高頻驅(qū)動(dòng)條件下法拉第斑圖生成的臨界參數(shù)探究

嚴(yán) 涵，王 偉，周路群

(北京大學(xué) 物理學(xué)院，北京 100871 )

豎直方向的周期性驅(qū)動(dòng)力作用于液體，可使其表面產(chǎn)生有序的周期性結(jié)構(gòu)——這一現(xiàn)象最早被法拉第研究[1]，稱為“法拉第斑圖”.

理論上，為定量研究這一現(xiàn)象，需要在流體動(dòng)力學(xué)的納維-斯托克斯(Navier-Stokes)方程中加入表面張力和黏滯阻力的貢獻(xiàn)項(xiàng).20世紀(jì)中葉，Benjamin和Ursell分析了不含黏滯阻力項(xiàng)的情形，得到了振幅隨時(shí)間演化的方程，并表述為Mathieu方程的標(biāo)準(zhǔn)形式.由此，他們定量地預(yù)言了依賴于外界的驅(qū)動(dòng)振幅和驅(qū)動(dòng)頻率的法拉第斑圖的生成條件[2].其生成機(jī)制為溶液系統(tǒng)在特定邊界條件下的本征模式與外界驅(qū)動(dòng)參數(shù)作用下達(dá)到參數(shù)共振，這一理論框架在低頻條件下被較充分地進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)檢驗(yàn)(根據(jù)實(shí)驗(yàn)觀察經(jīng)驗(yàn)及前人研究[3]，在本實(shí)驗(yàn)條件下，“低頻”即可用線性理論近似描述的區(qū)域大致在40 Hz以下，高頻大致在60 Hz以上)，并得到了理論和實(shí)驗(yàn)上的推廣[4].然而，在較高的驅(qū)動(dòng)頻率下，非線性效應(yīng)更為顯著，前述理論的預(yù)言能力較為有限.實(shí)驗(yàn)觀察表明，在高頻驅(qū)動(dòng)條件下，法拉第斑圖生成的參數(shù)條件受溶液系統(tǒng)邊界條件的影響較小，其生成和選擇問(wèn)題極大地依賴溶液本身的特性.

本實(shí)驗(yàn)關(guān)注高頻驅(qū)動(dòng)條件下黃原膠溶液生成法拉第斑圖的臨界參數(shù)關(guān)系，發(fā)現(xiàn)最大驅(qū)動(dòng)加速度Acc與驅(qū)動(dòng)頻率f存在準(zhǔn)線性變化關(guān)系，這個(gè)線性關(guān)系預(yù)示著驅(qū)動(dòng)加速度和驅(qū)動(dòng)頻率的比值存在常量的可能，即某種速率特征量可能是描述法拉第斑圖生成行為的特征量.之后，本文嘗試使用修改后的納維-斯托克斯方程，得到基于溶液系統(tǒng)能量耗散和外界能量輸入達(dá)到平衡的有關(guān)臨界參數(shù)的半定量理論關(guān)系預(yù)言.然后，根據(jù)實(shí)驗(yàn)結(jié)果和理論預(yù)言的對(duì)比，提出液面速率可能是描述系統(tǒng)斑圖生成行為的特征量，并指出了進(jìn)行進(jìn)一步研究的可能.

1 儀器及測(cè)量方案介紹

1.1 實(shí)驗(yàn)儀器介紹

實(shí)驗(yàn)儀器由模態(tài)激振器(JZK-100)、掃頻信號(hào)發(fā)生器(YE1311)、功率放大器(YE5878)、壓電式加速度傳感器(GA-YD-107)、電荷放大器(YE5852)(這五部分購(gòu)自江蘇聯(lián)能電子技術(shù)有限公司)以及示波器(TDS1002，泰克科技中國(guó)有限公司)和高速攝像機(jī)(AOS S-MOTION，瑞士AOS公司，AOS Technologies AG)組成.掃頻信號(hào)發(fā)生器輸出特定頻率f、特定振幅Am的交變信號(hào)，經(jīng)功率放大器放大后，輸入模態(tài)激振器，使固連于其上的平板以及無(wú)蓋圓形容器在豎直方向上周期性振動(dòng).固定在平板上的加速度傳感器將加速度信號(hào)經(jīng)電荷放大器輸入示波器，通過(guò)讀出示波器電壓峰-峰值(記為U)可知平臺(tái)振動(dòng)的最大驅(qū)動(dòng)加速度值A(chǔ)cc∝U(比例系數(shù)受電荷放大器控制，為一常數(shù)，單位ms-2V-1).在實(shí)驗(yàn)過(guò)程中，可使用安裝在圓形容器上方的高速攝像機(jī)觀察液體表面的圖樣.實(shí)驗(yàn)裝置示意圖如圖1所示，該圖參考自同一實(shí)驗(yàn)平臺(tái)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)的亓瑞時(shí)等人的論文[3].

圖1 實(shí)驗(yàn)裝置示意圖

本實(shí)驗(yàn)中，溶液系統(tǒng)為具有一定黏稠性的黃原膠溶液.黃原膠溶液是有黏性的非理想流體，應(yīng)用于法拉第斑圖的研究，能獲得更豐富穩(wěn)定的非線性物理效應(yīng).另外，本實(shí)驗(yàn)希望關(guān)注黃原膠溶液的表面性質(zhì)，希望盡可能減少系統(tǒng)整體幾何屬性如容器邊界、液體深度的影響.之前低頻段的研究表明：液體深度較大(遠(yuǎn)大于重力波波長(zhǎng))時(shí)，深度對(duì)液面結(jié)構(gòu)的影響近似可以忽略；而高頻段的定性實(shí)驗(yàn)則表明，容器口徑較大時(shí)邊界的影響較小.因此，本文選用較大口徑(直徑D=14 cm)的圓形容器，分別加入150 ml、250 ml溶液(深度分別為0.97 cm、1.62 cm)進(jìn)行實(shí)驗(yàn).根據(jù)預(yù)實(shí)驗(yàn)，選取斑圖易于產(chǎn)生、便于觀察的典型濃度c=5 mg/ml進(jìn)行實(shí)驗(yàn).

1.2 實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象及測(cè)量方案

固定信號(hào)發(fā)生器輸出頻率，即固定驅(qū)動(dòng)頻率f，緩慢調(diào)大輸出信號(hào)幅值U，可以觀測(cè)到在某一特定參數(shù)范圍內(nèi)，溶液表面迅速“生長(zhǎng)”出一定的有序結(jié)構(gòu)，即法拉第斑圖.在低頻時(shí)，這種結(jié)構(gòu)一般分布于整個(gè)液面或其中某個(gè)對(duì)稱軸上，并展現(xiàn)出顯著的對(duì)稱性[4]；高頻時(shí)，這種結(jié)構(gòu)更傾向于表現(xiàn)出“晶格”的狀態(tài)，同時(shí)其開始出現(xiàn)的區(qū)域也不必然對(duì)稱地分布于整個(gè)液面上，而是呈現(xiàn)出更多樣的狀態(tài).圖2給出了幾個(gè)例子.

(a) f=60 Hz時(shí)的“半環(huán)”結(jié)構(gòu) (b) f=90 Hz時(shí)的“半環(huán)+半帶”結(jié)構(gòu)

待斑圖穩(wěn)定后，緩慢調(diào)低U，斑圖將消失.其對(duì)應(yīng)的U不必然等于前述增大U時(shí)的“臨界值”，即展現(xiàn)出某種“滯回”現(xiàn)象.一般而言，當(dāng)頻率較高時(shí)，上下兩個(gè)臨界值分辨得較為清楚，且增大時(shí)的臨界值(記為U1)一般高于降低時(shí)的臨界值(記為U2).

考慮到儀器的精度和穩(wěn)定性，驅(qū)動(dòng)頻率選取信號(hào)發(fā)生器的輸出值，驅(qū)動(dòng)外力選取示波器上由加速度傳感器測(cè)得的加速度峰-峰值(用電壓表示，如前所述).為盡可能提高實(shí)驗(yàn)結(jié)果的可重復(fù)性，本實(shí)驗(yàn)在操作時(shí)要求盡可能按照示波器可觀測(cè)的最小分辨率來(lái)調(diào)節(jié)信號(hào)發(fā)生器輸出，每調(diào)節(jié)到一個(gè)輸出值，等待5 s并利用高速攝像機(jī)傳回的畫面觀察斑圖是否出現(xiàn).

需要特別說(shuō)明的是，“斑圖是否出現(xiàn)”的判定是依據(jù)肉眼對(duì)頻幕上高速攝像機(jī)傳回圖像的觀察.這種判據(jù)之所以有一定的可重復(fù)性，是因?yàn)榘邎D出現(xiàn)時(shí)液體表面駐波振幅是“跳變”(迅速增長(zhǎng)到可觀察的水平)而非緩慢增大的.當(dāng)然，這種判據(jù)的引入，使得其結(jié)果必然帶有一定的主觀性，存在一定的系統(tǒng)誤差.

2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

選用濃度固定為5 mg/ml的黃原膠溶液，分別測(cè)量溶液體積為Va=150 ml和Vb=250 ml時(shí)的上下兩個(gè)臨界電壓U1和U2.頻率以5 Hz為間隔變化，實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖3所示.

(a) Va=150 ml

從圖3中可以看出，臨界電壓近似線性正相關(guān)地依賴于驅(qū)動(dòng)頻率.需要說(shuō)明的是，兩圖中曲線在65 Hz附近的明顯“凹陷”可以被解釋為儀器平臺(tái)的共振效應(yīng)——在這頻率附近可觀察到整個(gè)激振器有較大的、宏觀可見(jiàn)的晃動(dòng)，且在同一平臺(tái)上進(jìn)行實(shí)驗(yàn)的其他研究者也報(bào)告了相似的現(xiàn)象.由此，本文將65 Hz處的數(shù)據(jù)的“偏移”視為外界干擾導(dǎo)致，在之后擬合分析時(shí)舍去該點(diǎn).為更準(zhǔn)確地研究臨界電壓對(duì)驅(qū)動(dòng)頻率的依賴關(guān)系，對(duì)二者均取對(duì)數(shù)，再進(jìn)行分析.考慮到中頻(小于60 Hz)上下兩個(gè)臨界點(diǎn)可能有“倒轉(zhuǎn)”現(xiàn)象(即不符合通常所見(jiàn)的U1>U2情形)、且不能很好的排除在誤差范圍之外，本文參考之前研究者的做法[3]，對(duì)同一頻率的上下兩值取平均后再取對(duì)數(shù)，進(jìn)行進(jìn)一步分析.計(jì)算結(jié)果表明這一做法對(duì)后續(xù)的冪指數(shù)分析幾乎沒(méi)有影響.

圖4即為按上述方案進(jìn)行處理的結(jié)果.圖中的兩條直線是對(duì)數(shù)取平均后的數(shù)據(jù)進(jìn)行線性擬合生成的(已舍去65 Hz的點(diǎn).實(shí)際上這一操作對(duì)擬合結(jié)果影響很小).線性擬合的參數(shù)如表1所示，其中σa、σb為擬合直線參數(shù)的不確定度(未考慮單次測(cè)量誤差).

令人感興趣的現(xiàn)象是圖4的線性擬合結(jié)果，因臨界電壓U正比于溶液系統(tǒng)的最大驅(qū)動(dòng)加速度Acc，故有l(wèi)nAcc∝lnf，而表1顯示二者線性擬合的斜率接近1，這預(yù)示著驅(qū)動(dòng)加速度和驅(qū)動(dòng)頻率的比值存在是常量的可能，即某種速率特征量可能是描述法拉第斑圖生成行為的特征量.若斜率嚴(yán)格等于1，這個(gè)速率特征量就是外界驅(qū)動(dòng)溶液系統(tǒng)即平臺(tái)的最大速率，也就是說(shuō)，當(dāng)外界周期驅(qū)動(dòng)力足夠大，使得平臺(tái)帶動(dòng)溶液系統(tǒng)在上下振動(dòng)過(guò)程中其最大瞬時(shí)速率達(dá)到某個(gè)臨界值，斑圖就會(huì)生成，概括地說(shuō)就是斑圖是否生成取決于溶液系統(tǒng)所處平臺(tái)的最大速率是否越過(guò)這個(gè)臨界值.

圖4 臨界點(diǎn)隨頻率變化的線性擬合結(jié)果

表1 臨界點(diǎn)隨頻率變化關(guān)系的線性擬合(lnU=a*lnf+b)結(jié)果

接下來(lái)，繼續(xù)關(guān)心擬合直線的斜率偏離1的程度，因?yàn)檫@反映了Acc對(duì)f的依賴關(guān)系偏離線性的程度.從實(shí)驗(yàn)結(jié)果來(lái)看，擬合得到的斜率大致在1.2～1.3的范圍內(nèi)，有系統(tǒng)性的對(duì)1的偏離——不妨把這種關(guān)系稱作“準(zhǔn)線性”關(guān)系.這種偏離表明本文的猜想“平臺(tái)最大速率存在控制斑圖生成的臨界值”不太準(zhǔn)確.在下一節(jié)中，將嘗試對(duì)此給出一個(gè)半定量的理論解釋，并討論其可能的物理意義.

3 半定量理論分析與討論

從考慮表面張力的理想流體的納維-斯托克斯方程出發(fā)，方程的原始版本一般為關(guān)于速度勢(shì)的形式[2,5]：

(1)

式中z坐標(biāo)指向豎直方向(以豎直向上為正)，ζ為液體表面的z坐標(biāo)，僅為x、y、t的函數(shù)；g為(z方向的)重力加速度.該式假設(shè)了小振幅運(yùn)動(dòng)的理想流體(不可壓縮、不考慮粘滯).對(duì)其求梯度，并進(jìn)行推廣——補(bǔ)充黏滯項(xiàng)、推廣加速度項(xiàng)，得到

(2)

式中最后補(bǔ)充的一項(xiàng)黏滯項(xiàng)為仿照教材[5]中常見(jiàn)寫法給出的形式；g*為推廣的、可依賴于時(shí)間變化的“重力加速度”.對(duì)于本實(shí)驗(yàn)所涉及的情況，可以寫出

g*=g+Acccos(2πft+φ)

(3)

式中g(shù)、Acc均為常矢量.式(2)兩邊點(diǎn)乘v，再對(duì)起振的空間區(qū)域取平均，得到

(4)

對(duì)式(4)的導(dǎo)出，有幾個(gè)說(shuō)明：首先，最后一項(xiàng)尖括號(hào)中并矢的定義為v:v=(?kvi)(?kvi)(重復(fù)指標(biāo)需求和)；其二，式(2)中右邊第二項(xiàng)的空間積分可利用散度定理化為區(qū)域邊界處結(jié)果為零的積分(注意不可壓縮流體即速度場(chǎng)無(wú)散的假設(shè))；其三，式(2)中最后一項(xiàng)利用分部積分的辦法，可得到式(4)中的最后一項(xiàng).

在式(2)成立的情況下，式(4)是嚴(yán)格的.然而，為與本文的實(shí)驗(yàn)盡可能相對(duì)照，需再做一定假設(shè)的基礎(chǔ)上簡(jiǎn)化式(4).本文對(duì)式(4)進(jìn)行時(shí)間上的平均.這樣，左邊就可理解為某種“平均起振幅度”隨時(shí)間的變化.令其為0后，還需要得到等式右邊的簡(jiǎn)化結(jié)果.將各振動(dòng)量的幅值用下角標(biāo)m表示，得到如下近似表達(dá)式

(5)

其中，k為表面張力重力波的波數(shù)，注意到無(wú)黏滯條件下重力波速度場(chǎng)的解析結(jié)果在各空間方向上都有對(duì)k的依賴(參見(jiàn)教材[5]相關(guān)內(nèi)容).在能量角度下，這等式可近似的理解為斑圖生成臨界點(diǎn)處的能量平衡方程，即外“重力場(chǎng)”的做功與起振流體黏滯耗散的能量相平衡.考慮到高頻、較大深度條件下，如下的色散關(guān)系符合得較好

(6)

由此，式(5)化為

(7)

最后，實(shí)驗(yàn)結(jié)果的冪指數(shù)在1.2～1.3的范圍內(nèi)，離理論分析的結(jié)果4/3還有一定的差距.這極有可能源自黃原膠溶液是非牛頓黏性流體的特性，以及判斷斑圖生成的臨界狀態(tài)的主觀性等方面帶來(lái)的誤差.

將來(lái)，進(jìn)一步的研究可以在實(shí)驗(yàn)層面嘗試證實(shí)或證偽這一推論，也可以在理論角度考察這一結(jié)果的物理意義——例如，這是否包含了一類非線性系統(tǒng)的普遍特性，或者反映了某種類似標(biāo)度律的屬性.

4 結(jié)束語(yǔ)

本實(shí)驗(yàn)觀察高頻周期外力驅(qū)動(dòng)的黃原膠溶液表面生成法拉第斑圖的臨界參數(shù)的情形，得到了臨界參數(shù)最大驅(qū)動(dòng)加速度對(duì)驅(qū)動(dòng)頻率的準(zhǔn)線性指數(shù)依賴關(guān)系，其冪指數(shù)約為1.2～1.3.基于一種半定量的理論分析，本文得到了一個(gè)類似于能量平衡方程的關(guān)系式，且相應(yīng)的理論冪指數(shù)為4/3.由此推斷，在斑圖生成的臨界狀態(tài)附近，溶液表面最大速率可能存在臨界值，也就是說(shuō)，當(dāng)外界驅(qū)動(dòng)溶液時(shí)，溶液表面在上下振動(dòng)時(shí)其最大速率若達(dá)到這個(gè)臨界值，斑圖就可能瞬間生成；同時(shí)也猜測(cè)，溶液表面最大速率可能是體系一重要的特征量.

5 致謝

本實(shí)驗(yàn)得以完成，需要感謝北京大學(xué)物理學(xué)院的場(chǎng)地、儀器支持，周路群、王偉老師的指導(dǎo)、幫助，以及與趙瑞博同學(xué)的討論交流.此外，本實(shí)驗(yàn)的有關(guān)想法也受到了諸多前輩包括在同一實(shí)驗(yàn)室進(jìn)行過(guò)實(shí)驗(yàn)的學(xué)長(zhǎng)們的啟發(fā)，在此一并表示感謝.