并聯(lián)接觸模型

對(duì)于混合潤(rùn)滑的固定結(jié)合面，既存在微凸體的接觸，又存在潤(rùn)滑劑的接觸，此時(shí)，結(jié)合面間的法向載荷由潤(rùn)滑劑與固體共同承擔(dān)[25]。研究該類結(jié)合面的剛度阻尼特性可以轉(zhuǎn)化為研究固體接觸的剛度、阻尼特性以及擠壓油膜的剛度、阻尼特性。

兩粗糙表面的接觸可以等效為一剛性平面與一等效粗糙表面的接觸，混合潤(rùn)滑狀態(tài)下，它們之間的間隙由潤(rùn)滑劑填充，如圖2（a）所示。此時(shí)，根據(jù)載荷分配思想將結(jié)合面接觸剛度Kt等效為固體接觸剛度Ks與液體油膜接觸剛度Kl的并聯(lián)連接模型，同理，結(jié)合面的接觸阻尼Ct也可等效為固體阻尼Cs與油膜阻尼Cl的并聯(lián)模型，如圖2（b）所示。

5 結(jié)果與分析

5.1 模型驗(yàn)證

不同接觸模型下結(jié)合面接觸剛度隨法向載荷的變化規(guī)律如圖4所示。表面材料屬性參數(shù)E*=2×1011 Pa，H=0.65 GPa[33];潤(rùn)滑油選用46#液壓油，其黏度值在常溫下為0.018 Pa?s，其他仿真參數(shù)D=2.35，G=1×10-12 m，η空氣=1.81×10-5 Pa?s（常溫下）。由圖可知，利用本文模型、YK模型[24]以及WXL模型[34]獲得的數(shù)值解具有一致性，這說明了本文模型的合理性。值得注意的是當(dāng)兩粗糙表面處于干摩擦接觸狀態(tài)時(shí)，潤(rùn)滑介質(zhì)為空氣，本文模型與YK模型基本重合;當(dāng)潤(rùn)滑介質(zhì)為油時(shí)，接觸剛度隨著法向載荷的增大呈先減小后增大的趨勢(shì)，最后與干摩擦模型重合。這是因?yàn)樵诮佑|前期結(jié)合面的接觸剛度主要由油膜接觸剛度主導(dǎo)，之后隨著載荷的增加，結(jié)合面間隙中的油膜由于擠壓作用發(fā)生側(cè)漏或回滲到固體中，油膜接觸剛度占結(jié)合面接觸剛度的比率逐漸減小，當(dāng)載荷增大到一定程度時(shí)，結(jié)合面的接觸剛度開始由固體接觸剛度主導(dǎo)，逐漸向邊界潤(rùn)滑狀態(tài)轉(zhuǎn)化。

5.2 潤(rùn)滑油膜等效厚度的變化規(guī)律

選用D=2.4，G=1×10-12 m的表面分形參數(shù)，其他仿真計(jì)算參數(shù)如表1所示，分析了液體油膜等效厚度隨法向壓力的變化規(guī)律，結(jié)果如圖5所示。由圖可知，潤(rùn)滑油膜等效厚度隨著法向壓力的增大而減小，且其遞減速率先快后慢，二者呈非線性的關(guān)系。這是因?yàn)楫?dāng)表面粗糙度一定時(shí)，法向壓力的增大使得固體的真實(shí)接觸面積以先快后慢的速率遞增;相反地，結(jié)合面間隙中的油膜接觸面積以先快后慢的速率遞減，從而引起油膜等效厚度的減小。

5.3 分形參數(shù)對(duì)固體真實(shí)接觸面積、接觸剛度以及接觸阻尼的影響

固體真實(shí)接觸面積大小的主要影響因素是分形參數(shù)和法向載荷，載荷一定時(shí)，真實(shí)接觸面積與分形維數(shù)D、分形粗糙度G的關(guān)系如圖6所示。由圖可知，當(dāng)D不變時(shí)，Ar隨著G的增大而減小，即表面越粗糙，真實(shí)接觸面積越小。同時(shí)也觀察到，隨著D的增加，Ar呈先增大后減小的趨勢(shì)，這說明了存在一個(gè)最優(yōu)的分形維數(shù)D，使得固體的真實(shí)接觸面積達(dá)到一個(gè)最大值。

圖7表示不同分形參數(shù)下固體接觸剛度與真實(shí)接觸面積的關(guān)系曲線。由圖可知，固體接觸剛度Ks隨著真實(shí)接觸面積的增大而增大，同時(shí)，從圖7（a）中可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)固體真實(shí)接觸面積一定時(shí)，分形維數(shù)D越大，接觸剛度Ks越大。相反地，由圖7（b）可知，真實(shí)接觸面積一定時(shí)，接觸剛度Ks隨著分形粗糙度參數(shù)G的增大而減小。分形維數(shù)D的增大與分形粗糙度參數(shù)G的減小都可以減小表面的粗糙度，這意味著較小的表面粗糙度有助于改善結(jié)合面的接觸剛度特性。

不同分形粗糙度參數(shù)下固體接觸阻尼損耗因子ψ隨分形維數(shù)D的變化規(guī)律如圖8所示。從圖中觀察到，ψ隨著D的增大呈先減后增的變化趨勢(shì)，整個(gè)阻尼損耗因子的變化曲線呈下凹的函數(shù)特性。在D=2.35附近阻尼損耗因子達(dá)到了最小，之后隨著D的增大，分形粗糙度參數(shù)對(duì)阻尼損耗因子的影響越來越小，直到D>2.7以后，阻尼損耗因子幾乎不受分形粗糙度參數(shù)的影響，此時(shí)不同分形粗糙度參數(shù)下的損耗因子基本相等。同時(shí)，當(dāng)分形維數(shù)D一定時(shí)，分形粗糙度參數(shù)G越大，阻尼損耗因子越大，即表面越粗糙，阻尼損耗因子越大。

圖9表示不同分形粗糙度參數(shù)下固體接觸阻尼與分形維數(shù)D的關(guān)系曲線。由圖可知，固體接觸阻尼Cs隨分形維數(shù)D的變化規(guī)律與圖8中阻尼損耗因子的變化規(guī)律基本一致，都呈先減小后增大的變化趨勢(shì)。同時(shí)發(fā)現(xiàn)，在D=2.3附近，接觸阻尼達(dá)到了最小，之后隨著分形維數(shù)的增加，接觸阻尼曲線在D=2.55處出現(xiàn)了拐點(diǎn);當(dāng)D<2.55時(shí)，接觸阻尼隨著分形粗糙度參數(shù)G的增大而增大;當(dāng)D>2.55時(shí)，隨著分形粗糙度參數(shù)G的增大，接觸阻尼反而呈減小的變化趨勢(shì)。

5.4 分形參數(shù)對(duì)液體油膜接觸剛度的影響

與固體接觸部分的接觸剛度仿真類似，液體油膜接觸剛度Kl在不同分形參數(shù)下隨固體真實(shí)接觸面積的變化規(guī)律如圖10所示。從圖中可以看出，當(dāng)固體的真實(shí)接觸面積增大時(shí)，液體油膜接觸剛度Kl逐漸減小，這是由于固體真實(shí)接觸面積增大時(shí)，液體油膜接觸面積所占比例減小，進(jìn)而導(dǎo)致液體油膜的接觸剛度Kl減小。同時(shí)，Kl隨分形維數(shù)D和分形粗糙度參數(shù)G的變化規(guī)律與固體接觸剛度的變化趨勢(shì)一致。

5.5 混合潤(rùn)滑狀態(tài)下結(jié)合面的接觸剛度與接觸阻尼

圖11表示結(jié)合面接觸剛度Kt、油膜接觸剛度Kl以及固體接觸剛度Ks與真實(shí)接觸面積的關(guān)系。從圖中觀察到，結(jié)合面的接觸剛度隨著真實(shí)接觸面積的增加呈先減小后增加的趨勢(shì)，大概在真實(shí)接觸面積占名義接觸面積的10%附近，結(jié)合面接觸剛度曲線出現(xiàn)了拐點(diǎn)，剛度值達(dá)到了最小。研究表明，結(jié)合面固體真實(shí)接觸面積僅占名義接觸面積的一小部分，即使是高精度的機(jī)加工表面，真實(shí)接觸面積僅占名義接觸面積的10%?20%，這恰好是圖11中結(jié)合面接觸剛度的拐點(diǎn)位置。同時(shí)，從圖中還可以看出，當(dāng)Ar/An<10%時(shí)，油膜剛度占主導(dǎo)作用，此時(shí)油膜接觸所占面積較大，結(jié)合面間接近于流體潤(rùn)滑，結(jié)合面的接觸剛度相當(dāng)于油膜的靜壓剛度。因此，結(jié)合面的接觸剛度在接觸前期較大，之后，隨著固體真實(shí)接觸面積的增加，油膜接觸部分所占比例減小，固體接觸剛度的作用變得越來越明顯，油膜接觸剛度占結(jié)合面接觸剛度的比率逐漸減小。

表面粗糙度和載荷是影響結(jié)合面固體真實(shí)接觸面積的兩大主要因素，當(dāng)載荷一定時(shí)，表面粗糙度越小，真實(shí)接觸面積越大。通過對(duì)比結(jié)合面的接觸剛度與固體接觸剛度可知，在不改變表面粗糙度（甚至降低）的情況下，如圖中10%左右，添加潤(rùn)滑油可有效提高結(jié)合面的接觸剛度。

結(jié)合面法向接觸阻尼Ct在不同分形維數(shù)D下隨法向載荷Ft的變化規(guī)律如圖12所示。由于液體油膜接觸阻尼遠(yuǎn)大于固體接觸阻尼，所以液體油膜接觸阻尼主導(dǎo)著結(jié)合面的接觸阻尼。從圖中可以觀察到，結(jié)合面接觸阻尼與法向總載荷呈非線性的關(guān)系，且其隨著法向載荷的增大而減小，這是因?yàn)楫?dāng)表面粗糙度不變時(shí)，固體真實(shí)接觸面積隨著載荷的增大而增大，此時(shí)，油膜由于擠壓作用發(fā)生側(cè)向泄漏或者回滲到固體中，油膜接觸面積所占比例減小，結(jié)合面處于貧油狀態(tài)，從而引起結(jié)合面接觸阻尼的減小。同時(shí)，從圖中還可獲得，表面越光滑，結(jié)合面接觸阻尼越大。

6 結(jié) ?論

機(jī)床中的結(jié)合面普遍采用添加潤(rùn)滑劑的方式降低摩擦系數(shù)，減少表面磨損，提高機(jī)床的使用壽命和精度保持性。本文基于混合潤(rùn)滑狀態(tài)下固定結(jié)合面法向載荷由固體與潤(rùn)滑劑共同承擔(dān)的載荷分配思想，分別建立了結(jié)合面接觸剛度和接觸阻尼的并聯(lián)連接模型，仿真分析了結(jié)合面的剛度阻尼特性，為評(píng)估機(jī)床整機(jī)的動(dòng)態(tài)性能提供了幫助。

（1） 針對(duì)混合潤(rùn)滑狀態(tài)下結(jié)合面間變化的油膜厚度，利用固體接觸部分的彈性接觸剛度求解了液體油膜的等效厚度，實(shí)現(xiàn)了固體表面接觸剛度和液體油膜接觸剛度的耦合。

（2）在接觸前期，結(jié)合面固體真實(shí)接觸面積較小，液體油膜接觸面積所占比例較大，結(jié)合面的接觸剛度主要由油膜接觸剛度主導(dǎo)，隨著真實(shí)接觸面積的增加，液體油膜接觸剛度占總剛度的比率越來越小，固體接觸剛度作用變得明顯，最后轉(zhuǎn)變?yōu)楣腆w接觸剛度主導(dǎo)結(jié)合面的接觸剛度。

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Normal dynamic contact stiffness and damping model of joint surfaces in mixed lubrication

LI Ling， PEI Xi-yong， SHI Xiao-hui， CAI An-jiang， DUAN Zhi-shan

（School of Mechanical and Electrical Engineering， Xi'an University of Architecture and Technology， Xi'an 710055， China）

Abstract： The dynamic characteristic of joint surfaces is of great significance for evaluating the performance of machine tools. In this paper， a normal contact stiffness and damping model of joint surfaces are proposed for studying the complicated contact characteristics of fixed joint surfaces in mixed lubrication. Firstly， the three-dimensional Weierstrass-Mandelbrot function is used to describe the rough surface， and the solid contact stiffness and damping model is established based on the fractal theory. Then， the contact stiffness and damping model of the lubricant are established based on the mean flow generalized Reynolds equation， in which the lubricant contact stiffness is a function of the solid contact stiffness. Finally， the contact stiffness and damping of the solid part， lubricant part and the joint surfaces are analyzed. The results show that the damping of the lubricant film is much larger than that of the solid part， and the contact damping of joint surfaces is mainly dominated by the damping of the lubricant film. The contact stiffness of joint surfaces is dominated by the lubricant contact stiffness in the early stage of contact. However， the ratio of the lubricant contact stiffness to the stiffness of joint surfaces decreases with increasing the real contact area. At last， the solid contact stiffness dominates joint surfaces.

Key words： joint surface; mixed lubrication; equivalent thickness; contact stiffness; contact damping; fractal theory

作者簡(jiǎn)介： 李 ?玲（1981-），男，教授。E-mail： liling@xauat.edu.cn

通訊作者： 史小輝（1977-），男，講師。E-mail： 13811382617@163.com