一類常微分方程的解及其應(yīng)用

呂桂穩(wěn)， 王雅茹,薛志群

(石家莊鐵道大學(xué) 數(shù)理系，河北 石家莊 050043)

0 引言

然而在現(xiàn)代微分方程的研究與應(yīng)用中，很少求微分方程的通解或所有解。一是因?yàn)橹挥猩贁?shù)微分方程可以求出其通解或所有解，二是有些問題不需要通解或所有解。但是對(duì)初學(xué)者尤其是非數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生來說，微分方程的解的概念還是非常重要的。因此，在一些通用教材中仍把微分方程的通解、所有解、特解等作為基本概念來一一介紹。

1 微分方程的通解、所有解、特解等基本概念及其關(guān)系

文獻(xiàn)[1]中有這樣的定義:對(duì)于n階常微分方程

F(x,y,y′,L,y(n-1),y(n))=0

(1)

如果將函數(shù)y=φ(x)代入方程(1)后，能使它變?yōu)楹愕仁?，則稱y=φ(x)為方程(1)的解。

含有n個(gè)獨(dú)立的任意常數(shù)c1,c2,LLcn的解y=φ(x,c1,c2,LLcn)稱為n階方程(1)的通解。

把滿足初值條件的解稱為微分方程的特解[1]。

文獻(xiàn)[2]中對(duì)微分方程通解的定義是這樣的：設(shè)函數(shù)y=φ(x)在區(qū)間I上有n階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，如果在區(qū)間I上F(x,φ(x),φ′(x),L,φ(n)(x))=0，則稱函數(shù)y=φ(x)是微分方程的解。如果微分方程的解中含有任意常數(shù)，且相互獨(dú)立的任意常數(shù)的個(gè)數(shù)與微分方程的階數(shù)相同，那么確定了通解中的任意常數(shù)以后，就得到微分方程的特解[2]。

文獻(xiàn)[1]、文獻(xiàn)[2]中對(duì)通解的定義是一致的，而且在本質(zhì)上特解都是利用通解，通過初始條件確定的。然而對(duì)于一個(gè)微分方程來講，大多數(shù)情況下它的解并不唯一，那么使某個(gè)微分方程成為恒等式的全部函數(shù)，稱為這個(gè)方程的所有解。一個(gè)微分方程的解、通解、特解及所有解具有如下關(guān)系。

定理1 通解、特解都是微分方程的解，但微分方程的通解未必是它所有解。

情形1 對(duì)微分方程進(jìn)行變形的過程中可能會(huì)丟掉解，致使通解不是所有解。

情形2 對(duì)微分方程進(jìn)行變形過程中，丟掉的解會(huì)通過對(duì)通解中任意常數(shù)的選取又補(bǔ)回來，這時(shí)候通解又是所有解了。

例2 求微分方程y′+P(x)y=0的所有解，其中P(x)是連續(xù)函數(shù)。

由情形1、2可知，變量可分離的方程，齊次型和準(zhǔn)齊次型方程，伯努利方程等在解方程的過程中要進(jìn)行變形，因此它們的通解可能不是所有解。而對(duì)于全微分方程、常系數(shù)線性齊次和非齊次方程的通解都是所有解。

情形3 方程的解既不是通解也不是特解，又不包含在通解中。

例3 求解微分方程(y′-1)(yn-1)=0。

解：顯然y=x+C和y=C1e-x+C2ex都是它的解，由定義，y=C1e-x+C2ex是微分方程的通解，而y=x+C既不是通解也不是特解。

定理2 微分方程通解中的任意常數(shù)是指在一定范圍內(nèi)的“任意”。

定理3 滿足初值問題的特解不一定唯一。

2 一階非齊次線性微分方程特解的一個(gè)求法及其應(yīng)用

一般情況下，求初值問題的特解，需要求出方程的通解，根據(jù)初值條件確定任意常數(shù)，從而得到特解。但是有些方程要具體問題具體分析。

例6 證明一階線性微分方程y′+P(x)y=Q(x)，滿足初始條件y(x0)=y0的情況下，它的特解為

(2)

(3)

注：由這個(gè)方程的解,即式(3)，得到了次諧Melnikov函數(shù)，從而用Melnikov方法，得到了非線性碰撞系統(tǒng)

(4)

出現(xiàn)混沌的條件[4]。