弧面凸輪行星減速機(jī)構(gòu)內(nèi)外弧面凸輪包角的分析與優(yōu)化

張艷華, 曹巨江, 劉言松, 龔 琰

(陜西科技大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院， 陜西 西安 710021)

0 引言

弧面凸輪行星減速機(jī)構(gòu)在很多文獻(xiàn)中亦被稱為超環(huán)面行星蝸桿傳動機(jī)構(gòu).弧面凸輪行星減速機(jī)構(gòu)具有體積小、傳動效率高和承載能力大的優(yōu)點(diǎn)，在車輛、軍事、以及航天領(lǐng)域具有潛在的應(yīng)用前景[1].該機(jī)構(gòu)主要由外弧面凸輪、內(nèi)弧面凸輪、行星輪和行星架四個部分組成，如圖1所示.外弧面凸輪形似中心蝸桿，與行星輪外嚙合，是原動件.內(nèi)弧面凸輪與行星輪內(nèi)嚙合.行星輪與內(nèi)、外弧面凸輪同時嚙合，是機(jī)構(gòu)動力的傳輸構(gòu)件，多個行星輪繞外弧面凸輪軸線均勻分布，每個行星輪上有多個繞行星輪中心均勻分布的滾動齒，滾動齒的形狀一般采用滾珠齒、滾柱齒和滾錐齒.旋轉(zhuǎn)運(yùn)動由外弧面凸輪輸入，帶動固聯(lián)于行星架上的行星輪轉(zhuǎn)動，在內(nèi)弧面凸輪固定的情況下，通過內(nèi)弧面凸輪上的螺旋槽和行星輪上滾動齒的嚙合帶動行星架旋轉(zhuǎn)，從而實(shí)現(xiàn)運(yùn)動的輸出.

a:外弧面凸輪; b:內(nèi)弧面凸輪; c:行星輪; d:行星架圖1 弧面凸輪行星減速機(jī)構(gòu)

國內(nèi)外學(xué)者對其嚙合原理、加工制造和承載能力方面進(jìn)行了大量的研究.Kuehnle等[2,3]從1980年開始逐漸完成了該傳動形式的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)、載荷分布計(jì)算及定子點(diǎn)蝕等方面的研究成果.Xu L Z等[4,5]對該傳動的嚙合理論、載荷及應(yīng)力分布、摩擦潤滑、參數(shù)優(yōu)化及結(jié)構(gòu)改進(jìn)后的機(jī)電集成式超環(huán)面?zhèn)鲃拥确矫孢M(jìn)行了深入的研究.此外，姚立綱等[6-8]、Wei G等[9]、張春麗等[10]、Yang S P等[11]、劉蓓蓓等[12]還從傳動效率、結(jié)構(gòu)改進(jìn)及優(yōu)化設(shè)計(jì)、關(guān)鍵零部件的加工方法及建模方法等方面做了不同程度的研究工作.然而，目前研究工作中少有涉及該傳動有關(guān)外弧面凸輪包容行星輪的角度(簡稱外弧面凸輪包角，記為α1，如圖2所示)和內(nèi)弧面凸輪包容行星輪角度(簡稱內(nèi)弧面凸輪包角，記為α2，如圖3所示)問題的研究.這使得在設(shè)計(jì)弧面凸輪行星減速機(jī)構(gòu)時，內(nèi)、外弧面凸輪包角兩個重要參數(shù)的選擇上具有一定的盲目性.

圖2 外弧面凸輪包角 圖3 內(nèi)弧面凸輪包角

根據(jù)已公開發(fā)表文獻(xiàn)的不完全統(tǒng)計(jì)，所涉及的內(nèi)、外弧面凸輪的基本參數(shù)中，內(nèi)、外弧面凸輪包角取值多在80 °～140 °之間.弧面凸輪行星減速機(jī)構(gòu)的傳動性能與行星輪上同時參與的嚙合點(diǎn)的數(shù)目有關(guān)，而行星輪上同時參與的嚙合齒數(shù)不僅與行星輪的個數(shù)和每個行星輪上滾動齒的個數(shù)有關(guān)，還與同時嚙合的內(nèi)、外弧面凸輪的包角有關(guān).該傳動機(jī)構(gòu)的嚙合原理本質(zhì)上為弧面凸輪機(jī)構(gòu)的嚙合原理，所以本文從弧面凸輪的角度進(jìn)行研究.本文在國內(nèi)外學(xué)者工作的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步探索該機(jī)構(gòu)的傳動原理，分析了在保證傳動連續(xù)的情況下，行星輪個數(shù)及每個行星輪上滾動齒的個數(shù)與內(nèi)、外弧面凸輪包角間的關(guān)系，并通過案例仿真進(jìn)行了驗(yàn)證，為后續(xù)該傳動機(jī)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計(jì)提供了理論依據(jù).

1 傳動分析

為方便分析，對于弧面凸輪行星減速機(jī)構(gòu)引入如下參數(shù)及表示符號如表1所示.

表1 參數(shù)符號表

由文獻(xiàn)[13]可知弧面凸輪行星減速機(jī)構(gòu)相關(guān)參數(shù)間的關(guān)系.

1.1 傳動比

內(nèi)弧面凸輪固定，外弧面凸輪作為輸入構(gòu)件，行星架作為輸出構(gòu)件，則其傳動比為：

(1)

式(1)中：±-內(nèi)、外弧面凸輪螺旋線方向相同時取正，反之取負(fù).

1.2 正確嚙合條件

圖4為外弧面凸輪以喉部計(jì)算圓直徑為直徑的圓柱體展開圖；圖5為內(nèi)弧面凸輪以喉部計(jì)算圓直徑為直徑的圓柱體展開圖.

圖4 外弧面凸輪展開圖 圖5 內(nèi)弧面凸輪展開圖

弧面凸輪行星機(jī)減速機(jī)構(gòu)的正確嚙合條件方程為：

(2)

1.3 裝配條件

在設(shè)定的機(jī)構(gòu)參數(shù)中，除了保證安裝行星輪的軸孔在機(jī)加工中刀桿不干涉的情況下，行星輪的個數(shù)和內(nèi)外弧面凸輪的齒數(shù)需要滿足裝配條件,裝配關(guān)系如圖6所示.

圖6 裝配關(guān)系圖

(3)

式(3)中：N-正整數(shù)；

m>0表示內(nèi)、外弧面凸輪的螺旋線方向相同；反之m<0表示內(nèi)、外弧面凸輪的螺旋線方向相反.

在設(shè)計(jì)弧面凸輪行星減速機(jī)構(gòu)時，所需基本參數(shù)的給定中，均未涉及外弧面凸輪包角α1和內(nèi)弧面凸輪包角α2這兩個基本參數(shù)的選取原則和依據(jù).本文在上述已有關(guān)系中，推導(dǎo)了保證傳動連續(xù)的外弧面凸輪包角α1和內(nèi)弧面凸輪包角α2的最小值，并在此基礎(chǔ)上優(yōu)化了內(nèi)、外弧面凸輪包角的取值.

2 內(nèi)、外弧面凸輪包角與傳動連續(xù)間的關(guān)系

2.1 相鄰兩行星輪輪齒的相位差

m個行星輪繞外弧面凸輪中心軸線均勻分布，每個行星輪上有均布的z個滾動齒，則第i個行星輪和第i+1個行星輪同一齒的相位差為(其中，i=1,2,3,…，i+1≤m)：

行星輪與外弧面凸輪的傳動比為：

(4)

則有：

(5)

(6)

φH-行星輪上的同一滾動齒相對行星架轉(zhuǎn)過的角度.

聯(lián)立式(4)～(6)整理可得：

(7)

聯(lián)立裝配條件(2)可得：

(8)

根據(jù)上述條件，因?yàn)樽非蟠蟮膫鲃颖?，一般情況下z1=1，若要滿足上述相位角的關(guān)系和N取整數(shù)的要求，則勢必有

以m=3，z=8的行星輪為例，如圖7所示，則行星輪沿周向疊加后，其上滾動齒的分布規(guī)律如圖8所示.

圖7 行星輪示意圖

圖8 滾動齒分布規(guī)律圖(綠色代表輪1；紅色代表輪2；藍(lán)色代表輪3)

2.2 連續(xù)傳動條件

要使弧面凸輪行星減速機(jī)構(gòu)運(yùn)動連續(xù)，則內(nèi)弧面凸輪與i個行星輪的每個輪上至少有1個滾動齒嚙合接觸，同時外弧面凸輪至少與其余(m-i)個行星輪的每個輪上至少有1個滾動齒嚙合.

2.3 α1和α2的最小值

為滿足上述條件，行星輪上滾動齒的個數(shù)最小取2，即z為正整數(shù)，且z≥2.行星輪的個數(shù)m為正整數(shù).

(1)當(dāng)m=1， 該情況較為特殊，這時唯一的行星輪上需要有滾動齒同時與內(nèi)、外弧面凸輪嚙合，所以此時蝸桿包角α1和超環(huán)面包角α2關(guān)系有：

(9)

該種情況理論上分析存在，但實(shí)際結(jié)構(gòu)中由于只存在一個行星輪，將導(dǎo)致偏載現(xiàn)象嚴(yán)重，所以實(shí)際設(shè)計(jì)中不便于采用.

(2)當(dāng)m=2時，這時同一個星輪上必有一個滾動齒，要么與外弧面凸輪嚙合，要么與內(nèi)弧面凸輪嚙合，位于行星輪兩側(cè)的內(nèi)、外弧面凸輪其包角關(guān)系有：

(10)

此時，若內(nèi)、外弧面凸輪包角均取最小值，則該傳動機(jī)構(gòu)中，共有2個點(diǎn)參與嚙合，即一個行星輪上的一個滾動齒與外弧面圖輪嚙合，另一個行星輪上的滾動齒恰與內(nèi)弧面凸輪嚙合.換言之，若想傳動連續(xù)，所有行星輪上至少有2個點(diǎn)參與嚙合，一個點(diǎn)與內(nèi)弧面凸輪嚙合，一個點(diǎn)與外弧面凸輪嚙合.

(3)當(dāng)m≥3時，內(nèi)、外弧面凸輪包角關(guān)系同上述(2)中關(guān)系，即：

(11)

由上述分析可見，在行星輪上滾動齒個數(shù)z不變的情況下，內(nèi)、外弧面凸輪包角之和的最小值將不發(fā)生改變，在包角之和最小值不變的情況下，當(dāng)行星輪個數(shù)增加，嚙合過程中將會有多余的嚙合點(diǎn)(主要起均布載荷的作用).在內(nèi)、外弧面凸輪包角均取最小值的情況下，冗余嚙合齒數(shù)為m-2.

3 內(nèi)、外弧面凸輪包角的優(yōu)化

弧面凸輪行星減速機(jī)構(gòu)作為一種高效能的空間嚙合傳動機(jī)構(gòu)，所以在運(yùn)行過程中，應(yīng)盡可能的增加參與的嚙合齒數(shù).弧面凸輪行星減速機(jī)構(gòu)運(yùn)行過程中，外弧面凸輪、內(nèi)弧面凸輪和多個行星輪上的滾動齒共同參與嚙合，參與嚙合的齒數(shù)隨著行星輪轉(zhuǎn)角和內(nèi)、外弧面凸輪包角的改變而改變，所以考慮到運(yùn)行過程中傳遞動力的穩(wěn)定性，應(yīng)保持嚙合狀態(tài)的滾動齒的總對數(shù)恒定.在其它參數(shù)確定的情況下，增大內(nèi)、外弧面凸輪的包角可以增加參與嚙合的行星輪滾動齒數(shù)，從而增加嚙合齒數(shù).若內(nèi)、外弧面凸輪包角恰好是內(nèi)、外弧面包角最小值的整數(shù)倍時，在該機(jī)構(gòu)運(yùn)行過程中，當(dāng)一個行星輪上的滾動齒脫離內(nèi)、外弧面凸輪包角時，后續(xù)行星輪的滾動齒恰好進(jìn)入內(nèi)、外弧面凸輪的包角內(nèi)參與嚙合，所以，整個運(yùn)行過程中，參與嚙合的行星輪滾動齒總對數(shù)既不增加，也不減少，保持恒定.即，外弧面凸輪包角和內(nèi)弧面凸輪包角在保證上述條件的情況下，還應(yīng)該滿足：

(12)

(13)

式(13)中：n為正整數(shù).

4 驗(yàn)證分析

針對上述分析，根據(jù)空間嚙合及裝配關(guān)系，選取弧面凸輪行星減速機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)參數(shù)，并對其進(jìn)行仿真計(jì)算分析.基本結(jié)構(gòu)參數(shù)如表2所示.

表2 基本結(jié)構(gòu)參數(shù)表

按照外、內(nèi)弧面凸輪包角與傳動連續(xù)間的關(guān)系可知，此時外、內(nèi)兩弧面凸輪的包角的最小值為：

(α1+α2)min=60 °

且α1min≥12 °,α2min≥12 °

按上述分析，在滿足內(nèi)、外弧面凸輪包角最小取值的條件下，考慮到機(jī)構(gòu)傳動的平穩(wěn)性和高效性，內(nèi)、外弧面凸輪包角可取120 °、108 °、96 °和84 °.在內(nèi)、外弧面凸輪不同包角的情況下，嚙合點(diǎn)總數(shù)隨行星輪位置角度的變化規(guī)律如圖9所示.

(a)外弧面凸輪上嚙合點(diǎn)總數(shù)變化規(guī)律

(b)內(nèi)弧面凸輪上嚙合點(diǎn)總數(shù)變化規(guī)律圖9 嚙合點(diǎn)總數(shù)隨行星輪位置角度的變化規(guī)律

由圖9可以看出，在行星輪齒數(shù)一定的情況下，隨著內(nèi)、外弧面凸輪包角的不同，行星輪分別于內(nèi)、外弧面凸輪的嚙合總齒數(shù)也不相同，嚙合總齒數(shù)隨內(nèi)、外弧面凸輪包角的增大而增加.在內(nèi)、外弧面凸輪包角合理的取值下，行星輪與內(nèi)、外弧面凸輪的嚙合總齒數(shù)始終為整數(shù)，并且嚙合總齒數(shù)個數(shù)的多少可以通過包角的大小進(jìn)行控制.

隨著內(nèi)、外弧面凸輪包角的不同，單個行星輪參與嚙合的齒數(shù)各不相同，以單個行星輪來看，每半個運(yùn)動周期中，參與嚙合齒數(shù)的變化規(guī)律如圖10所示.

(a)內(nèi)、外弧面凸輪包角為120 °時

(b)內(nèi)、外弧面凸輪包角為108 °時

(c)內(nèi)、外弧面凸輪包角為96 °時

(d)內(nèi)、外弧面凸輪包角為84 °時圖10 不同包角下嚙合點(diǎn)的變化規(guī)律

由圖10可得，當(dāng)行星輪齒數(shù)一定，而內(nèi)、外弧面凸輪包角的不同時，所有行星輪參與嚙合的總齒數(shù)不變，但是就單個行星輪而言，參與嚙合的齒數(shù)隨內(nèi)、外弧面凸輪包角的增加而增多，并且，在嚙合齒數(shù)相同的情況下，隨包角的增大，參與多點(diǎn)嚙合的時間增長.

由圖9和圖10綜合可得，兼顧單個行星輪參與嚙合的周期數(shù)和所有行星輪參與嚙合的滾動齒總數(shù)，內(nèi)、外弧面凸輪包角均取120 °為佳.此時，不僅內(nèi)、外弧面與所有行星輪嚙合的總齒數(shù)恒定，并且就單個行星輪而言，參與嚙合的齒數(shù)也為定值，這就使得弧面凸輪行星減速機(jī)構(gòu)運(yùn)行過程中，不存在多齒和少齒的變化，能有效減小輸出動力的波動性.

5 結(jié)論

本文針對弧面凸輪行星減速機(jī)構(gòu)傳動特性進(jìn)行分析，在保證運(yùn)動連續(xù)的情況下，通過對內(nèi)外弧面凸輪包角的計(jì)算分析和仿真結(jié)果，得到了如下結(jié)論：

(1)當(dāng)行星輪上滾動齒的個數(shù)z一定時，內(nèi)、外弧面凸輪包角之和的最小值為定值，不會因?yàn)樾行禽喌膫€數(shù)m的增加而減小.但是，內(nèi)、外弧面凸輪包角的可以取的最小值會隨行星輪個數(shù)m的增加而減小.

(2)當(dāng)在內(nèi)、外弧面凸輪包角取值最小時，傳動過程中的嚙合齒數(shù)最小為2，隨著行星輪個數(shù)的增加，多余嚙合齒數(shù)為m-2.

綜上所述，在設(shè)計(jì)行星輪系弧面凸輪傳動機(jī)構(gòu)時，除應(yīng)充分考慮其傳動比、嚙合條件和安裝條件外，為保證動力傳遞的連續(xù)性和穩(wěn)定性，還應(yīng)兼顧考慮內(nèi)、外弧面凸輪包角和行星輪個數(shù)及每個行星輪上滾動齒的個數(shù)間的關(guān)系.上述結(jié)論為后續(xù)弧面凸輪行星減速機(jī)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計(jì)提供了理論依據(jù).