1T2R并聯(lián)機構(gòu)拓?fù)浣雕钤O(shè)計與運動性能分析

沈惠平 王 達 李 菊 孟慶梅

(常州大學(xué)現(xiàn)代機構(gòu)學(xué)研究中心，常州 213016)

0 引言

三自由度的一平移兩轉(zhuǎn)動(1T2R)并聯(lián)機構(gòu)具有制造方便、靈活性好、精度易保證等優(yōu)點，目前仍是國內(nèi)外學(xué)者的研究熱點之一。SONG等[1]運用基于共形幾何代數(shù)的型綜合方法，綜合了一類一平移兩轉(zhuǎn)動(1T2R)并聯(lián)機構(gòu)；汪滿新等[2]研究了基于UP和UPR-SPR型等效運動的1T2R并聯(lián)機構(gòu)的拓?fù)渚C合方法；房立豐等[3]以一平移兩轉(zhuǎn)動并聯(lián)穩(wěn)定平臺為例，研究了少自由度并聯(lián)穩(wěn)定平臺拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)設(shè)計方法；ENRIQUE等[4]對3-CUP的1T2R并聯(lián)機構(gòu)進行了運動學(xué)分析；HUSSEIN等[5]對3-CRC的1T2R并聯(lián)機構(gòu)進行了運動學(xué)分析；SUNG等[6]對具有封閉型正解的1T2R并聯(lián)機構(gòu)進行了運動學(xué)分析；SUN等[7]研究了含有限運動與寄生運動的并聯(lián)機構(gòu)拓?fù)渚C合問題；CHEN等[8]研究了無寄生運動的3-PRRU的1T2R并聯(lián)機器人的動力學(xué)建模和性能；GAN等[9]提出基于可重構(gòu)原理可在一平移兩轉(zhuǎn)動(1T2R)運動與純旋轉(zhuǎn)(3R)兩種工作運動模式之間實現(xiàn)可重構(gòu)性；ALI等[10]利用高速艇的運動模擬器(HSB)，提出了一種新型的1T2R并聯(lián)機構(gòu)；SAIOA等[11-12]分析了2-PRU+1-PRS的1T2R并聯(lián)機構(gòu)的運動學(xué)、奇異性和動力學(xué)問題；JOSé等[13]對具有實時力/位置控制的1T2R型康復(fù)醫(yī)療并聯(lián)機器人進行了模擬實驗；XIE等[14]提出基于1T2R并聯(lián)機構(gòu)的兩種新型鉸接刀頭，以用作模塊化加工單元；車林仙等[15]采用智能算法求解了一平移兩轉(zhuǎn)動2-PUR+1-PSR并聯(lián)機構(gòu)的尺度參數(shù)優(yōu)化設(shè)計問題；CHONG等[16]研究了3-RCU的1T2R并聯(lián)機構(gòu)的運動學(xué)優(yōu)化問題。LIU等[17]研究了具有解析解的1T2R并聯(lián)機構(gòu)的類型綜合。

求解并聯(lián)機構(gòu)的位置正解一般采用數(shù)值法和解析法，但較少考慮機構(gòu)拓?fù)涮匦耘c運動學(xué)性能之間的關(guān)系。沈惠平等[18]提出按耦合度κ分類求解并聯(lián)機構(gòu)位置正解的方法，對κ為0的并聯(lián)機構(gòu)直接求解其符號式位置正解，對κ不為0的并聯(lián)機構(gòu)可用數(shù)值法求解其位置正解。文獻[19-23]提出低耦合度(或零耦合度)且具有運動解耦性的少自由度并聯(lián)機構(gòu)，并求解了其符號式位置正反解，分析了機構(gòu)運動學(xué)性能。

本文根據(jù)基于方位特征(Position and orientation characteristic，POC)方程的并聯(lián)機構(gòu)拓?fù)湓O(shè)計理論[24]，設(shè)計一種一平移兩轉(zhuǎn)動并聯(lián)機構(gòu)，因該機構(gòu)耦合度為1，得不到符號式位置正解，故對其進行降耦優(yōu)化設(shè)計[25]，得到一種零耦合度的一平移兩轉(zhuǎn)動并聯(lián)機構(gòu)，并對其符號式位置正反解、奇異位形及其工作空間進行計算和分析。

1 機構(gòu)設(shè)計及拓?fù)浞治?/h2>

1.1 機構(gòu)設(shè)計

1.1.1POC集計算

機構(gòu)POC方程[24]為

(1)

(2)

式中MJi——第i個運動副的POC集

Mbi——第i條支鏈末端的POC集

Mpa——機構(gòu)動平臺的POC集

1.1.2支鏈設(shè)計

(1)支鏈POC集確定

支鏈末端滿足Mpa的POC集Mbi可取為

(2)支鏈數(shù)目確定

一般情況下，支鏈數(shù)目應(yīng)該等于并聯(lián)機構(gòu)自由度數(shù)，故設(shè)計該機構(gòu)支鏈數(shù)目為3。

(3)支鏈拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)綜合

每條支鏈可有1個驅(qū)動副，為實現(xiàn)動平臺長距離的移動，故設(shè)計每條支鏈的驅(qū)動副為P副，并在平行的導(dǎo)軌上。

第Ⅰ條支鏈可設(shè)計為方位特征支鏈[25]，即其末端構(gòu)件的POC集為動平臺的Mpa，即在滿足第Ⅰ條支鏈能實現(xiàn)一平移兩轉(zhuǎn)動的同時，盡可能使其拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)簡單。由式(2)可知，在P副的基礎(chǔ)上串聯(lián)2個軸線垂直的R副，故第Ⅰ條支鏈的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)可設(shè)計為

SOCⅠ:{P⊥R⊥R}

SOCi:{P-S-S}(i=Ⅱ，Ⅲ)

1.1.3機構(gòu)構(gòu)成

根據(jù)支鏈的幾何布置規(guī)則，設(shè)計的一平移兩轉(zhuǎn)動(1T2R)并聯(lián)機構(gòu)如圖1所示，該機構(gòu)由動平臺1、靜平臺0，以及3條支鏈(Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ)構(gòu)成。Ⅰ支鏈為方位特征支鏈P31⊥R32⊥R33，P31軸線與P11軸線平行，R32軸線始終與靜平臺0平面平行；Ⅱ、Ⅲ支鏈均為Pi1-Si2-Si3(i=1，2)無約束支鏈，其移動副P11和P21軸線共線。

1.2 機構(gòu)拓?fù)浞治?/h3>

1.2.1機構(gòu)POC集驗證

(1)支鏈拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)分別為

SOCⅠ:{P31⊥R32⊥R33}

SOCⅡ:{P11-S12-S13}

SOCⅢ:{P21-S22-S23}

(2)選取動平臺1上任一點為基點O′。

(3)確定支鏈末端構(gòu)件的POC集。

由式(1)、(2)得支鏈末端構(gòu)件POC集分別為

(4)確定動平臺的POC集，由式(2)得

Mpa=MbⅠ∩MbⅡ∩MbⅢ=

因此，動平臺1具有沿P31軸線一維平移以及繞轉(zhuǎn)動副R32和R33軸線兩維轉(zhuǎn)動的輸出特性。

1.2.2機構(gòu)自由度

并聯(lián)機構(gòu)全周DOF公式[24]為

(3)

(4)

v=m-n+1

式中F——機構(gòu)自由度

fi——第i個運動副的自由度

m——運動副數(shù)

v——獨立回路數(shù)n——構(gòu)件數(shù)

ξLj——第j個獨立回路的獨立位移方程數(shù)

Mb(j+1)——前j+1條支鏈末端構(gòu)件的POC集

由第Ⅰ、Ⅱ支鏈構(gòu)成的第1回路(即子并聯(lián)機構(gòu))的獨立位移方程數(shù)為

該子并聯(lián)機構(gòu)自由度為

該子并聯(lián)機構(gòu)的POC集為

Mpa(Ⅰ-Ⅱ)=MbⅠ∩MbⅡ=

由上述子并聯(lián)機構(gòu)和支鏈Ⅲ構(gòu)成第2回路的獨立位移方程數(shù)為

機構(gòu)自由度為

故當(dāng)取靜平臺0的3個移動副P11、P21、P31為驅(qū)動副時，動平臺1可實現(xiàn)沿P31軸線的一維平移以及繞轉(zhuǎn)動副R32和R33軸線的兩維轉(zhuǎn)動。

1.2.3機構(gòu)耦合度

由基于序單開鏈[24](Single-open-chain，SOC)的機構(gòu)組成原理可知，任一機構(gòu)可分解為約束度為正、零、負(fù)的3種有序單開鏈(SOC)，第j個SOCj的約束度定義為

(5)

式中mj——第j個SOCj的運動副數(shù)

Ij——第j個SOCj的驅(qū)動副數(shù)

進一步，一組有序的v個SOC可組成1個獨立回路數(shù)為v的(最小)子運動鏈[24](Sub-kinematics chain，SKC)，SKC耦合度為

(6)

在1.2.2節(jié)，已計算出2個回路的獨立位移方程數(shù)，即ξL1=6，ξL2=6。因此，由式(5)可得，它們的約束度分別為

顯然，由第1、2回路構(gòu)成1個SKC，由式(6)得，該SKC耦合度為

即該機構(gòu)只包含1個SKC，其耦合度κ=1，表明在位置正解求解時，需要在約束度為正值(Δ1=1)的回路上設(shè)置1個虛擬變量，而在約束度為負(fù)值(Δ2=-1)的回路上，建立1個含該虛擬變量的約束方程，可用一維搜索法求其數(shù)值型位置正解；但數(shù)值型位置正解不利于后續(xù)的誤差分析、軌跡規(guī)劃和運動控制，以及動力學(xué)分析。

因此，可對該機構(gòu)進行拓?fù)浣雕钤O(shè)計，以使該機構(gòu)在保持基本功能(DOF、POC)不變的情況下，具有符號式位置正解。

1.3 機構(gòu)降耦設(shè)計及其拓?fù)浞治?/h3>

根據(jù)機構(gòu)拓?fù)浣雕钤O(shè)計方法[25]中的“轉(zhuǎn)動副/球副重合法”，將圖1所示機構(gòu)中支鏈Ⅱ、Ⅲ中的球副S13、S23合并，但考慮雙重球副制造的不方便性，可將S13移至支鏈Ⅲ上，得到的改進機構(gòu)如圖2所示，即可保持機構(gòu)基本功能(DOF、POC)不變，而使其耦合度從1降到0。

此時，支鏈Ⅱ、Ⅲ組合成為一復(fù)雜支鏈(子并聯(lián)機構(gòu))，可知，其仍為無約束支鏈；同時，方位特征支鏈Ⅰ不變。因此，根據(jù)1.2節(jié)中所述的拓?fù)浞治霾襟E知，機構(gòu)降耦后的POC集、自由度并未發(fā)生改變，即：

第1回路{P11-S12-S13-S22-P21}，顯然ξL1=6，其約束度為

式中，-3是指應(yīng)扣除繞S12S13、S13S22及S12S22連線的3個局部轉(zhuǎn)動自由度；但繞S12S22連線的局部轉(zhuǎn)動自由度，應(yīng)計入第2回路的約束度計算中。

第2回路{RS12S22-S23-R33-R32-P31}，顯然，ξL2=6，其約束度為

可知，根據(jù)子運動鏈(SKC)的劃分原則[24]，第1、2回路分別構(gòu)成SKC1、SKC2，它們耦合度均為零，即κ1=κ2=0，因此，該并聯(lián)機構(gòu)耦合度為零，其位置正解易求出。

2 機構(gòu)位置分析

2.1 基于拓?fù)涮卣鞯臋C構(gòu)位置正解求解原理

由基于有序單開鏈(SOC)的機構(gòu)組成原理[24]可知，降耦后的機構(gòu)包含2個SKC，每個SKC可分解為一系列約束度分別為正值、零、負(fù)值的單開鏈回路，因此，該機構(gòu)位置正解的求解，可轉(zhuǎn)換為這兩個SKC內(nèi)所含單開鏈的位置求解。對本機構(gòu)而言，SKC內(nèi)僅有約束度為零的單開鏈，其運動位置具有確定性，因此，其位置正解能獨立求解。

2.2 坐標(biāo)系建立及參數(shù)標(biāo)注

機構(gòu)運動學(xué)建模如圖3所示，設(shè)靜平臺0為長方形，其寬lOI為a，長為任意正實數(shù)，動平臺1上lGF=b。設(shè)靜平臺0上的點O為靜坐標(biāo)系OXYZ原點，X軸沿OC方向，Y軸沿OI方向，Z軸由右手螺旋法則確定；動平臺1上點O′為動坐標(biāo)系O′X′Y′Z′原點，其X′軸沿O′M方向，Y′軸沿FO′方向，Z′軸由右手螺旋法則確定。

點O′與點G重合，AB、CD、GH都垂直于靜平臺0平面，△EBD的中線EJ與靜平臺0平面夾角為δ。設(shè)動平臺1繞OX、OY軸正方向轉(zhuǎn)動的角度分別為α、β；設(shè)lAB=lCD=d，lBE=lDE=e，lEF=f，lGH=h，并令lFD/lED=(f+e)/e=k0；設(shè)3個驅(qū)動副輸入分別為lOA=l1、lOC=l2、lIH=l3。

2.3 位置正解求解

已知：3個移動副的位置分別為l1、l2、l3，求：動平臺上O′=(x,y,z)及轉(zhuǎn)角α和β。

2.3.1SKC1位置求解

第1回路A-B-E-D-C中，各點坐標(biāo)為A=(l1,0,0)，B=(l1,0,d)，C=(l2,0,0)，D=(l2,0,d)。由lEB=lED的幾何關(guān)系，易求得點E坐標(biāo)為

2.3.2SKC2位置求解

第2回路F-G-H中，各點的坐標(biāo)為G=O′=(l3,a,h)，H=(l3,a,0)，由lFD/lED=k0，得

(7)

由桿長約束條件lFG=b,整理并解得

{l3-[k0l1+(2-k0)l2]/2}2

因動坐標(biāo)系中點F在靜坐標(biāo)系OXYZ中的坐標(biāo)為

其中

式中Q——動坐標(biāo)系到靜坐標(biāo)系的變換矩陣

解得

(8)

由式(7)、(8)求出動平臺姿態(tài)角α、β、O′(x,y,z)及動平臺上任一點的位置。

2.4 位置反解求解

機構(gòu)位置逆解為：已知動平臺1的轉(zhuǎn)角α、β及O′(x,y,z)，求l1、l2、l3。

由式(8)可得

(9)

從而得點E坐標(biāo)為

由lBE=lDE=e，解得

(10)

可知，l1、l2各有2組解，故逆解數(shù)為2×2=4，故該機構(gòu)有4種構(gòu)型。

2.5 正逆解驗算

設(shè)該機構(gòu)結(jié)構(gòu)參數(shù)分別為：a=60 mm，b=20 mm，d=5 mm，e=75 mm，f=5 mm，h=45 mm。設(shè)此時3個移動副的位置分別為：l1=7.380 3 mm，l2=116.991 6 mm，l3=60.000 0 mm。

用Matlab求得機構(gòu)位置正解，如表1所示。

表1 位置正解

將表1中序號1的數(shù)值代入式(10)，用Matlab解得機構(gòu)的所有反解，如表2所示。

表2 位置反解

可見，表2中序號2組的逆解數(shù)值，與正解計算給定的3個輸入值一致。因此，正、反解公式推導(dǎo)正確。

3 機構(gòu)奇異性分析

3.1 雅可比矩陣

采用Jacobian法分析該機構(gòu)的奇異位形。將式(10)兩邊同時對時間t求導(dǎo)，得

(11)

該機構(gòu)動平臺輸出速度v1和輸入速度v2的關(guān)系為

Jpv1=Jqv2

(12)

f11=-2bsinβcosα(XE-l1)/k0+2bsinαYE/k0-

2bcosβcosα(ZE-d)/k0

f12=-2bcosβsinα(XE-l1)/k0+

2bsinβsinα(ZE-d)/k0

f13=2(XE-l1)/k0

f21=-2bsinβcosα(XE-l2)/k0+2bsinαYE/k0-

2bcosβcosα(ZE-d)/k0

f22=-2bcosβsinα(XE-l2)/k0+

2bsinβsinα(ZE-d)/k0

f23=2(XE-l2)/k0f31=0f32=0f33=1

u11=2(XE-l1)u12=(k0-1)/k0

u22=-2(XE-l2)/k0u33=1

依據(jù)Jp、Jq矩陣是否奇異，將機構(gòu)的奇異位形分為如下3類：①當(dāng)det(Jq)=0時，機構(gòu)發(fā)生輸入奇異。②當(dāng)det(Jp)=0時，機構(gòu)發(fā)生輸出奇異。③當(dāng)det(Jq)=det(Jp)=0時，機構(gòu)發(fā)生綜合奇異。

3.2 奇異位形分析

當(dāng)機構(gòu)發(fā)生輸入奇異，意味著每條支鏈靠近驅(qū)動桿的兩根桿處于折疊或完全展開狀態(tài)。此時，動平臺的自由度數(shù)減少，則有det(Jq)=0，方程解為

l1=l2

(13)

根據(jù)式(13)可知，滑塊P11和P21重合時才會發(fā)生輸入奇異，但考慮到構(gòu)件間的干涉，因此，此類奇異位形不存在。

當(dāng)機構(gòu)發(fā)生輸出奇異，意味著每條支鏈靠近動平臺的桿件處于折疊或完全展開的狀態(tài)，此時動平臺自由度數(shù)增多，即使鎖住輸入，動平臺也可能存在自由度輸出。設(shè)

若det(Jp)=0，則向量e1、e2、e3有如下2種情況：

(1)存在2個向量線性相關(guān)

若e1=ke2，滿足GF∥△EBD的條件下，機構(gòu)存在奇異位置，如圖4所示。

若e1=ke3，滿足GF∥EB的條件下，機構(gòu)存在奇異位置，如圖5所示。

若e2=ke3，滿足點G、F、D共線的條件下，機構(gòu)存在奇異位置，如圖6所示。

(2)3個向量線性相關(guān)

設(shè)e3=k1e1+k2e2(k1k2≠0)，滿足sinα=0(即FG⊥GH)的條件下，機構(gòu)存在奇異位置，如圖7所示。

當(dāng)det(Jq)=det(Jp)=0，即輸入奇異和輸出奇異同時發(fā)生，該機構(gòu)不存在綜合奇異位置。

4 基于符號式位置正解的工作空間分析

4.1 工作空間計算

并聯(lián)機構(gòu)的可達工作空間是指在考慮運動副的轉(zhuǎn)角范圍、桿長不干涉的情況下，末端執(zhí)行器的工作區(qū)域，是衡量并聯(lián)機構(gòu)性能的一個重要指標(biāo)。

傳統(tǒng)的工作空間計算是基于機構(gòu)位置反解公式，采用離散化空間的三維搜索法，即需要預(yù)先估計設(shè)定一個搜索范圍，通過Matlab軟件搜索所有滿足位置反解約束條件的點，由這些點組成的三維圖即為該機構(gòu)的工作空間。但由于預(yù)設(shè)的搜索范圍難于估計其大小，因此，計算量很大。

本文降耦優(yōu)化機構(gòu)具有符號式位置正解，因此，直接采用位置正解來計算工作空間，具有思路清晰、計算量少、工作空間邊界計算準(zhǔn)確等優(yōu)點。

當(dāng)滑塊P31固定時(取l3=60 mm)，滑塊P11、P21的活動范圍為：-20 mm≤l1≤60 mm，60 mm≤l2≤140 mm。通過Matlab軟件編程，由式(7)、(8)得到該機構(gòu)兩維轉(zhuǎn)動(2R)的工作空間，如圖8所示。

2R輸出時，工作空間在XOY、XOZ、YOZ平面上的投影圖如圖9所示。

當(dāng)3個滑塊都運動并具有不同速度時，滑塊P11、P21、P31活動范圍為：-20 mm≤l1≤60 mm，60 mm≤l2≤140 mm、60 mm≤l3≤120 mm，通過Matlab軟件編程，由式(7)、(8)得到該機構(gòu)一平移兩轉(zhuǎn)動(1T2R)的工作空間，如圖10所示(可看作是圖8所示的2R工作空間在X軸方向疊加而成)。

1T2R工作空間在XOY、XOZ、YOZ平面上的投影圖如圖11所示。

4.2 工作空間分析

采用傳統(tǒng)的、基于式(9)、(10)的方法，同樣計算出了動平臺上點F如圖8、9所示兩維轉(zhuǎn)動工作空間，以及如圖10、11所示的一平移兩轉(zhuǎn)動工作空間，但基于符號式位置正解和位置反解求解2R、1T2R工作空間的計算量不同(由程序耗時，可直觀且真實地知道計算量)；基于符號式位置正解、位置反解的程序，求得2R和1T2R工作空間的耗時，分別為7.856、129.307 s和 24.913、410.075 s，即基于符號式位置正解計算法，分別是基于位置反解的計算量的31.533%、31.532%。

由圖8、10可知，用兩種工作空間計算方法求得該機構(gòu)的工作空間完全一致。由圖10、11可知，該機構(gòu)工作空間關(guān)于z=45 mm處的XOY面部分對稱；當(dāng)z>45 mm時，工作空間隨z增大而減小，當(dāng)z≤45 mm時，工作空間隨z減小而先增后減，其形狀較為規(guī)則，且工作空間大?；诜柺轿恢谜獾墓ぷ骺臻g計算，計算極為方便，計算量約為基于位置反解工作空間計算量的31.53%，且工作空間邊界計算準(zhǔn)確。

5 結(jié)論

(1)在保持初始設(shè)計1T2R并聯(lián)機構(gòu)的POC、DOF不變的情況下，通過拓?fù)浣雕钤O(shè)計進行優(yōu)化，使其耦合度從1降為0，進而可以直接推導(dǎo)出該機構(gòu)的符號式位置正解，而不需復(fù)雜的數(shù)學(xué)消元等推導(dǎo)過程，故有利于后續(xù)的尺度綜合、誤差分析、軌跡規(guī)劃、運動控制及動力學(xué)分析。

(2)基于符號式位置正解的機構(gòu)工作空間計算法具有無需預(yù)估工作空間范圍、計算量少、工作空間邊界計算準(zhǔn)確等優(yōu)點，同時表明，該1T2R并聯(lián)機構(gòu)的工作空間大，形狀較為規(guī)則。