油氣潤(rùn)滑ECT系統(tǒng)靈敏度矩陣的秩虧問(wèn)題及其影響因素

李照威，孫啟國(guó)

(北方工業(yè)大學(xué) 機(jī)械與材料工程學(xué)院，北京 100144)

在油氣潤(rùn)滑ECT系統(tǒng)的圖像重建中，軟場(chǎng)效應(yīng)和不適定問(wèn)題仍是必須面對(duì)的問(wèn)題。

軟場(chǎng)效應(yīng)即敏感場(chǎng)靈敏度分布不均勻，靈敏度分布函數(shù)受介電分布函數(shù)的影響[1]。

不適定問(wèn)題的一般定義為：“解不連續(xù)依賴(lài)數(shù)據(jù)”，它滿(mǎn)足下述3個(gè)條件中的任何一個(gè)即稱(chēng)系統(tǒng)為不適定：①解不存在；②解不唯一；③解不穩(wěn)定[2]。筆者暫不討論條件①。條件②是指若圖像重建過(guò)程中靈敏度矩陣的秩小于待求的未知參數(shù)個(gè)數(shù)[3]，即其解不唯一，稱(chēng)該系數(shù)陣是秩虧的；而條件③是指若圖像重建過(guò)程中，由于法矩陣條件數(shù)很大(如大于1)，法矩陣的求逆會(huì)出現(xiàn)不穩(wěn)定，觀測(cè)值微小的擾動(dòng)會(huì)導(dǎo)致解的很大變化[4]，即其解不穩(wěn)定，稱(chēng)該系統(tǒng)是病態(tài)的。

近年來(lái)，針對(duì)油氣潤(rùn)滑電容層析成像的軟場(chǎng)效應(yīng)，楊健[5]對(duì)比分析了計(jì)入軟場(chǎng)效應(yīng)和忽略軟場(chǎng)效應(yīng)對(duì)ECT系統(tǒng)圖像重建產(chǎn)生的影響；針對(duì)不適定問(wèn)題，其中病態(tài)問(wèn)題的研究比較深入，如王振杰[6]在大地測(cè)量模型中重點(diǎn)討論了病態(tài)產(chǎn)生的原因、危害及其診斷方法。而目前關(guān)于油氣潤(rùn)滑ECT系統(tǒng)秩虧問(wèn)題的研究尚未檢索到相關(guān)資料。另外，以往的研究中大多忽略了系統(tǒng)圖像重建時(shí)的軟場(chǎng)效應(yīng)。本文根據(jù)油氣潤(rùn)滑ECT系統(tǒng)的實(shí)際工況，以小管徑(10mm左右)，薄油膜(約0.1mm～0.5mm)的系統(tǒng)為對(duì)象，對(duì)比了系統(tǒng)圖像重建時(shí)計(jì)入軟場(chǎng)效應(yīng)及忽略軟場(chǎng)效應(yīng)對(duì)靈敏度矩陣秩虧的影響并研究了系統(tǒng)靈敏度矩陣的影響因素。

1 研究模型

1.1 數(shù)學(xué)模型

基于靈敏場(chǎng)模型，參考文獻(xiàn)[6]，文章建立了油氣潤(rùn)滑ECT系統(tǒng)圖像重建的數(shù)學(xué)模型。電容測(cè)量值、靈敏度矩陣和兩相介電常數(shù)分布之間的關(guān)系為：

(1)

式中，Cij為極板對(duì)i、j間的電容值，ε(x，y)為油氣潤(rùn)滑管道內(nèi)介電分布函數(shù)，Sij(x，y，ε(x，y))為油氣潤(rùn)滑ECT系統(tǒng)的靈敏度分布函數(shù)。

在油氣潤(rùn)滑ECT系統(tǒng)的研究中，為了便于求解，通常忽略了軟場(chǎng)效應(yīng)，在此條件下，可將式(1)改寫(xiě)為：

(2)

式中，Sij(x，y)為忽略軟場(chǎng)效應(yīng)時(shí)油氣潤(rùn)滑ECT系統(tǒng)靈敏度分布函數(shù)。 在油氣潤(rùn)滑ECT系統(tǒng)求解靈敏度場(chǎng)是把求解區(qū)域劃分為很多像素，然后對(duì)每個(gè)像素點(diǎn)分別填充高介電常數(shù)物質(zhì)，求出其對(duì)應(yīng)的電容值變化，從而得到靈敏度矩陣。根據(jù)方程(2)，可推出極板對(duì)i-j的靈敏度分布，定義為：

k=1，2，…，p

(3)

式中，Cij(k)為管道內(nèi)第k個(gè)像素單元為高介電常數(shù)εh，其他單元都為低介電常數(shù)εI時(shí)極板對(duì)i-j間的電容值；Cijh，Cijl分別是管道內(nèi)所有像素單元的介電常數(shù)為εh和εI時(shí)極板對(duì)間的電容值，即系統(tǒng)的滿(mǎn)場(chǎng)電容值和空?qǐng)鲭娙葜?；?k)是與劃分像素單元面積元素的修正因子。

1.2 仿真模型

本文分別建立了4極板、8極板、12極板和16極板的油氣潤(rùn)滑ECT系統(tǒng)的仿真模型。圖1為8極板電容傳感器模型徑向截面圖。根據(jù)實(shí)際工況，選擇表1所示的油氣潤(rùn)滑ECT系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)作為仿真參數(shù)。

表1 電容傳感器的結(jié)構(gòu)參數(shù)

圖1 ECT系統(tǒng)的徑向截面(8極板)

2 軟場(chǎng)效應(yīng)

若在油氣潤(rùn)滑ECT系統(tǒng)中考慮軟場(chǎng)效應(yīng)，即是計(jì)入靈敏度分布函數(shù)受介電分布函數(shù)的影響[7]。

筆者將8極板油氣潤(rùn)滑ECT系統(tǒng)激勵(lì)電壓設(shè)置為5V，檢測(cè)電極的電壓設(shè)置為0，分別測(cè)量空?qǐng)龊痛嬖谟蜌饨橘|(zhì)時(shí)等勢(shì)線(xiàn)分布圖，當(dāng)單極板為激勵(lì)電極，其他極板為檢測(cè)電極時(shí)，油氣潤(rùn)滑ECT系統(tǒng)的電勢(shì)，如圖2和圖3所示。

圖2 空?qǐng)龅谒臉O板激勵(lì)下的等勢(shì)線(xiàn)

圖3 存在油氣介質(zhì)時(shí)第四極板激勵(lì)下的等勢(shì)線(xiàn)

由圖2和圖3可見(jiàn)，在油與氣的分界面，電勢(shì)值發(fā)生突變而并非均勻過(guò)度，這是由于靈敏度分布函數(shù)受介電分布函數(shù)的影響，即軟場(chǎng)效應(yīng)存在。

3 靈敏度矩陣秩虧的分析

筆者僅討論油氣潤(rùn)滑ECT系統(tǒng)在忽略和計(jì)入軟場(chǎng)效應(yīng)時(shí)極板數(shù)目、油膜厚度等系統(tǒng)參數(shù)對(duì)靈敏度矩陣秩虧的影響。

在靈敏度矩陣中，i×j矩陣的秩最大為i和j中的較小者，表示為min(i，j)，較大者表示為max(i，j)。有盡可能大的秩的矩陣被稱(chēng)為有滿(mǎn)秩，否則矩陣是秩虧的。

為了方便分析，本文定義了秩虧數(shù)N和相對(duì)秩虧率η：

N=max(i，j)-tank(S)

(4)

(5)

式中，rank(S)為矩陣S的秩數(shù)。

3.1 極板數(shù)目對(duì)秩虧的影響

在M個(gè)極板電容傳感器陣列中可得到電容組個(gè)數(shù)m如表2所示。

表2 油膜厚度0.3mm靈敏度矩陣電容組個(gè)數(shù)

以0.3mm油膜厚度為例，在忽略和計(jì)入軟場(chǎng)效應(yīng)兩種情況下分別對(duì)四種極板數(shù)條件下靈敏度矩陣的秩虧數(shù)及相對(duì)秩虧率進(jìn)行分析，其變化如圖4和圖5所示。

圖4 不同極板數(shù)下的秩虧數(shù)

圖5 不同極板數(shù)下的相對(duì)秩虧率

由圖4和圖5可知，忽略和計(jì)入軟場(chǎng)效應(yīng)在不同極板數(shù)下的靈敏度矩陣都出現(xiàn)了秩虧問(wèn)題，不同極板數(shù)下考慮軟場(chǎng)效應(yīng)的靈敏度矩陣秩虧數(shù)均低于忽略軟場(chǎng)效應(yīng)的秩虧數(shù)，如4極板時(shí)，考慮軟場(chǎng)效應(yīng)比忽略軟場(chǎng)效應(yīng)的秩虧數(shù)減小了15.3%。另外，靈敏度矩陣的秩虧數(shù)和相對(duì)秩虧率與檢測(cè)極板數(shù)有關(guān)，靈敏度矩陣的秩虧數(shù)隨著極板數(shù)的增多而減少，相對(duì)秩虧率隨著極板數(shù)的增多而減小，如忽略軟場(chǎng)效應(yīng)時(shí)，4極板增至8極板，秩虧數(shù)減少了24.5%，即增加檢測(cè)極板數(shù)可以有效增加電容組個(gè)數(shù)，減小靈敏度矩陣秩虧數(shù)。

分析可得，在油氣潤(rùn)滑ECT系統(tǒng)中，軟場(chǎng)效應(yīng)影響油氣潤(rùn)滑ECT系統(tǒng)圖像重建時(shí)靈敏度矩陣的秩虧數(shù)。另外，極板數(shù)不足，導(dǎo)致測(cè)量的電容數(shù)據(jù)的不足，進(jìn)而使靈敏度矩陣秩虧，此為靈敏度矩陣秩虧的主要原因。由于油氣潤(rùn)滑ECT系統(tǒng)管徑小，無(wú)法無(wú)限制增加極板數(shù)，故應(yīng)選擇合適的極板數(shù)目。

3.2 油膜厚度對(duì)秩虧的影響

以8極板的油氣潤(rùn)滑ECT系統(tǒng)為例，在忽略和計(jì)入軟場(chǎng)效應(yīng)兩種情況下分別對(duì)實(shí)際工況中(0.1mm～0.5mm)不同油膜厚度仿真得到靈敏度矩陣，通過(guò)公式(4)(5)計(jì)算秩虧數(shù)及相對(duì)秩虧率，如圖6和圖7所示。

圖6 不同油膜厚度下的秩虧數(shù)

圖7 不同油膜厚度下的相對(duì)秩虧率

由圖6和圖7可知，忽略和計(jì)入軟場(chǎng)效應(yīng)在不同油膜厚度的油氣潤(rùn)滑ECT系統(tǒng)都存在秩虧的問(wèn)題。不同油膜厚度計(jì)入軟場(chǎng)效應(yīng)的靈敏度矩陣秩虧數(shù)均低于忽略軟場(chǎng)效應(yīng)的秩虧數(shù)，如油膜厚度0.10mm極板時(shí)，計(jì)入軟場(chǎng)效應(yīng)比忽略軟場(chǎng)效應(yīng)的秩虧數(shù)降低了29.7%。另外，隨著油膜厚度的增加，秩虧數(shù)和相對(duì)秩虧率不斷增加。在油膜厚度為0.10mm～0.32mm時(shí)，秩虧數(shù)及相對(duì)秩虧率較低，油膜厚度在0.32mm以上時(shí)，秩虧數(shù)顯著增大，如忽略軟場(chǎng)效應(yīng)油膜厚度為0.34mm時(shí)秩虧數(shù)較最低點(diǎn)增加30.93%。

分析可得，軟場(chǎng)效應(yīng)影響油氣潤(rùn)滑ECT系統(tǒng)圖像重建時(shí)靈敏度矩陣的秩虧數(shù)，與前文結(jié)論一致。另外，油膜越厚，一定范圍內(nèi)電容傳感器對(duì)管道內(nèi)中心介電常數(shù)較低的空氣反應(yīng)越不敏感，對(duì)管道中心信息的提供越模糊[7]，使靈敏度矩陣秩虧加重。

4 結(jié)束語(yǔ)

筆者分析了油氣潤(rùn)滑ECT系統(tǒng)圖像重建時(shí)忽略和計(jì)入軟場(chǎng)效應(yīng)對(duì)靈敏度矩陣秩虧的問(wèn)題及其影響因素。主要研究結(jié)論如下：①對(duì)比分析了油氣潤(rùn)滑ECT系統(tǒng)圖像重建中，忽略和計(jì)入軟場(chǎng)效應(yīng)時(shí)靈敏度矩陣的秩虧問(wèn)題。在計(jì)入軟場(chǎng)效應(yīng)時(shí)，靈敏度矩陣秩虧數(shù)明顯減少。軟場(chǎng)效應(yīng)對(duì)靈敏度矩陣影響較大，不容忽視。 ②在油氣潤(rùn)滑ECT系統(tǒng)中，存在嚴(yán)重的不適定問(wèn)題，在圖像重建過(guò)程中，靈敏度矩陣存在嚴(yán)重的秩虧問(wèn)題。靈敏度矩陣秩虧問(wèn)題與油氣潤(rùn)滑ECT系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)及應(yīng)用特點(diǎn)有關(guān)，如管徑小限制了極板數(shù)目和油膜厚度。靈敏度矩陣的秩虧程度隨極板數(shù)增加而減??；隨油膜厚度增加而增大。油氣潤(rùn)滑ECT系統(tǒng)圖像重建時(shí)產(chǎn)生秩虧的根本原因是檢測(cè)數(shù)據(jù)的不足。