平方差公式教學設計的實踐與探索*
——透過數(shù)學史輔助教學的視點

安徽省淮北市烈山區(qū)淮北師范大學(235000) 孫甜甜 李孝誠

關于數(shù)學史的教育價值,數(shù)學家莫里斯·克萊因曾有言:“歷史是教學的指南”,基于此觀點,這里認識到數(shù)學史是追溯前人數(shù)學結晶、梳理整體知識脈絡的一門重要科學,其引導學生從源流處學知識,知其然,知其所以然,是數(shù)學學習不可或缺的一部分.盡管許多教師能夠肯定數(shù)學史對數(shù)學課堂的潤澤作用,認識到數(shù)學史融入數(shù)學課堂教學的重要性,但都普遍認為其意義在于激發(fā)學生的學習興趣,其實,絕不僅局限于此.《義務教育數(shù)學課程標準(2011年版)》就明確提出: 教材可以適時介紹有關背景知識,包括數(shù)學在自然與社會中的應用,以及數(shù)學發(fā)展史的有關材料,幫助學生了解在人類文明發(fā)展中數(shù)學的作用,激發(fā)學習數(shù)學的興趣,感受數(shù)學家治學的嚴謹,欣賞數(shù)學的優(yōu)美[1].

那么教師該如何在課堂教學環(huán)節(jié)中利用數(shù)學史的相關內容指導教學設計,才能使自己的數(shù)學課堂教學活動錦上添花呢? 這里以平方差公式說明之.

1 平方差公式相關數(shù)學史的選擇

開展數(shù)學史輔助平方差公式教學的工作,首先要明確兩方面的問題: 一方面,在相關數(shù)學史內容選擇時,具備過硬的數(shù)學史知識和素養(yǎng)的教師要以何種原則和標準來確定選擇內容;另一方面,在相關數(shù)學史內容選擇后,教師如何將數(shù)學史內容合理巧妙地安排在教學環(huán)節(jié)中,使其自然融入課堂以輔助教學.針對這兩點問題,有必要進行具體分析探究.

1.1 選擇的原則

數(shù)學史輔助數(shù)學教學,并不是刻意而為之,教師要精挑細選、仔細斟酌、反復確認,選用真正有益于學生理解和掌握知識的數(shù)學史內容,并在合適的時機、合適的教學環(huán)節(jié)巧妙使用.對于數(shù)學史內容的選擇原則,主要有三點:

其一,內容的契合性.教學環(huán)節(jié)圍繞教學內容展開,若要在教學內容中滲透數(shù)學史,最重要的一點便是數(shù)學史內容與教學內容具有高度的契合性,若二者無關或契合度不高,則直接影響課堂教學質量,相當于畫蛇添足,多此一舉.

其二,學情的適切性.數(shù)學史內容的選擇還要充分考慮學生的學情,選用符合學生能力范圍之內的,若選擇的數(shù)學史內容凌駕于學生能力之上,則無異于增加學生的學業(yè)負擔,只得勞而無功,事倍功半.

其三,文化的感染性.數(shù)學家陳省身老先生認為:“了解歷史的變化是了解這門科學的一個步驟”,因此,學習數(shù)學史,將一個靜態(tài)的知識點形成動態(tài)的知識發(fā)展鏈,是學習數(shù)學文化的重要一部分,文化的拓展是知識學習源源不斷的動力源泉.因此,選用的數(shù)學史內容要在精神上感染學生.

1.2 選擇的結果

基于上述數(shù)學史內容的選擇原則,對應不同的平方差公式教學環(huán)節(jié)確定了不同的數(shù)學史內容.首先,在新知引入環(huán)節(jié),選擇了等周問題的騙局這一數(shù)學史內容.相傳在古代,人們受制于知識和經驗的匱乏,在社會中普遍對等周問題存在很深的誤解.據(jù)古希臘評注家普羅克拉斯記載,土地主在分配土地的時候,將周長長面積小的土地租賃給農民,而將周長短面積大的土地分給自己, 農民們全然不知自己被欺騙,卻還認為土地主無私奉獻.因此,教師可以將古希臘發(fā)生的土地等周欺騙問題進行適當?shù)馗木? 滲透在新知導入環(huán)節(jié),引發(fā)學生的學習興趣,認識到平方差公式學習的必要性.

其次,在新知探究環(huán)節(jié),可以借助趙爽的面積割補法來證明平方差公式,平方差公式并不是近代數(shù)學的果實,它在數(shù)學歷史長河中歷經了數(shù)千年.公元前三世紀數(shù)學家趙爽在注釋《周髀算經》中的“勾股圓方圖”時就已經提出其證明方法——勾實之矩以股弦差為廣,股弦并為袤,而股實方其里.股實之矩以勾弦差為廣,勾弦并為袤,而勾實方其里.[2]除此之外,文中還記錄了其鉆研的辛苦與不易.通過此數(shù)學史內容不僅可以從幾何方面帶領學生證明平方差公式,還可以向學生傳遞趙爽刻苦鉆研學問的精神.

再次,在新知鞏固環(huán)節(jié),考慮到了丟番圖的二元問題與和差術,是記載在其著作《算術》當中的經典問題,即已知兩數(shù)之和及兩數(shù)之積求兩個數(shù)分別為多少,這是平方差公式應用的具體案例,該數(shù)學史內容的運用可以檢驗學生的學習成果.

最后,在課后作業(yè)環(huán)節(jié),教師可以布置搜集式和符號起源歷史的任務.平方差公式是中學階段一個重要的代數(shù)式,了解代數(shù)式和符號的歷史發(fā)展可以擴展學生的知識面、啟發(fā)學生的思維、培養(yǎng)學生的數(shù)學素質,使教學獲得事半功倍的效果.

2 數(shù)學史融入數(shù)學教學的方式

歸納整理好所需的數(shù)學史內容后,如何將數(shù)學史與平方差公式的教學環(huán)節(jié)相融合呢? 華東師范大學汪曉勤教授研究數(shù)學史融入數(shù)學教學十年有余,根據(jù)不同的分類標準整理了不同的融合方式,其中以融合程度劃分標準分為了四種方式,分別是: 附加式、重構式、順應式和復制式[3].附加式是講起源、說故事,教師以展示和講述為主,激發(fā)學生學習動機,調節(jié)學習氣氛,用數(shù)學文化感染學生;重構式是重現(xiàn)歷史、再現(xiàn)過程,教師帶領學生經歷知識的發(fā)現(xiàn)和發(fā)展過程,體驗前人激烈的思想火花的碰撞,加深知識的理解;順應式是舊問題、新改編,教師順應當前教學實際,借用數(shù)學史重新編制問題,以新途徑促進學生知識的學習和鞏固;復制式是原問題、原解法,教師直接使用選擇的數(shù)學史內容,無需進行改動和調整,在一定程度上拉近了學生與歷史的距離,感受數(shù)學文化的魅力.

在以上四種融合方式的基礎上,對平方差公式四個教學環(huán)節(jié)的數(shù)學史進行再研究,得到了進一步的結論: 在新知導入環(huán)節(jié)采用附加式融入等周問題的騙局這一數(shù)學史內容;在新知探究環(huán)節(jié)采用重構式融入趙爽面積割補法的證明過程;在新知鞏固環(huán)節(jié)采用順應式融入丟番圖的二元問題與和差術相關題目;在課后作業(yè)環(huán)節(jié)采用復制式融入數(shù)學史資料的展示.現(xiàn)通過平方差公式的教學設計來具體說明之.

3 數(shù)學史融入平方差公式的教學設計示例

在做教學設計的準備工作中,有了上述的分析結果,具備了理論基礎和大體教學框架,但做出一個教學設計并應用到真實課堂中也絕非易事.陸游詩云,紙上得來終覺淺,絕知此事要躬行;俚語說,理在用中方說妙,事非經過不知難.為此,再次分析教材知識呈現(xiàn)、相關數(shù)學史內容和教學環(huán)節(jié)的設計這三個方面,對它們進行整合交融,得到了以下具體的教學設計與實施過程:

3.1 新知引入——附加式話歷史、講故事,激趣揚思

新知引入環(huán)節(jié)是課堂的開端,是教師的教學和學生學習的起點,導入環(huán)節(jié)設計的優(yōu)劣直接影響學生學習的動機.對于平方差公式一節(jié)來講,教師首先要提出生活性“初始問題”(這就是常說的創(chuàng)設問題情境),可以使用古希臘土地主等周問題的騙局這一數(shù)學史內容進行改編,呈現(xiàn)趣味小故事作為這種“初始問題”,由問題解決的過程和結果,可以得到平方差公式的具體形式,并激發(fā)學生的學習動機.

師: 相傳古時的土地主在分配土地時,假公濟私地與農民商量,將原有邊長為米的正方形土地,在其中一邊上削減6 米,在其臨邊上增加6 米(如圖1 所示),以原價租賃給農民, 農民全然不知自己上當受騙.同學們,你們認為農民吃虧了嗎?

圖1

生1: 顯然農民吃虧了.我想直接從圖形上看,如圖所示,削減部分的寬與增加部分的寬一樣為6,削減部分的長為a比增加部分的長(a ?6)要多,因此削減部分的面積比增加部分的面積大,農民獲得的土地總面積減少,農民吃虧了.

師: 這是從幾何圖形直觀的角度解釋說明的,是否可以從代數(shù)的角度考慮這個問題呢?

生2: 我想可以列算術式比較農民前后的土地面積.農民原來的土地面積為a2,在土地主的蒙騙下,農民所租賃的土地變?yōu)榱碎L為(a+6),寬為(a ?6)的矩形,此時農民所擁有的土地面積為(a+6)×(a?6),比較a2與(a+6)×(a?6)的大小可得結論.

注: 由幾何直觀到代數(shù)思想的轉變,對于學生而言并不是件易事,它必須有教師的指導輔助,而教師的輔助并不是直接給出公式,而是要站在學生的角度、分析學生的學情,以言語提示和步驟引導,步步啟發(fā)學生思考,所謂授人以魚不如授人以漁,就是這個道理.

3.2 新知探究——重構式還原、再現(xiàn)、探索,追溯本質

新知探究環(huán)節(jié)是課堂教學最重要的一環(huán),教師往往做的許多努力和準備都是為探究做鋪墊,但這樣的模式化也帶來了一定的弊端,造成新知的探索成為了一種水到渠成的自然化現(xiàn)象, 忽視掉學生從獲得到理解再到掌握的過程的曲折.以平方差公式為例,這時如果運用知識的還原、展開、重演、再現(xiàn)等手段,帶領學生經歷前人知識發(fā)展的蜿蜒曲折,與前人跨時空產生思想的共鳴,便能使其更好地掌握知識,正如數(shù)學家喬治所言,學習數(shù)學只有當看到數(shù)學的產生、按照數(shù)學發(fā)展的歷史順序或親自從事數(shù)學發(fā)現(xiàn)時,才能最好地理解數(shù)學.

師: 請同學們思考問題1: 邊長為5 的正方形,在其右下角減去一個邊長為2 的小正方形,圖形剩下的部分面積為多少? 除了計算的代數(shù)方法,可以用幾何的方式拼接圖形重新考慮這個問題嗎?

生1: 代數(shù)的計算方法是52?22=21;幾何的方式可以將圖形畫出來, 將左下角的①部分旋轉90°拼接到右上角,此時可以得到一個長為7,寬為3 的矩形,其面積為21;兩種方式所得結果一樣,幾何的拼接是代數(shù)計算的驗證.

圖2

圖3

師: 問題1 運用到了具體的數(shù)字,是一種特殊形式,現(xiàn)在我們將由特殊推廣到一般,請同學們思考問題2: 邊長為a的正方形,在其右下角減去一個邊長為b的小正方形,圖形剩下的部分面積為多少? 除了計算的代數(shù)方法,可以用幾何的方式拼接圖形重新考慮這個問題嗎?

生2: 代數(shù)的計算方法可得剩余部分面積為a2?b2,對于幾何拼接我想也是可以的,與問題1 大同小異,不難得出剩余部分面積為(a+b)(a ?b).

師: 在問題1 和問題2 的基礎上,同學們所運用的拼接法由來已久.據(jù)資料記載,三國時期數(shù)學家趙爽“負薪余日,聊觀《周髀》”,刻苦鉆研最終發(fā)現(xiàn)割補法,“勾實之矩以股弦差為廣,股弦并為袤,而股實方其里.股實之矩以勾弦差為廣,勾弦并為袤,而勾實方其里.”,證明了平方差公式,其中這里的割補法即我們所說的幾何上的拼接法.

師: 除了面積割補法之外,同學們是否有其他的幾何方法來證明平方差公式呢?

生3: 可以選用其他的割補方法.原來的割補法是將剩余部分分為上下兩個矩形,再拼接起來;現(xiàn)在我們可以將剩余部分分為兩個直角梯形,再進行拼接.

圖4

師: 可以說的更具體詳細一點嗎?

生: 從大正方形的左上角連線小正方形的左上角,將剩余部分面積分為兩個相同的直角梯形, 對其進行旋轉拼接,通過面積的計算也可以證明平方差公式.其中,共有三種拼接方式: 長方形、平行四邊形和等腰梯形.

圖5

注: 從平方差公式的幾何證明法巧妙的思路中認識到,幾何證明的精彩性與學生數(shù)學知識面的寬廣度是具有一定聯(lián)系的,如何誘導學生聯(lián)系以往知識經驗、借鑒知識歷史來解決新問題、理解新知識是教師應當深思的.往往這時候,教師在教學中起到的便是“中介”的作用,將學生所學和即將所學組織構建成一個流暢而有意義的整體,再借助相關數(shù)學史內容為學生的深度學習提供觀念性的指導.

3.3 新知鞏固——順應式舊史新說、舊題新用,遷思回慮

鞏固新知作為教學過程的重要一環(huán),是檢驗教師教學成果、學生學習成效的重要依據(jù).鞏固新知重在“知”,知識地靈活運用是教學目的之一,而知識的運用要借助解題來實現(xiàn).數(shù)學史當中散落的歷史名題是代代相傳的珍稀資源,蘊含著一代又一代數(shù)學家的智慧結晶,是加深知識理解的良好素材.但值得注意的是, 并不是只要是歷史相關題目就是好材料,教師要有選擇的取其精華去其糟粕.因此,在這一環(huán)節(jié),應用練習題目的設置要遵循循序漸近、由簡及繁、由易到難的設計原則,切勿一口氣吃成個胖子,得不償失.

師: 證明了平方差公式,同學們可以用自然語言描述它嗎? 其中有什么值得注意的呢?

生1: 平方差公式描述的是:“兩數(shù)之和與這兩數(shù)之差的乘積等于這兩個數(shù)的平方差”,我認為值得注意的是“這”這個詞語,它是對象的限定.

生2: 我認為還需要值得注意的是找準兩個相同數(shù)和兩個相反數(shù),從而確定其在公式中的位置.因為公式反應的是兩個相同數(shù)的平方與兩個相反數(shù)的平方的差.

圖6

師: (簡單套用公式計算練習已掌握后)請同學們思考問題3: 已知兩個正數(shù)的和為20,積為96,求這兩個數(shù).

生3: 因為兩正數(shù)之和為20, 則可以分別設兩個數(shù)為10?x和10 +x, 又因為兩數(shù)之積為96, 因此可得(10?x)(10+x) = 96, 再根據(jù)所學平方差公式不難推出102?x2=96,再進一步即可求得答案了.

師: 這樣的問題和解法在現(xiàn)如今來說已經非常普遍了,但其發(fā)展經歷極其漫長.早在公元三世紀,古希臘數(shù)學家丟番圖在其著作《算術》一書中就已記錄了該類問題及其解法,運用的便是古巴比倫人的和差術.該數(shù)學史內容不僅有教學意義,同學們也應當繼續(xù)探索其背后的思想與價值,開闊視野.

3.4 課后作業(yè)——復制式講歷史、促交流,潤澤精神

課后作業(yè)這一環(huán)節(jié),不僅涉及的是書面作業(yè),也要以多種方式開展拓展環(huán)節(jié),在師生溝通交流中促進知識的理解和學習.適合安排在這一環(huán)節(jié)的數(shù)學史內容是有關于式和符號的起源歷史,師生共同“讀史解疑”.豐富的數(shù)學史拉近教師與學生的距離,有助于學生在課后輕松的氛圍當中學習,同時歷史背后所蘊含的教育價值也是不容忽視的.

4 結論

正如周燚所言:“數(shù)學是一種文化,回歸源頭能使我們獲得對思想過程的重要認識,更加清晰地理解現(xiàn)在的問題[4].”數(shù)學史輔助數(shù)學教學能再現(xiàn)知識誕生的背景、發(fā)展和完善的過程,引導學生知其然,知其所以然;能給課堂注入活力的同時激發(fā)學生的興趣;能培養(yǎng)學生堅持不懈、勇于探究的精神.同時,數(shù)學史也為教師的教學提供豐富的素材,使課堂不再單單是課本的實踐.但數(shù)學史融入教學絕不能生搬硬套,如何巧妙地將數(shù)學歷史安排在各個教學環(huán)節(jié)中是教師研究的重點,只有適當運用才能更好地發(fā)揮價值.