提升初中生直觀想象素養(yǎng)的教學(xué)策略研究*
——以圖形的變化教學(xué)為例

廣東省廣州市白云區(qū)三元里中學(xué)(510400) 肖 樂

1 問題提出

直觀想象是《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017 版)》中提出的6 大數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之一,是發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題的重要手段,是探索和形成論證思路、進(jìn)行數(shù)學(xué)推理、構(gòu)建抽象結(jié)構(gòu)的思維基礎(chǔ)[1],對學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)、思維發(fā)展有重大意義.在初中階段,與之對應(yīng)的是幾何直觀與空間觀念這兩個(gè)核心詞.圖形的變化是初中圖形與幾何的核心內(nèi)容,包含5 種圖形的變換與運(yùn)動(dòng),是對圖形的一種動(dòng)態(tài)研究,學(xué)生對其的掌握水平,能直接反映直觀想象素養(yǎng)水平.義務(wù)教育學(xué)段數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011 版)出臺(tái)后,平移、軸對稱、旋轉(zhuǎn)等圖形的變化逐漸成為中考壓軸題的常見素材,對學(xué)生的思維發(fā)展提出了較高要求.因此,學(xué)生掌握好這一內(nèi)容,對提高數(shù)學(xué)成績,培養(yǎng)分析和解決問題的能力,發(fā)展思維水平,提升直觀想象素養(yǎng)尤為重要.但由于初中生普遍思維發(fā)展水平不高,文字閱讀理解和數(shù)學(xué)語言表達(dá)能力不足,圖形的變化因此成為教與學(xué)中的難點(diǎn),該如何解決這個(gè)問題呢? 本文以軸對稱和旋轉(zhuǎn)變換為例,探究在初中數(shù)學(xué)課堂中如何運(yùn)用教學(xué)策略提升學(xué)生直觀想象素養(yǎng).

2 概念界定和研究意義

直觀想象是指借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態(tài)與變化,利用空間形式特別是圖形,理解和解決數(shù)學(xué)問題的素養(yǎng).主要表現(xiàn)為: 建立形與數(shù)的聯(lián)系,利用幾何圖形描述問題,借助幾何直觀理解問題,運(yùn)用空間想象認(rèn)識(shí)事物[2].在初中階段,與之對應(yīng)的是幾何直觀與空間觀念.

圖形的變化是指圖形的變換和運(yùn)動(dòng), 包含圖形的軸對稱、圖形的旋轉(zhuǎn)、圖形的平移、圖形的相似、圖形的投影等5個(gè)內(nèi)容,是對圖形的一種動(dòng)態(tài)描述和研究.

研究意義:

2.1 直觀想象不但包含了數(shù)形結(jié)合,還包含了空間位置關(guān)系、形態(tài)變化與運(yùn)動(dòng)規(guī)律.而圖形的變化是學(xué)生在學(xué)習(xí)了對圖形的靜態(tài)描述——基本圖形的概念和性質(zhì)后,從運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)和變化的角度來研究圖形[3],即對圖形進(jìn)行動(dòng)態(tài)解釋,這是一種更高階的思維方式.對圖形的這一研究過程可以促進(jìn)學(xué)生體會(huì)直觀與邏輯、直覺與證明之間的關(guān)系,是培養(yǎng)學(xué)生幾何直觀、空間觀念的一種重要方法;

2.2 由于圖形的變化這一內(nèi)容的豐富性和趣味性,不但有助于學(xué)生感受數(shù)學(xué)的直觀美,提高學(xué)習(xí)興趣,其所蘊(yùn)含的數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸、分類討論、建模等基本數(shù)學(xué)思想,拓寬了初中課程的視野,促進(jìn)學(xué)生向高階思維發(fā)展,促進(jìn)直觀想象等數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升.最終實(shí)現(xiàn)讓學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光發(fā)現(xiàn)世界,數(shù)學(xué)的思維思考世界,用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)世界的理想境界.

3 有效提升直觀想象素養(yǎng)的教學(xué)策略

3.1 體驗(yàn)數(shù)學(xué)活動(dòng),感受變化魅力,提升直觀想象素養(yǎng)

活動(dòng)1 如圖1 所示, 將一張正方形紙片先由下向上對折, 再由右翻起向左對折, 得到圖③的正方形AOBC.把圖③剪掉陰影部分等腰直角ΔMON后, 得到圖④五邊形AMNBC.將圖④紙片展開鋪平后,請問是下面A、B、C中哪個(gè)圖形? 為什么?

圖1

此問題考查軸對稱圖形的性質(zhì),解答關(guān)鍵在于把圖形沿對稱軸進(jìn)行展開或還原,學(xué)生在腦海中呈現(xiàn)這一過程時(shí),空間觀念能力得到發(fā)展.過程如下: 把第④幅圖沿對稱軸BN所在的直線向右對折,打開得到.再沿對稱軸AM所在的直線向下對折打開,所以得到.教師進(jìn)一步提出問題: 如果已知和等被剪好的圖形,你能用剪刀和紙片還原剪裁的過程中嗎?

活動(dòng)2 如圖2,由4 個(gè)全等的正方形組成的L形圖案,請按下列要求畫圖:

圖2

(1)在圖案①中添加1 個(gè)正方形,使它成軸對稱圖形但不能是中心對稱圖形;

(2)在圖案②中添加1 個(gè)正方形,使它成中心對稱圖形但不能是軸對稱圖形;

(3)在圖案③中改變1 個(gè)正方形的位置,從而得到一個(gè)新圖形,使它既是中心對稱圖形,又是軸對稱圖形.

大家互相交流一下想法,看看哪個(gè)小組的辦法最多?

本活動(dòng)綜合考查了中心對稱圖形及軸對稱圖形的性質(zhì),以及作圖方法,找對稱軸及對稱中心是解決問題的關(guān)鍵.經(jīng)過學(xué)生的認(rèn)真思考和熱烈討論,分別得到第(1)問的3 個(gè)答案,如圖3 所示;第(2)題答案,如圖4 所示;第(3)問的2 個(gè)答案,如圖5 所示.

圖3

圖4

圖5

活動(dòng)3 我是設(shè)計(jì)師活動(dòng): 請你用學(xué)過的軸對稱、旋轉(zhuǎn)等圖形的變化,設(shè)計(jì)出美麗的圖案吧.圖6 為筆者學(xué)生的作品.

圖6

這些數(shù)學(xué)活動(dòng)給課堂增加了藝術(shù)性和趣味性,學(xué)生在觀察、思考、操作的過程中,既能直觀感受圖形的對稱美,又加深了對其性質(zhì)的認(rèn)識(shí)理解, 幾何直觀與空間觀念得到發(fā)展,直觀想象素養(yǎng)得到提升.

3.2 依托基本圖形,遷移拓展補(bǔ)充,提升直觀想象素養(yǎng)

3.2.1 利用圖形的軸對稱變換,解決線段之和最短問題

案例1將軍帶著馬從營地點(diǎn)A出發(fā),先前往河邊l某處點(diǎn)P飲水,然后再前往點(diǎn)B處吃草,請問飲水點(diǎn)P在河邊哪個(gè)位置,將軍和馬所走的路程之和最短.如圖7,我們稱之為“將軍飲馬”基本圖形,即要求線段PA+PB之和最短.

圖7

這是人教版八年級的經(jīng)典問題, 解決方法為以河邊l為對稱軸,做點(diǎn)A關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)A′,連接BA′.線段PA+PB之和被轉(zhuǎn)化為線段BA′的長度,根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短,當(dāng)B、P、A′三點(diǎn)共線時(shí)PA+PB之和最短,此時(shí)線段BA′與直線l的交點(diǎn)P為所求.我們可以對這個(gè)基本圖形進(jìn)行遷移、拓展和補(bǔ)充.

片段1 如圖8,正方形ABCD的邊長為8,N在DC上,且DN=2,M是AC上一動(dòng)點(diǎn),求DM+MN的最小值.

圖8

解析: 如圖9,類比基本圖形,可以把AC看做“河邊l”,D和N分別看做上題中的營地A和草地B,點(diǎn)M看做飲水點(diǎn)P.由于正方形本身具有對稱性,對角線所在的直線為對稱軸,因此點(diǎn)B就是點(diǎn)D的對稱點(diǎn),則DM+MN的最小值可以轉(zhuǎn)化求BM+MN最小值,再根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短,問題最終轉(zhuǎn)化為求線段BN的長.此問題中,把求折線和轉(zhuǎn)化為求線段長度,這一過程可稱之為“化折為直”.

圖9

片段2 如圖10,點(diǎn)A是半圓上(半徑為1)的三等分點(diǎn),B是劣弧AN的中點(diǎn),P是直徑MN上一動(dòng)點(diǎn),求PA+PB的最小值.

圖10

解析: 此題把具有對稱性的圓做為載體,則直徑所在的直線為對稱軸.如圖11, 根據(jù)垂徑定理找到點(diǎn)B的對稱點(diǎn)B′,則PA+PB的最小值問題轉(zhuǎn)化為求PA+PB′的最小值,即求線段AB′的長,同樣也是“化折為直”.

圖11

片段3 如圖12, 在銳角ΔABC中,AB=∠BAC= 45°, ∠BAC的平分線交BC于點(diǎn)D,M、N分別是AD和AB上的動(dòng)點(diǎn),求BM+MN的最小值.

圖12

解析: 此問題背景雖然是沒有對稱性的一般三角形,但角平分線所在的直線即對稱軸.如圖13,求BM+MN的最小值首先轉(zhuǎn)化為求BM+MN′的最小值,根據(jù)垂線段最短,進(jìn)而轉(zhuǎn)化為求垂線段BH的長度,再一次通過“化折為直”解決問題.

圖13

經(jīng)過以上鋪墊,我們再來看看近年中考壓軸題,學(xué)生是否更容易解決呢?

片段4 廣州市18年中考題第23 題第(3) 問: 如圖14, 在四邊形ABCD中, ∠B= ∠C= 90°,AB > CD,AD=AB+CD,DE平分∠ADC交BC于點(diǎn)E.若CD= 2,AB= 4, 點(diǎn)M,N分別是AE,AB上的動(dòng)點(diǎn),求BM+MN的最小值.(前兩問已證AE⊥DE,AE平分∠DAB)

圖14

雖然背景被換成了梯形,但這里出現(xiàn)了角平分線這個(gè)對稱軸,為解決問題指出了思路.如圖15,經(jīng)過軸對稱變換,求BM+MN的最小值被轉(zhuǎn)化為求GM+MN的最小值,進(jìn)而轉(zhuǎn)化為求垂線段GH的長度.

圖15

以上幾題的通法是: 可看做“將軍飲馬”問題,通過軸對稱變換后再“化折為直”,而公理兩點(diǎn)之間線段最短(垂線段最短)則是共性.雖然把基本圖形放入三角形、正方形、梯形、圓等不同載體,經(jīng)過遷移、拓展、補(bǔ)充后,給學(xué)生帶來了較大的挑戰(zhàn),但經(jīng)過類比、轉(zhuǎn)化、變換等數(shù)學(xué)思想和方法的分析推理,讓人望而生畏的壓軸問題得到解決.這一過程將極大地激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和自信心,長此以往,思維必然得到發(fā)展,直觀想象素養(yǎng)將得到提升.

3.2.2 利用用圖形的旋轉(zhuǎn)變換,解決求證線段數(shù)量關(guān)系的問題

案例2如圖16,已知正方形ABCD,將一個(gè)45 度的角α的頂點(diǎn)放在D點(diǎn)并繞D點(diǎn)旋轉(zhuǎn),角的兩邊分別交AB邊和BC邊于點(diǎn)E和F,連接EF.你能找到線段EF、AE和CF之間的數(shù)量關(guān)系嗎?

圖16

這是“平行四邊形”單元里一道很經(jīng)典的題目, 八年級時(shí)可以通過截長補(bǔ)短法添加輔助線, 九年級則可以使用旋轉(zhuǎn)變換添加輔助線.如圖17, 把ΔADE繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到ΔDCG, 這里注意要證F、C、G三點(diǎn)共線.易證ΔDEF∽= ΔDGF, 即兩者關(guān)于DF軸對稱, 最終得到EF=AE+CF.當(dāng)出現(xiàn)共端點(diǎn)、等線段時(shí),可通過旋轉(zhuǎn)三角形,將所求線段集中在一起,從而方便研究,我們可以把這一過程看做一種基本模型.學(xué)生掌握這一模型后,教師可在各種變化的情境中考查學(xué)生,將有助其直觀想象素養(yǎng)的提升.

圖17

片段1 如圖18,已知等邊ΔABC及其外接圓,D為劣弧AB上一點(diǎn).請問弦DC、DA、DB之間有什么數(shù)量關(guān)系?

圖18

解析: 如圖19,可以先將ΔCAD繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°至ΔCBD′處,記得證明D、B、D′三點(diǎn)共線,此時(shí)所求三條線段被轉(zhuǎn)化到等邊ΔDCD′內(nèi),最終得到DC=DA+DB.此題通過三角形的旋轉(zhuǎn),得到特殊三角形(等邊三角形),從而把線段集中在同一個(gè)三角形中進(jìn)行研究,問題得以解決.

圖19

還可以把等邊ΔABC改為等腰直角ΔABC考查學(xué)生,求證即2016年廣州中考壓軸題.此題仍然是通過旋轉(zhuǎn)得到特殊三角形(等腰直角三角形),從而證明線段之間的關(guān)系.

在2020年廣州中考第24 題中,再次出現(xiàn)此類基本圖形.如圖20,⊙O為等邊ΔABC的外接圓,半徑為2,點(diǎn)D在劣弧AB上運(yùn)動(dòng)(不與點(diǎn)A、B重合),連接DA、DB、DC.四邊形ADBC的面積S是線段DC的長x的函數(shù)嗎? 如果是,求出函數(shù)解析式;如果不是,請說明理由.

圖20

雖然此題是求函數(shù)關(guān)系,但實(shí)質(zhì)仍然是通過旋轉(zhuǎn)得到等邊三角形,從而得到數(shù)量(函數(shù))關(guān)系,解析如圖21 所示.

圖21

片段2 如圖22,在RtΔACB中,∠ACB= 90°,AC=BC,∠DCE= 45°,請問線段AD、DE、EB之間有什么數(shù)量關(guān)系?

圖22

解析: 如圖23,可以把ΔCAD繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋90°轉(zhuǎn)至ΔCFB處,易證ΔCDE∽= ΔCFE,即兩者軸關(guān)于CE對稱,因此線段AD、DE、EB被集中在RtΔBEF中,從而得到三者的關(guān)系為AD2+BE2=DE2.

圖23

經(jīng)過上面幾題的鋪墊,我們來挑戰(zhàn)2018年廣州中考題壓軸題.

片段3 如圖24, 在四邊形ABCD中, ∠B= 60°,∠D= 30°,AB=BC.連接BD, 你知道AD,BD,CD三者之間的數(shù)量關(guān)系嗎?

圖24

解析: 如圖25, 先把ΔABD繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°至ΔCBD′處, 連接DD′, 得到等邊ΔBDQ, 且線段AD,BD,CD被集中在RtΔDCQ中, 從而得到三者的關(guān)系為AD2+CD2=BD2.

圖25

在以上幾題中, 三角形旋轉(zhuǎn)基本模型被放入特殊三角形、特殊四邊形、圓等具有對稱性的載體中進(jìn)行研究.當(dāng)出現(xiàn)共端點(diǎn)、等線段時(shí),可通過旋轉(zhuǎn)變換,把所求線段集中在某個(gè)特殊三角形中,是通法.基本圖形旋轉(zhuǎn)后能得到特殊三角形(等腰、直角三角形),從而得到線段數(shù)量關(guān)系是共性.這種對基本圖形的遷移、拓展、補(bǔ)充等的訓(xùn)練,符合學(xué)生的認(rèn)知水平和發(fā)展規(guī)律,這種對圖形的動(dòng)態(tài)描述和研究,對激發(fā)學(xué)生創(chuàng)造力,培養(yǎng)高階思維,提升直觀想象素養(yǎng)將大有裨益.

4 總結(jié)與展望

在教學(xué)中通過游戲活動(dòng)和對基本圖形進(jìn)行遷移、拓展、補(bǔ)充等訓(xùn)練,提升初中生直觀想象素養(yǎng)的教學(xué)策略,經(jīng)過筆者近兩年的實(shí)施,所任教班級的學(xué)生在幾何方面的興趣和成績均高于代數(shù)部分,尤其是學(xué)習(xí)基礎(chǔ)和習(xí)慣良好的同學(xué),優(yōu)于本年級其他平行班的同檔次學(xué)生,說明本策略對中等及以上的同學(xué)效果明顯.但筆者同時(shí)也發(fā)現(xiàn),部分學(xué)生受文字閱讀理解和數(shù)學(xué)語言表達(dá)能力的限制,不能正確理解題目,導(dǎo)致無法完成解答.因此對學(xué)生進(jìn)行文字、符號、圖形之間的轉(zhuǎn)換訓(xùn)練,為思維訓(xùn)練掃清障礙,將成為筆者下一步研究的目標(biāo).

初中生直觀想象素養(yǎng)的提升是一個(gè)系統(tǒng)的、長期的、全面的過程,本文以圖形的變化作為突破口,希望對這方面的研究起到拋磚引玉的作用.