于微探究中見(jiàn)真知
——以“平面直角坐標(biāo)系中的面積問(wèn)題”教學(xué)為例

廣東省廣州市第二中學(xué)(510040) 盧 奕

1 微探究的背景

微探究就是以微觀問(wèn)題切入,在有指導(dǎo)的探尋追究過(guò)程中,分析解決問(wèn)題的一種教與學(xué)的活動(dòng)方式.微探究的優(yōu)勢(shì)在于切入探究的問(wèn)題小,從某個(gè)具體的知識(shí)點(diǎn)出發(fā),靈活地穿插于課堂教學(xué)中,側(cè)重于探究某個(gè)小角度,有利于植根日常的教學(xué)活動(dòng)之中,給我們的教學(xué)帶來(lái)更大的效益,提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).“微探究過(guò)程中,教師是主導(dǎo),學(xué)生是主體,數(shù)學(xué)是載體,思維是形式,以此培養(yǎng)學(xué)生的主動(dòng)性、創(chuàng)造性、應(yīng)用意識(shí)和實(shí)踐意識(shí).由于教師的主導(dǎo)作用,學(xué)生減少了發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的盲目性,提高了問(wèn)題研究的有效性,但是學(xué)生依然有體驗(yàn)數(shù)學(xué)再創(chuàng)造的過(guò)程,這也就體現(xiàn)了“探究”的本質(zhì)意義[1].”

下面筆者基于這樣的理念,在“平面直角坐標(biāo)系中的面積問(wèn)題”教學(xué)中,結(jié)合微探究活動(dòng)的設(shè)置,進(jìn)行教學(xué)實(shí)踐與反思.

2 基于微探究的教學(xué)設(shè)計(jì)和實(shí)踐

在教學(xué)中進(jìn)行微探究重點(diǎn)在于設(shè)置探究切入點(diǎn),把需要研究的問(wèn)題化解為“微問(wèn)題”,再進(jìn)行充分挖掘,進(jìn)而總結(jié)遷移,達(dá)到以小見(jiàn)大,于微探究中見(jiàn)真知的目的.探究切入點(diǎn)雖“微”,折射的卻是創(chuàng)新發(fā)展的時(shí)代精神與改革要求.因此在微探究教學(xué)中,問(wèn)題的設(shè)計(jì)就十分關(guān)鍵.

微型探究課的一般模式是: 問(wèn)題設(shè)計(jì)(設(shè)置探究的切入點(diǎn))——問(wèn)題探究(引導(dǎo)學(xué)生探究學(xué)習(xí))——交流反思(圍繞探究?jī)?nèi)容進(jìn)行交流)——總結(jié)評(píng)價(jià)(感悟與收獲)四個(gè)環(huán)節(jié).

2.1 問(wèn)題設(shè)計(jì)

微探究切入點(diǎn)需立足教材,選擇微小而有啟發(fā)性和導(dǎo)向性的問(wèn)題,在激活學(xué)生思維處設(shè)問(wèn),引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題,在解決問(wèn)題中,形成良好的思維策略,提升學(xué)生的思維水平,以此激發(fā)學(xué)生的深層次學(xué)習(xí), 真正將微探究落在實(shí)處, 讓“微探究”成為學(xué)生將知識(shí)轉(zhuǎn)化為能力的重要載體.

本片段是在“平面直角坐標(biāo)系中的面積問(wèn)題”教學(xué)中引入復(fù)習(xí)舊知識(shí)處設(shè)置微探究,通過(guò)一連串問(wèn)題引導(dǎo),使學(xué)生在溫故知新中能順利關(guān)注到知識(shí)的本質(zhì).教師首先展示例1.

例1(1)已知A(2,0),B(4,0),則AB=____

(2)已知B(5,5),C(5,1),則BC=____

生1:AB=2,BC=4

師: 如此迅速獲得解答,你是關(guān)注到點(diǎn)的哪些坐標(biāo)特點(diǎn)呢?

生1:A、B兩點(diǎn)縱坐標(biāo)相同,距離為橫坐標(biāo)4?2 = 2;B、C兩點(diǎn)橫坐標(biāo)相同,距離為縱坐標(biāo)5?1=4.

師: 很好,準(zhǔn)確抓住本質(zhì).

教師進(jìn)一步展示題目,并提出問(wèn)題

(3)已知A(a+1,b),B(?a,b),則AB=____(用字母表示)

(4)已知C(a,b ?1),D(a,?b),則CD=____(用字母表示)

師: 點(diǎn)的坐標(biāo)換成字母,結(jié)果如何?

生2:A、B兩點(diǎn)縱坐標(biāo)相同,AB平行于x軸,AB=|2a+1|,類(lèi)似地,CD=|2b+1|

師: 怎么多了絕對(duì)值?

生2: 因?yàn)閍不確定,無(wú)法判斷a+1,與?a的大小.

師: 正確! 祝賀你掌握了從特殊到一般的思考方法.

評(píng)析: 本例中在課堂引入處設(shè)置微探究,在教師主導(dǎo)下,學(xué)生通過(guò)完成與舊知識(shí)相關(guān)的練習(xí),逐步關(guān)注坐標(biāo)與距離的相互轉(zhuǎn)化的本質(zhì),進(jìn)一步鞏固所獲得的一般性結(jié)論.學(xué)生浸潤(rùn)在教師精心設(shè)計(jì)的問(wèn)題導(dǎo)向中,體會(huì)數(shù)學(xué)的思考方向,并將其主動(dòng)轉(zhuǎn)化為學(xué)習(xí)的策略與方法.

2.2 問(wèn)題探究

“學(xué)啟于思,思啟于疑”.學(xué)生的思維往往是以對(duì)問(wèn)題的質(zhì)疑開(kāi)始的,在解決問(wèn)題的探索過(guò)程中,教師不僅為學(xué)生精心創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境,而且還要留給學(xué)生充裕的思考時(shí)間和創(chuàng)造探究的機(jī)會(huì),學(xué)生真正做到思維的深度參與[2].例如,下面的教學(xué)片段,教師首先展示例2.

例2已知三點(diǎn)坐標(biāo)求三角形面積,如圖1,圖2.

圖1

圖2

(1)SΔABC=____(2)SΔABC=____

生1: 我的答案是(1)4,(2)12

師: 你是怎樣計(jì)算的?

生1: 來(lái)看這個(gè)圖(1),三角形的底AB為2,高CO為4,

師: 你為什么選AB?

生1: 因?yàn)樗趚軸上,容易求BC的長(zhǎng)為2.圖(2)中,也是因?yàn)槿菀浊蟪鯞C= 4,再乘以高是6,除以2 得到面積為12

師: 你能總結(jié)一下容易算的底邊的特點(diǎn)嗎?

生1:x軸上的線段.噢,或者平行于x軸,y軸的線段.

師: 感謝你分享這么好的解題經(jīng)驗(yàn).

師生共同歸納: 以上兩個(gè)三角形都有一邊平行于坐標(biāo)軸,這邊的長(zhǎng)度容易求得,因此以此邊作為底比較容易求得三角形面積.

教師繼續(xù)展示例3

例3如圖3, 已知點(diǎn)A(?1,2),B(5,5),C(3,1), 求ΔABC的面積

圖3

生1: 這個(gè)三角形找不到一條可以做底的邊.

師: 你能具體說(shuō)一說(shuō)嗎?

生1: 找不到像例1 一樣,可以直接求的邊.

師: 哪怎么辦?

生1: 我自己畫(huà)了一條平行于y軸的線,把它補(bǔ)成這樣的長(zhǎng)方形(如圖4),再用長(zhǎng)方形面積減去周?chē)齻€(gè)三角形面積,得到所求三角形面積是9.

圖4

生2: 我與前面同學(xué)思路一樣,分別過(guò)三個(gè)頂點(diǎn)作平行于x,y軸的直線,但補(bǔ)成梯形(如圖5)再減去兩個(gè)三角形,得到所求三角形面積也是9.

圖5

師: 果然好算,思路嚴(yán)謹(jǐn)!

生3: 我直接過(guò)C作CD//y軸,將三角形分割成兩個(gè)三角形(如圖6),CD=3,兩三角形面積相加更方便.

圖6

生4: 點(diǎn)D不在格點(diǎn)吧?

生5: 看圖是在的呀,點(diǎn)(3,4)

師: 有爭(zhēng)議! 請(qǐng)同學(xué)討論,可直接有圖得點(diǎn)D坐標(biāo)嗎?

生4: 不可以,沒(méi)有這個(gè)條件,不能確定點(diǎn)D的坐標(biāo),只能知道點(diǎn)D的橫坐標(biāo).

師: 合情合理,不可直接讀圖得點(diǎn)D的坐標(biāo).我也在思考,我對(duì)這個(gè)D點(diǎn)感興趣.它坐標(biāo)是否為(3,4)呢? 有什么辦法證明?

學(xué)生陷入思考,教師進(jìn)一步引導(dǎo).

師: 已求出ΔABC的面積為9,如何求CD的長(zhǎng)度?

生6: 哦, 我想到了! (有些激動(dòng))過(guò)點(diǎn)A作AE ⊥CD,過(guò)B作BF ⊥CD(如圖7)

圖7

所以CD=3,又因?yàn)镃(3,1),所以D坐標(biāo)為(3,4).

生7: 哇! 還真是!

師: 妙! 注意到從面積—線段長(zhǎng)—坐標(biāo)轉(zhuǎn)化.

生4: 看到這個(gè)圖(圖4),我有這樣的想法.取點(diǎn)M(3,2),連接AM,BM,CM.AM,CM都好算,AM=4,CM=1,

課室里響起一陣掌聲.

師: 果然好方法.大家點(diǎn)評(píng)一下.

生6: 司徒的方法做到了: 取已知點(diǎn),構(gòu)造平行于x軸,y軸的線,線段好算,求面積好簡(jiǎn)單.

師: 司徒同學(xué)的方法,簡(jiǎn)稱(chēng)“司徒法”.

生7: 司徒法!

生8: 司徒法! 威武!

師: 同學(xué)們真棒! 想到多種方法求面積.各種方法其實(shí)都朝向一個(gè)思路.

生3: 找一條可以做底的邊,與坐標(biāo)軸平行或垂直的邊.

師: 對(duì),這個(gè)思路就是“化斜為直”.是轉(zhuǎn)化的思想具體體現(xiàn).

評(píng)析: 一系列精心設(shè)計(jì)的微問(wèn)題,看似隨機(jī)生成的,實(shí)則從細(xì)節(jié)中進(jìn)行深度解剖,導(dǎo)引著學(xué)生在坐標(biāo)平面內(nèi)進(jìn)行探究.隨著微問(wèn)題的漸次推進(jìn),微探究的教學(xué)畫(huà)面次第展開(kāi),學(xué)生在深入揣摩中把握核心思想,使得課堂教學(xué)更有深度,探究過(guò)程也給學(xué)生足夠的思考時(shí)空,循序漸進(jìn),調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性.讓學(xué)生在思考交流中捕捉思維火花,并將其主動(dòng)轉(zhuǎn)化為學(xué)習(xí)的策略與方法.

由于教師的主導(dǎo)作用, 學(xué)生減少了發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的盲目性,提高了問(wèn)題研究的有效性,但是學(xué)生依然有體驗(yàn)數(shù)學(xué)再創(chuàng)造的過(guò)程,這也就體現(xiàn)了“探究”的本質(zhì)意義[1].

2.3 交流反思

在上述教學(xué)片段例2 中,學(xué)生圍繞著問(wèn)題“一個(gè)找不到能直接計(jì)算底邊的ΔABC,如何求其面積? ”,在交流互動(dòng)中,提出自己的想法:“作平行于x,y軸的直線,將三角形補(bǔ)成易于求邊的圖形”,同時(shí)也傾聽(tīng)同伴的做法,捕捉相應(yīng)的發(fā)現(xiàn),結(jié)合自己的思考和探索,獲得更多的啟發(fā),收獲如“司徒法”等更簡(jiǎn)潔的解法,還形成多樣化的理解,并在交流過(guò)程中篩選有價(jià)值的信息,并在微探究問(wèn)題有層次的導(dǎo)向中,逐步深入,發(fā)現(xiàn)“由ΔABC的面積為9,可求CD的長(zhǎng)度,進(jìn)而得到點(diǎn)D的坐標(biāo)”感受到知識(shí)的本質(zhì)是“圖形面積與坐標(biāo)的轉(zhuǎn)化”,逐漸聚焦到核心思想方法的理解上,在微探究過(guò)程實(shí)現(xiàn)學(xué)習(xí)過(guò)程的再創(chuàng)造.

2.4 總結(jié)評(píng)價(jià)

組織學(xué)生開(kāi)展微探究,需特別要注重探究后的總結(jié)與評(píng)價(jià).在上述教學(xué)片段例1 中,教師之與學(xué)生,或輔助,或互助,師生共同推進(jìn),最終引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)到“點(diǎn)的坐標(biāo)與線段長(zhǎng)的相互轉(zhuǎn)化”的一般思考方法,得到明確的結(jié)論.教學(xué)片段例2中,方法的多樣性如何統(tǒng)一? 最后也落實(shí)到教師引導(dǎo)下做出總結(jié),多法歸一為本質(zhì)是“坐標(biāo)—線段長(zhǎng)—面積的相互轉(zhuǎn)化及化斜為直”.探究后的及時(shí)總結(jié)評(píng)價(jià)使學(xué)生真正發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的本質(zhì),領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)思想方法.

3 微探究的教學(xué)實(shí)踐反思和總結(jié)

數(shù)學(xué)微探究可以靈活地穿插于課堂教學(xué)中,適合于植根于日常教學(xué),是一種新的教學(xué)方式.在當(dāng)前課堂環(huán)境的情況下,微探究能充分提升學(xué)生的課堂參與度與思維質(zhì)量,更加數(shù)學(xué)地思考數(shù)學(xué),研究數(shù)學(xué).

教師是微探究活動(dòng)的策劃者、導(dǎo)引者、合作者,要做好一切準(zhǔn)備工作, 包括預(yù)設(shè)學(xué)生已經(jīng)想到什么? 還能想到什么?可能的困難是什么? 如何啟發(fā)學(xué)生思考? 依據(jù)學(xué)情和認(rèn)知規(guī)律設(shè)計(jì)梯度恰當(dāng)?shù)膯?wèn)題串,問(wèn)題間的過(guò)渡是否自然? 要順利解決問(wèn)題需要怎樣的調(diào)整和補(bǔ)充? 教學(xué)中的微探究能減少學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的盲目性,學(xué)生能收獲深度研究問(wèn)題的方法.

學(xué)生是活動(dòng)的主角,在探究過(guò)程中感悟研究數(shù)學(xué)問(wèn)題的基本思路、方法和策略,體會(huì)其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法,收獲豐富的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn),掌握學(xué)習(xí)和研究數(shù)學(xué)的方法,從而獲得更好的數(shù)學(xué)課堂實(shí)效.