弧面凸輪單側(cè)面加工多重包絡(luò)原理與刀位控制方法研究

尹明富 朱 洋 趙鎮(zhèn)宏 趙 帥

(天津工業(yè)大學(xué)機械工程學(xué)院，天津 300387)

0 引言

弧面分度凸輪機構(gòu)因結(jié)構(gòu)緊湊、分度精度高、動力學(xué)性能優(yōu)良等特點，在自動化機械和裝備領(lǐng)域應(yīng)用較為廣泛[1]?；∶嫱馆啓C構(gòu)由基體為圓弧回轉(zhuǎn)體的主動凸輪和裝有滾子的從動盤構(gòu)成。該機構(gòu)運轉(zhuǎn)平穩(wěn)，與其他間歇機構(gòu)相比，其噪聲和振動都較小，故多用于高速機床、包裝機和多色印刷機上[2-5]。

目前，弧面凸輪加工可分為兩大類[6]：第1類是等徑加工法，即采用與滾子尺寸相同的刀具，使刀具與工件再現(xiàn)機構(gòu)嚙合運動，從而進行弧面分度凸輪的加工。加工時除常規(guī)的三軸聯(lián)動外，還需要工件旋轉(zhuǎn)與刀具擺動，一般采用五軸數(shù)控機床[7]。這種方法運算簡單、容易實現(xiàn)、沒有理論誤差[8-9]，但由于需要特質(zhì)刀具，故適用范圍小，而且刀具在加工過程中產(chǎn)生的磨損會直接影響凸輪的廓面精度。在實際加工過程中，凸輪槽逆銑一側(cè)的表面加工質(zhì)量差，也降低了機構(gòu)精度[10-12]。第2類是非等徑加工方法。非等徑加工方法一般分為3種：①使用端面銑刀或者球銑刀進行點位加工的仿自由曲面法，這種方法將凸輪廓面視為空間自由曲面，加工后機構(gòu)失去包絡(luò)性質(zhì)，而且效率低、精度低。②兩重包絡(luò)法，其優(yōu)點是刀具半徑可選范圍較大，理論誤差為零，但需要處理的數(shù)據(jù)量大，加工效率不高[13-15]。③刀位補償法，使刀具通過一定的補償方法與凸輪再現(xiàn)機構(gòu)嚙合運動，從而進行工件加工，該方法加工速度快，刀徑可選擇范圍大[16-17]。

基于上述加工方法，研究既滿足相應(yīng)工藝精度要求同時又具有良好經(jīng)濟性的加工方法具有重要意義和應(yīng)用價值。本文提出單側(cè)面加工多重原理，并進行實例仿真計算和分析，以驗證方法的有效性。

1 弧面凸輪理論廓面方程

建立圖1所示的弧面分度凸輪坐標(biāo)系，其中oxyz為固定坐標(biāo)系，與機架固結(jié)；o1x1y1z1和o2x2y2z2為動坐標(biāo)系，分別與凸輪和從動件固結(jié)。

利用空間嚙合原理和旋轉(zhuǎn)變換矩陣[18]推導(dǎo)出弧面凸輪的理論工作廓面為

(1)

凸輪機構(gòu)嚙合方程為

(2)

式中a——中心距φ1——凸輪角位移

φ2——從動件角位移

h——任意截面到滾子內(nèi)側(cè)端面的距離

h0——滾子內(nèi)側(cè)端面到從動盤回轉(zhuǎn)中心的距離

r——滾子半徑

β——凸輪上廓面理論接觸角

2 單側(cè)面加工多重包絡(luò)原理

由于缺乏整體性導(dǎo)致單側(cè)面加工凸輪廓面誤差較大[19]，影響廓面的整體加工精度；本文提出的單側(cè)面加工多重包絡(luò)原理通過多次分析實際接觸線和理論接觸線的位置關(guān)系，保證加工后的廓面誤差最小，使得加工精度進一步提高。

如圖2所示，一重包絡(luò)加工后通過分析凸輪廓面法向最大誤差以確定二重包絡(luò)加工時非等徑刀具位置，二重包絡(luò)后再次分析凸輪廓面法向最大誤差以確定三重包絡(luò)加工時非等徑刀具位置；通過多次改變非等徑刀具位置來實現(xiàn)弧面分度凸輪的多重包絡(luò)加工。

2.1 多重包絡(luò)刀位補償

弧面凸輪廓面和滾子的理論接觸線在停歇段時為直線，其他位置時均為圖3所示的空間曲線MN[20-21]，且隨著機構(gòu)的運動，嚙合點的變化，MN也隨之改變；同理將刀具與凸輪加工廓面相互接觸的空間曲線PQ稱為實際接觸線。

由圖3可看出，無論怎樣調(diào)整刀具位置都無法使得兩曲線完全重合，肯定會存在理論誤差[22]，若使刀具的中心始終位于滾子寬度一半(H/2)的接觸角β0上，且刀具中心與滾子理論中心相距ΔR(ΔR=r-rt)，這樣雖然兩條空間曲線MN和PQ仍在不同柱面上，但在滾子接觸長度一半處兩曲線相切于點A，此時在切點A處凸輪的廓面法向誤差為Δna=0，兩接觸線彼此之間的距離最近，誤差最小[23]。

通過這種刀位補償法即可實現(xiàn)廓面誤差最小的目的，同時這種方法使得誤差補償方向固定，并且有效地避免了廓面誤差分布的不規(guī)律性[24]，圖4為刀具與滾子相互位置關(guān)系，ot為刀具中心。

由于一重包絡(luò)加工使得滾子接觸長度一半處凸輪廓面法向誤差為零，但是在滾子兩端處誤差較大。因此二重包絡(luò)時使刀具中心始終位于滾子寬度1/4(H/4)的接觸角β1上，且刀具中心與滾子理論中心相距ΔR，此時在滾子接觸長度四分之一處兩接觸線相切于點B，且在切點B處凸輪的廓面法向誤差Δnb=0，如圖5所示。

三重包絡(luò)時將刀具中心置于滾子寬度四分之三(3H/4)的接觸角β2上，且刀具中心與滾子理論中心相距ΔR，此時在滾子接觸長度四分之三處兩接觸線相切于點C，且在切點C處凸輪廓面法向誤差Δnc=0，如圖6所示；通過多重包絡(luò)加工使得滾子兩端處誤差得到有效減小，提高了弧面分度凸輪的整體精度。

2.2 多重包絡(luò)刀位控制

一重包絡(luò)加工時在中心距、從動件運動規(guī)律等參數(shù)不變的情況下，將刀具中心ot置于滾子接觸長度一半(H/2)的接觸角β0上，且與滾子中心ot相距ΔR，如圖7所示。

此時在o2x2y2z2坐標(biāo)系中，刀具任意截面(h+h0)內(nèi)，刀具與凸輪嚙合點M的矢徑為

(3)

式中βp——凸輪與滾子實際接觸角

此時弧面凸輪實際工作廓面為

(4)

其中

(5)

二重包絡(luò)時各參數(shù)不變，將刀具中心ot置于滾子接觸長度1/4(H/4)的接觸角β1上，且與滾子中心o2相距ΔR，如圖8所示。

此時在o2x2y2z2坐標(biāo)系中，刀具任意截面(h+h0)內(nèi)，刀具與凸輪嚙合點M的矢徑為

(6)

弧面凸輪的實際工作廓面為

(7)

其中

(8)

三重包絡(luò)時各參數(shù)保持不變，將刀具中心ot置于滾子寬度3/4(3H/4)的接觸角β2上，且與滾子中心ot相距ΔR，如圖9所示。

此時在o2x2y2z2坐標(biāo)系中，刀具任意截面(h+h0)內(nèi)，刀具與凸輪嚙合點M的矢徑為

(9)

弧面凸輪的實際工作廓面為

(10)

其中

(11)

3 弧面凸輪廓面法向誤差模型

理想情況下凸輪廓面與加工后凸輪的實際廓面之間的對比即法向誤差模型，對比每一刻的刀具切削線與理想接觸線，即實際廓面與理論廓面的法向誤差[25-26]。

如圖10所示，過實際工作廓面上的一點m作法線，與理論工作廓面交于點n，Δn為凸輪廓面的法向誤差。

在定坐標(biāo)oxyz中，過點m的單位法向矢量為

(12)

在o1x1y1z1中該法線矢量為

nm1=M10+nm0

(13)

式中M10——定坐標(biāo)系oxyz到動坐標(biāo)系o1x1y1z1的交換矩陣

過點m的法線方程為

(14)

由凸輪廓面形成原理可知，實際工作廓面中點m處于嚙合狀態(tài)時,理論工作輪廓上的點n尚未處于或已經(jīng)越過嚙合狀態(tài)，未知量為參數(shù)φ1及h。

聯(lián)立式(1)、(14)可得一組非線性方程，使用牛頓迭代法求解[27]。

將求解的法線交點n所對應(yīng)的φn及hn代入式(1)可得交點n的坐標(biāo)值，其法向誤差為

(15)

4 計算實例

現(xiàn)加工一右旋蝸形凸輪，其滾子半徑r=20 mm，中心距a=180 mm，滾子內(nèi)側(cè)端面到從動盤回轉(zhuǎn)中心的距離h0=20 mm，滾子寬度H=20 mm，加工刀具半徑rt=17 mm，運動規(guī)律為修正正弦加速運動規(guī)律。

刀具半徑補償ΔR=3 mm時，一重包絡(luò)加工后凸輪廓面法向誤差為Δn1，分布見圖11。若使用等徑法加工，令其加工后凸輪廓面法向誤差為Δn0，由于刀具的誤差對凸輪廓面法向誤差的影響是1∶1，則凸輪廓面任意位置的法向誤差Δn0=ΔR=3 mm，而一重包絡(luò)加工后，凸輪廓面法向誤差在滾子接觸長度一半處(H/2)為零，其兩端誤差較大；且法向誤差在滾子中點兩側(cè)規(guī)律分布。

二重包絡(luò)加工后的凸輪廓面法向誤差為Δn2，如圖12所示，相較于一重包絡(luò)而言二重包絡(luò)大大降低了凸輪廓面一端的誤差，且在滾子接觸1/4(H/4)處誤差為零。

三重包絡(luò)加工后凸輪廓面法向誤差為Δn3，如圖13所示，可以看出經(jīng)過三重包絡(luò)加工后凸輪廓面最大法向誤差Δn3max=0.002 712 mm，且在滾子接觸長度3/4(3H/4)處法向誤差為0。

綜合分析可得，利用本文所提出的多重包絡(luò)原理可顯著減小凸輪廓面法向誤差，減小刀具對凸輪廓面的影響，提高弧面凸輪的加工精度。

5 結(jié)束語

通過對刀位補償法存在問題進行分析，根據(jù)接觸線關(guān)系提出了單側(cè)面加工多重包絡(luò)原理，利用該原理可以顯著減小凸輪廓面法向誤差，降低刀具誤差對凸輪廓面法向誤差的影響，使加工誤差更小，加工效果更為理想。由于弧面凸輪定位段處滾子與凸輪廓面的接觸線為直線，因此定位段處凸輪廓面沒有法向誤差，機構(gòu)分度精度和定位精度得到有效保障。