時(shí)空?qǐng)D法在狹義相對(duì)論教學(xué)中的應(yīng)用

許廣智，李一杰

(遼寧大學(xué)物理學(xué)院，遼寧 沈陽 110036)

狹義相對(duì)論是高校理工科物理課程中的重要內(nèi)容.但由于狹義相對(duì)論效應(yīng)發(fā)生在高能高速條件下，與生活經(jīng)驗(yàn)相距甚遠(yuǎn)，學(xué)生們對(duì)相對(duì)論帶來的時(shí)空觀變革往往無感，對(duì)得到的與生活相悖的結(jié)論感到困惑.實(shí)際教學(xué)中，可以引入閔科夫斯基時(shí)空幾何(時(shí)空?qǐng)D)來解釋狹義相對(duì)論的相關(guān)問題，輔助理解[1].比如，利用時(shí)空?qǐng)D來解釋尺縮鐘慢效應(yīng)[1-5]，容易使學(xué)生們理解為什么不能也不必問“究竟誰的尺更短”，“究竟誰的鐘更慢”之類的問題[1,2].另外，利用時(shí)空?qǐng)D，也能夠?qū)﹄p生子佯謬[1,6]、汽車入庫[1,5]等問題給出直觀的定性解釋.取得較好的教學(xué)效果.

但是，另一方面，諸如多普勒效應(yīng)、光行差等效應(yīng)以及習(xí)題均涉及定量分析及計(jì)算，而教材及文獻(xiàn)中多給出代數(shù)方法[5,7-12].利用時(shí)空?qǐng)D，能否對(duì)這些問題進(jìn)行分析，答案是肯定的[1,13,14].本文下面內(nèi)容中將介紹應(yīng)用時(shí)空?qǐng)D進(jìn)行定量計(jì)算的方法，并利用時(shí)空?qǐng)D討論多普勒效應(yīng)、光行差等問題.

1 應(yīng)用時(shí)空?qǐng)D的定量計(jì)算方法

簡(jiǎn)單來說，應(yīng)用時(shí)空?qǐng)D進(jìn)行計(jì)算的步驟主要是繪制時(shí)空?qǐng)D，找出所求物理量在時(shí)空?qǐng)D中的對(duì)應(yīng)，最后利用幾何關(guān)系給出結(jié)果.許多文獻(xiàn)給出了繪制時(shí)空?qǐng)D的詳細(xì)方法[1-4]，這里不再詳述.在下面幾小節(jié)內(nèi)容中對(duì)時(shí)空?qǐng)D中的幾何關(guān)系說明幾點(diǎn).

1.1 時(shí)空?qǐng)D中線段的長度

時(shí)空?qǐng)D中線段的長度L，即兩事件點(diǎn)的時(shí)空距離，由式(1)、(2)與其間隔s2相聯(lián)系，其大小是絕對(duì)的實(shí)數(shù)值[6]，與選取的參考系無關(guān).

s2=cΔt2-Δx2-Δy2-Δz2

(1)

(2)

1.2 時(shí)空?qǐng)D中兩線間的角度

時(shí)空?qǐng)D中兩線間的角度，數(shù)值上等于相對(duì)應(yīng)的參考系間的相對(duì)快度，其大小也是絕對(duì)的.快度/角度具有相加性.由快度與速度的關(guān)系[15]

(3)

可知速度不具有相加性，只有在低速條件下

v=cthη≈cη+O(η)

(4)

圖1 沿x軸方向運(yùn)動(dòng)兩物體的二維時(shí)空?qǐng)D

(5)

(6)

可見，利用時(shí)空?qǐng)D中角度的相加性，速度變換轉(zhuǎn)化為角度的線性運(yùn)算，運(yùn)算也變得簡(jiǎn)單.在一些復(fù)雜問題中，利用角度進(jìn)行運(yùn)算的便捷更為明顯.比如在文獻(xiàn)[18]中，討論了相對(duì)論極限下角速度為ω，長度為R的長桿繞一端點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)問題，給出了不違背狹義相對(duì)論的桿外緣轉(zhuǎn)動(dòng)速度.這里利用角度相加性，容易重復(fù)出文獻(xiàn)中的結(jié)果.

把長桿均分為n段，各段有相同角速度ω，內(nèi)圈某節(jié)點(diǎn)參考系下觀測(cè)下一節(jié)點(diǎn)的相對(duì)速度為

(7)

則相對(duì)快度為

(8)

利用相對(duì)快度的洛倫茲不變性和相加性，長桿外緣相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)中心的快度為

(9)

最后，轉(zhuǎn)動(dòng)中心參考系中，觀測(cè)長桿外緣速度為

(10)

1.3 時(shí)空?qǐng)D中的直角三角形

通過洛倫茲變換及快度定義可以證明時(shí)空?qǐng)D中兩時(shí)空矢量A、B的點(diǎn)積定義為

A·B=AΤgB=AμgμνBν=|A||B|ch(ηA-ηB)

(11)

其中ηA-ηB是A、B之間的夾角.可見，點(diǎn)積定義在閔氏時(shí)空與三維歐氏空間中具有相同的形式，不同的是前者遵循雙曲(羅巴切夫斯基，羅氏)幾何，后者遵循三角(歐氏)幾何.這也使得時(shí)空?qǐng)D下的直角三角形中的邊角滿足不同于歐氏空間的幾何關(guān)系.例如，在圖1中，AB⊥OB，所以△OBA是直角三角形，有

(12)

(13)

(14)

容易看到，直角三角形△OCA中也有類似關(guān)系.

1.4 三維時(shí)空?qǐng)D

圖2 確定三維時(shí)空?qǐng)D中物體在S′參考系中的坐標(biāo)

而ACBD是A點(diǎn)在S′系的等時(shí)面，此平面中的矢量均是空間矢量，長度角度依然遵循歐式幾何關(guān)系.例如假設(shè)物體在S′系中在x′Oy平面與x′軸成θ′角運(yùn)動(dòng)，則

(15)

(16)

特別的，如果OA是類光矢量，則

(17)

th∠BOC=cosθ′

(18)

sh∠BOC=cotθ′

(19)

在處理三維時(shí)空?qǐng)D或者更復(fù)雜的四維時(shí)空?qǐng)D問題時(shí)，可以采用繪制S與S′系共同坐標(biāo)平面(如圖2中的xOct平面)的方法，利用上面等式關(guān)系將問題轉(zhuǎn)化為二維問題.

thη′x=thη′ cosθ′=th(ηx-ξ)

(20)

(21)

thηychηx/ch(ηx-ξ)

(22)

利用雙曲函數(shù)和差公式及式(3)即得x′與y′方向的速度變換公式.

1.5 兩道例題

作為時(shí)空?qǐng)D法定量計(jì)算的例子，下面我們求解教材中的兩道習(xí)題.

例1(文獻(xiàn)[5]第6章習(xí)題4)：一輛以速度v運(yùn)動(dòng)的列車上的觀察者，在經(jīng)過某一高大建筑物時(shí)，看見其避雷針上跳起一脈沖電火花，電光迅速傳播，先后照亮了鐵路沿線的兩鐵塔.求列車上觀察者看到的兩鐵塔被電光照亮的時(shí)刻差.設(shè)建筑物及兩鐵塔都在一直線上，與列車前進(jìn)方向一致.鐵塔到建筑物的地面距離已知都是l0.

解答：此題問題分兩種情況：1) 鐵塔分別被照亮后反射光線到達(dá)觀察者的時(shí)刻差；2) 鐵塔分別被照亮?xí)r在觀察者參考系的時(shí)刻差.繪制如圖3兩時(shí)空?qǐng)D分別對(duì)應(yīng)兩種情況.線OC為列車上觀察者世界線，虛線是電光世界線，點(diǎn)線為輔助線.

圖3 列車觀察者觀測(cè)電光照亮鐵塔的時(shí)空?qǐng)D

(23)

電光在任一慣性系中快度的雙曲正切值都為1:

th∠ACB=th∠ADB=1

(24)

(25)

(26)

(27)

∠CAB=∠DBA=η

(28)

(29)

(30)

(31)

所以，兩種情況結(jié)果相差2倍.

例2(文獻(xiàn)[5]第6章習(xí)題2)：設(shè)有2根互相平行的尺，在各自靜止的參考系中的長度均為l0，它們以相同速率v相對(duì)于某一參考系運(yùn)動(dòng)，但運(yùn)動(dòng)方向相反，且平行于尺子.求站在一根尺上測(cè)量另一根尺的長度.

解答：繪制圖4時(shí)空?qǐng)D，線LA、LC分別是沿x正方向運(yùn)動(dòng)尺子(尺1)兩端世界線，LB是相對(duì)尺1靜止參考系中等時(shí)線(空間軸)，尺子兩端世界線所夾LB上的長度即l0.相對(duì)另一尺子(尺2)靜止參考系中時(shí)間軸及空間軸分別為LD和LE.LA、LC所夾LE上的長度即尺2參考系中測(cè)量的尺1長度.注意到LB與LC垂直，LB、LE與x軸夾角均為η，可得

圖4 反向運(yùn)動(dòng)兩尺的時(shí)空?qǐng)D

(32)

2 其它若干問題

光多普勒效應(yīng)、光行差等是相對(duì)論的重要實(shí)驗(yàn)證據(jù).對(duì)這些效應(yīng)的討論，文獻(xiàn)中采用不同的方法[7-12].下面我們應(yīng)用時(shí)空?qǐng)D法來進(jìn)行分析.

2.1 光多普勒效應(yīng)

某參考系中測(cè)量光信號(hào)的波長，即是在此參考系同時(shí)面上測(cè)量光信號(hào)相鄰波峰所在波陣面之間的空間距離.由于同時(shí)的相對(duì)性，光源相對(duì)觀察者移動(dòng)時(shí)，測(cè)量到光波長與光源靜止時(shí)不同.同時(shí)與光波傳播方向相關(guān).下面分3種情況(光信號(hào)傳播方向與光源與觀察者相對(duì)運(yùn)動(dòng)方向平行、垂直、成夾角)分別進(jìn)行討論.

圖5 光源與光線平行時(shí)光波的多普勒效應(yīng)時(shí)空?qǐng)D

(33)

(34)

(35)

圖6 光源與光線垂直時(shí)光波的多普勒效應(yīng)時(shí)空?qǐng)D

(36)

(37)

(38)

圖7 光源與光線有夾角時(shí)光波的多普勒效應(yīng)時(shí)空?qǐng)D

(39)

(40)

(41)

當(dāng)θ取0和π/2時(shí)，結(jié)果回歸到第一、二種的平行和垂直情況.上面我們求解了多普勒效應(yīng)中的光波波長，也可以采用類似方法求解相鄰波峰到達(dá)同一空間位置時(shí)測(cè)量的光波周期.

2.2 光行差

設(shè)遠(yuǎn)處光源在S系下距離原點(diǎn)空間距離為d，與x軸夾角為θ，光線在原點(diǎn)的時(shí)空點(diǎn)到達(dá)沿著x軸正方向運(yùn)動(dòng)的觀測(cè)者.如圖8，考慮xOct平面的時(shí)空?qǐng)D，AO是光源出射光線世界線在此平面的投影.根據(jù)式(18)、(19)，有sh∠ξ=cotθ,ch∠ξ=cscθ.AC是S′系上相等x值坐標(biāo)平面在此平面的投影，OC⊥AC，sh∠OAC=cotθ′.因此得到

圖8 光行差時(shí)空?qǐng)D

(42)

2.3 運(yùn)動(dòng)平面鏡反射問題

平面鏡沿x軸運(yùn)動(dòng)，鏡面垂直運(yùn)動(dòng)方向，波長為λ0平面波與運(yùn)動(dòng)方向成夾角θ0入射，求反射光波波長及反射角.(參考文獻(xiàn)[5]第六章習(xí)題10)

圖9 光線被運(yùn)動(dòng)平面鏡反射的時(shí)空?qǐng)D

(43)

chξ=cscθ0,shξ=cotθ0

(44)

γ-2sinθ0/(1+β2+2βcosθ0)

(45)

λ=dsinθ,λ0=dsinθ0

(46)

(47)

3 結(jié)論

利用時(shí)空?qǐng)D，能夠使學(xué)生對(duì)相對(duì)論時(shí)空觀有更清晰的認(rèn)識(shí)，明確事件點(diǎn)具有絕對(duì)時(shí)空位置、相對(duì)時(shí)空坐標(biāo)的含義[19].同時(shí)，時(shí)空?qǐng)D中自然地包含了不同參考系間的洛倫茲變換規(guī)則，利用時(shí)空?qǐng)D學(xué)生不必記憶諸如洛倫茲變換、速度變換等公式，僅需要熟悉雙曲函數(shù)運(yùn)算規(guī)則，就能對(duì)相對(duì)論中的問題進(jìn)行定量分析計(jì)算.這能使學(xué)生繞開較為繁瑣的代數(shù)計(jì)算，更好地幫助他們理解其中的物理內(nèi)容.