類比拓展 尋求共性

羅愛忠 董仁思

摘要：眾所周知高考試題要求具有高度的原創(chuàng)性，高考命題專家手中只有教材和課標，以教材中的例題和習(xí)題以及曾經(jīng)的高考試題，甚至部分模擬試題作為試題命制背景進行類比拓展、加工變式成為專家命題的主要方式。下面以兩個題組為例從試題命制的角度談領(lǐng)悟、應(yīng)用類比法的體會，以及解決這一類直線過定點問題的基本方法.

關(guān)鍵詞：類比拓展;尋求共性;高考試題;定值問題

人教A版《數(shù)學(xué)》（選修2-2）（第73頁）對類比法這樣定義：“有兩類對象具有某些類似特征和其中一類對象的某些已知特征，推出另一類對象也具有這些特征的推理稱為類比推理（簡稱類比）?！睌?shù)學(xué)家波利亞曾指出：“類比是偉大的引路人“;科學(xué)家開普勒的話：“我珍視類比勝過任何別的東西，它是我最可信賴的老師，它能揭示自然界的秘密”;數(shù)學(xué)家拉普拉斯認為即使在數(shù)學(xué)里發(fā)現(xiàn)真理的主要工具也是歸納和類比。由此可見，類比是一個非常重要的推理方法，也是編制試題的主渠道，更是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)創(chuàng)新能力、創(chuàng)新思維的重要途徑，教學(xué)過程中我們應(yīng)給予充分的重視。

題組一

1、（人教版《數(shù)學(xué)》選修2-1P73A組第6題）如圖，O是直角系坐標原點，直線y=x-2與拋物線y2=2x相交于A，B點，求證：OA⊥OB﹒

本題主要研究過拋物線頂點的正交弦問題，本質(zhì)上也是一個定值問題，即求證或kOA·kOB=-1。從這個命題出發(fā)進行探究、拓展，一般可以從三個維度進行：

一是逆命題是否成立，即過拋物線頂點的正交弦兩端點的直線是否過定點問題，即例2﹒

二是探究拓展原、逆兩個命題的一般性結(jié)論，即拋物線的弦的兩端點的橫坐標（縱坐標）乘積為定值，則弦所在直線過軸上的定點，反之亦然﹒

三是背景遷移，即將拋物線遷移到橢圓、雙曲線中﹒

2、（2017年全國Ⅰ卷20）已知橢圓，下列四點

中恰有三點在橢圓C上﹒

⑴求橢圓C的方程;（）

⑵設(shè)直線l不經(jīng)過點P2且與C相交于A，B兩點，若直線P2A與直線P2B的斜率之和為-1，證明：直線l過定點﹒

這道高考題創(chuàng)新度較高，考查了直觀想象、數(shù)學(xué)運算、邏輯推理等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，充分體現(xiàn)了素養(yǎng)立意的命題要求。這道試題可以認為是由上述教材習(xí)題即第一題的逆命題且將載體由拋物線類比到橢圓而來，該題創(chuàng)新主要體現(xiàn)如下兩點：第一，設(shè)問創(chuàng)新，以往給出點的坐標，利用待定系數(shù)法求曲線方程是常規(guī)題，如何跳出俗套，命題人出其不意，利用多給一個點的坐標，把直觀想象、數(shù)學(xué)運算、邏輯推理等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)巧妙地結(jié)合在一起考查;第二，類比創(chuàng)新，研究直線變量中的不變問題，也是常見題，一般情形下類比方法是把兩條直線重直的結(jié)論k1·k2=-1類比為k1·k2=m（m為常數(shù)），在這道考題中打破常規(guī)類比方法，創(chuàng)新為k1+k2=-1，從數(shù)學(xué)運算角度類比，讓人感覺既熟悉又陌生，創(chuàng)新感十足﹒

題組二

得到關(guān)于p的方程解得，經(jīng)檢驗符合題意

類比是創(chuàng)造新思維的基石，也是創(chuàng)新的重要方法。創(chuàng)新方法依賴于創(chuàng)新思維，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)創(chuàng)新思維，要求教師在日常教學(xué)中從關(guān)注學(xué)生的知識，技能的掌握轉(zhuǎn)變?yōu)殛P(guān)注學(xué)生的思維思考方式，類比推理屬于發(fā)現(xiàn)性學(xué)習(xí)，激發(fā)學(xué)生的智慧，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)創(chuàng)新能力，是一個復(fù)雜的系統(tǒng)的工程。只要教師能轉(zhuǎn)變觀念，與學(xué)生的學(xué)習(xí)為中心與學(xué)科素養(yǎng)為導(dǎo)向，學(xué)生的創(chuàng)新能力一定能夠提高。

參考文獻：

[1][潘巧玲. 追本溯源，發(fā)現(xiàn)本質(zhì)——對教材中橢圓一個定值問題的深度探究與微拓展[J]. 教學(xué)考試， 2019， 000（047）：P.18-21.

本文系湖南省教育科學(xué)規(guī)劃課題：《高中數(shù)學(xué)教學(xué)實踐滲透創(chuàng)客文化的實效性研究》（課題批準號：XJK016CZⅩX017）研究成果之一。

衡東一中 湖南 衡陽 421400