質(zhì)量偏心對航空漸開線花鍵副非線性動態(tài)嚙合力的影響

薛向珍, 霍啟新, 李文賢, 劉 健

(1.西北工業(yè)大學(xué) 力學(xué)與土木建筑學(xué)院， 陜西 西安 710072； 2.陜西科技大學(xué) 機電工程學(xué)院， 陜西 西安 710021； 3.中車唐山機車車輛有限公司， 河北 唐山 064000)

0 引言

漸開線花鍵副作為航空主減速器中的關(guān)鍵零部件之一，其可靠性對動力傳輸系統(tǒng)的安全起決定性作用.理想狀態(tài)下，航空漸開線花鍵副應(yīng)無任何相對運動，但由于其受載形式特殊，在起飛、巡航、著陸時都受到較大的動載荷作用，使得航空漸開線花鍵副系統(tǒng)的彎-扭耦合非線性振動非常強烈.這種非線性振動會引起系統(tǒng)動載系數(shù)增大，影響鍵齒載荷分配、分布，極大的增加了系統(tǒng)動態(tài)力，從而導(dǎo)致鍵齒面接觸和彎曲疲勞失效概率增加，更重要的是會導(dǎo)致航空花鍵副系統(tǒng)磨損失效嚴重[1-4]，甚至造成災(zāi)難性事故.故航空漸開線花鍵副非線性動態(tài)嚙合力的研究意義重大.

近年來，對于航空漸開線花鍵副的研究大多聚焦在其動力學(xué)特性的研究上.國外，Walton等[5]研究了外力和頻率對角剛度和阻尼系數(shù)的影響，角剛度和阻尼系數(shù)被用來進行線性穩(wěn)態(tài)轉(zhuǎn)子動力學(xué)的穩(wěn)定性分析.Kahraman[6]在考慮齒側(cè)間隙的情況下推導(dǎo)出漸開線花鍵副齒側(cè)間隙方程并建立了漸開線花鍵副動力學(xué)方程.

在國內(nèi)，對航空漸開線花鍵副轉(zhuǎn)子系統(tǒng)振動特性的研究則較多些[7-9].其中最具代表性的是以趙廣等[10-12]為主建立了完整的轉(zhuǎn)子聯(lián)軸器軸承隔振器系統(tǒng)研究體系.從耦合部件建模、到整個系統(tǒng)建模；從對該系統(tǒng)的理論分析、數(shù)值仿真到實驗驗證，開展了深入的研究工作.同時，以楊國林、高騰等[13,14]為主，對軸系角度不對中徑向振動特征進行了分析.

而專門針對航空花鍵副動態(tài)嚙合力的研究還相對較少，且由于鑄造和加工誤差的存在，導(dǎo)致航空漸開線花鍵副運行過程中存在一定的質(zhì)量偏心及側(cè)隙.近幾年通過大量對花鍵副工程中的磨損失效件分析，發(fā)現(xiàn)在其運行過程中存在的質(zhì)量偏心對其磨損影響較大，花鍵副動態(tài)嚙合力是磨損預(yù)估進而進行其精準設(shè)計的基礎(chǔ).

因此，本文以某型航空漸開線花鍵副為研究對象，建立其彎扭耦合非線性動力學(xué)模型，考慮花鍵副的多齒嚙合行為進行航空漸開線花鍵副非線性動態(tài)嚙合力研究，并分析了不同質(zhì)量偏心對花鍵副動態(tài)嚙合力及力矩的影響規(guī)律，為設(shè)計高可靠性、高精度以及高壽命的航空漸開線花鍵副奠定了良好的理論基礎(chǔ).

1 動力學(xué)模型及動態(tài)嚙合力分析

1.1 動力學(xué)模型

圖1為航空漸開線花鍵副彎-扭耦合非線性系統(tǒng)動力學(xué)模型示意圖.該圖各軸的軸線沿z方向，本文未考慮內(nèi)、外花鍵之間的軸向作用力，因此二者的相互作用僅在xoy平面上體現(xiàn).系統(tǒng)的扭矩Td經(jīng)原動機傳遞到外花鍵，帶動內(nèi)花鍵在一定負載TL下按一定速度旋轉(zhuǎn).本文在x、y方向考慮了內(nèi)、外花鍵的支承，圖中各物理量的符號及含義如表1所示.

圖1 動力學(xué)模型示意圖

表1 物理量符號及含義

在圖1中，點Gu代表內(nèi)、外花鍵的質(zhì)量偏心位置，ρu代表二者的質(zhì)量偏心量.(xu,yu)為內(nèi)、外花鍵的形心坐標，在運行過程中，內(nèi)、外花鍵的形心因振動而未與o點重合.

1.2 系統(tǒng)動態(tài)嚙合力分析

Δnj(t)=Δn2(t)-Δn1(t)+rb(θ2-θ1)=

(x1-x2)sinφj-(y1-y2)cosφj+rb(θ2-θ1)=

(x1-x2)sinφj-(y1-y2)cosφj+Δ2

(1)

式(1)中：定義外花鍵在某一時刻某一個齒的轉(zhuǎn)角為θj：

(2)

其次，定義工作齒廓側(cè)線(假定工作齒廓側(cè)線為直線，即將花鍵齒簡化為梯形齒)與x方向的角度為φj,φj=θj-α0.

對單齒位移公式(1)求導(dǎo)，得到單齒速度公式：

(3)

本文的模型考慮了嚙合剛度和和嚙合阻尼，因此單齒嚙合力為接觸力fci和阻尼力fdj的和.分別如下：

(4)

(5)

故單對齒沿嚙合線的嚙合力Fnj為：

Fnj=fcj+fdj

(6)

綜上所述，將單對齒的沿嚙合線的嚙合力離散求和，求出所有齒總的嚙合力，將其沿坐標軸分解即得到沿x軸、y軸分量；總的嚙合力矩計算過程為將單對齒的沿嚙合線的嚙合力離散求和后乘以基圓半徑rb，即：

(7)

2 動力學(xué)方程

由本文的動力學(xué)模型可知，原動機和負載繞固定的軸旋轉(zhuǎn)，x、y方向假定不發(fā)生橫向振動，其旋轉(zhuǎn)角度分別為θM、θL；由于考慮了外花鍵和內(nèi)花鍵支撐作用，故在x、y方向內(nèi)外花鍵具有橫向振動位移xu、yu，同時具有扭轉(zhuǎn)位移θu.由于原動機-外花鍵-內(nèi)花鍵-負載之間考慮了扭轉(zhuǎn)和嚙合作用，因此各旋轉(zhuǎn)角度均不相同.本文以上述變量為花鍵系統(tǒng)的自由度，根據(jù)拉格朗日方程進行微分方程的推導(dǎo).拉格朗日方程的基本形式為：

(8)

方程(8)中：qn為廣義自由度；Fn為系統(tǒng)的廣義力；Ek為花鍵系統(tǒng)的動能；Ep為勢能；ER為系統(tǒng)的能量耗散函數(shù)；n為系統(tǒng)的自由度數(shù).

以外花鍵處為例，依次列出其動能、勢能及能量耗散函數(shù)，有(內(nèi)花鍵處公式與之類似，不再說明)：

(9)

(10)

(11)

將內(nèi)外花鍵處的動能勢能及能量耗散相加，有：

(12)

在本文中，F(xiàn)n包括內(nèi)外花鍵總嚙合力沿坐標軸方向分力、嚙合力矩、驅(qū)動力矩、阻力矩、重力、以及耦合慣性力.將上述公式代入方程(8)中，經(jīng)推導(dǎo)化簡可得花鍵副系統(tǒng)動力學(xué)方程為：

(13)

(14)

其中：

3 質(zhì)量偏心對非線性嚙合力的影響

3.1 求解方法和參數(shù)取值

本文求解方法采用四五階變步長龍格-庫塔法，其在matlab中對應(yīng)的命令為ode45.

龍格-庫塔法是一種被廣泛應(yīng)用于求解常微分方程的數(shù)值求解方法，求解精度較高，能自動起步，只需規(guī)定初始條件，后續(xù)的計算也可逐步完成.

四階龍格庫塔法的迭代公式為：

(15)

文章采用的動力學(xué)參數(shù)如下：

當漸開線花鍵副的齒數(shù)為22，壓力角為30 °，模數(shù)為2.5 mm時，各動力學(xué)參數(shù)計算方法詳見文獻[15-18],具體方程求解時的動力學(xué)參數(shù)值如表2所示.負載TL取28 N·m(輕載條件)，根據(jù)能量損耗關(guān)系，得出驅(qū)動力矩Td=30.67 N·m.不對中量取2×10-4m.輸入轉(zhuǎn)速n取為6 400 r/min.

表2 某航空漸開線花鍵副動力學(xué)參數(shù)

3.2 求解結(jié)果

系統(tǒng)的非線性動態(tài)嚙合力隨質(zhì)量偏心變化情況如圖2～9所示.

取內(nèi)花鍵質(zhì)量偏心量0不變，依次改變外花鍵質(zhì)量偏心量，得出外花鍵處的嚙合力、嚙合力矩情況.由于內(nèi)、外花鍵嚙合力為互為作用力和反作用力的關(guān)系，因此本文只分析外花鍵的受力(篇幅所限，只分析其x方向的分力變化情況).

圖2(a)、(b)為質(zhì)量偏心0，外花鍵齒上總的嚙合力沿x方向分力及其頻譜.可以看出，質(zhì)量偏心為0時，在x向不對中作用下產(chǎn)生的總的嚙合力沿x方向分力近似為一定值437.7 N.且對應(yīng)的頻譜無較為明顯的頻率分量.

(a)外花鍵各齒上總的嚙合力沿x方向分力

(b)外花鍵各齒上總的嚙合力沿x方向分力頻譜圖2 質(zhì)量偏心為0時外花鍵處嚙合力情況

圖3為無質(zhì)量偏心的動載系數(shù)變化情況.由圖可以看出，動載系數(shù)變化幅度較小，基本穩(wěn)定在0.957 17上下.

圖3 質(zhì)量偏心為0時花鍵副動載系數(shù)

圖4、圖5為花鍵副在質(zhì)量偏心為3×10-4m時花鍵受載情況.由圖4(a)、(b)可以看出，在質(zhì)量偏心為3×10-4m的條件下，外花鍵齒上總的嚙合力沿x方向分力波動幅度發(fā)生了很大的變化，在175～735 N之間波動，對應(yīng)的頻譜出現(xiàn)了一個較大的頻率分量，其值為109.4 Hz，接近于工作頻率(6 400/60=106.67).在320～532 Hz的頻段范圍內(nèi)同樣也出現(xiàn)了小的“鋸齒”.

由圖5可以看出，在質(zhì)量偏心為3×10-4m時，動載系數(shù)變化幅度較之前無質(zhì)量偏心時增大，波動范圍為0.92～0.99.

(a)外花鍵各齒上總的嚙合力沿x方向分力

(b)外花鍵各齒上總的嚙合力沿x方向分力頻譜圖4 質(zhì)量偏心為3×10-4 m時外花鍵處嚙合力情況

圖5 質(zhì)量偏心為3×10-4 m時花鍵副動載系數(shù)

圖6、圖7為花鍵副在質(zhì)量偏心為3.5×10-4m時花鍵受載情況.由圖6(a)、(b)可以看出，在質(zhì)量偏心為3.5×10-4m的條件下，外花鍵齒上總的嚙合力沿x方向分力及其頻率的最大幅值增大，其頻譜中能夠較為明顯的看到三個幅值十分小的分量，對應(yīng)的頻率分別為320.3 Hz、421.9 Hz、531.2 Hz.這些頻率分量近似滿足工作頻率的倍數(shù)關(guān)系，但其數(shù)學(xué)關(guān)系并不是十分精確，推測可能由于本文研究的模型中內(nèi)外花鍵的相對約束較弱，并不像一般意義上的聯(lián)軸器或轉(zhuǎn)子系統(tǒng)那樣兩段軸之間有外殼的強迫作用，導(dǎo)致倍頻特性較為明顯.

圖7中的動載系數(shù)波動也隨之增大，波動范圍為0.87～1.04，說明系統(tǒng)運轉(zhuǎn)逐漸變得不穩(wěn)定.推測出現(xiàn)動載系數(shù)變大和嚙合力高頻分量的原因可能為：質(zhì)量偏心的增大導(dǎo)致花鍵系統(tǒng)運行時所受慣性力增大，進而使得花鍵振動增大，該振動的頻率因質(zhì)量偏心的存在而以一倍工作頻率為主，高頻分量則是由于花鍵在運行過程中單位時間內(nèi)各齒的嚙合對數(shù)以及每對齒的嚙合次數(shù)均隨振動的增大而增加，反映到頻譜上即為高頻分量的出現(xiàn)并增大.

(a)外花鍵各齒上總的嚙合力沿x方向分力

(b)外花鍵各齒上總的嚙合力沿x方向分力頻譜圖6 質(zhì)量偏心為3.5×10-4 m時外花鍵處嚙合力情況

圖7 質(zhì)量偏心為3.5×10-4 m時花鍵副動載系數(shù)

圖8、圖9為花鍵副在質(zhì)量偏心為4×10-4m時花鍵受載情況.圖8(a)與圖6(a)相比，總的嚙合力沿x方向分力最大幅值增大，且力的方向出現(xiàn)了相反的情況.圖8(b)中出現(xiàn)了多個倍頻分量.

圖9中花鍵副動載系數(shù)繼續(xù)增大，甚至最大值達到了2.15左右，花鍵的狀態(tài)已變得混沌且不可控，嚴重影響了花鍵受載的程度，易造成花鍵齒的失效乃至威脅相關(guān)人員的生命安全.

(a)外花鍵各齒總的嚙合力沿x方向分力

(b)外花鍵各齒上總的嚙合力沿x方向分力頻譜圖8 質(zhì)量偏心為4×10-4 m時外花鍵處嚙合力情況

圖9 質(zhì)量偏心為4×10-4 m時花鍵副動載系數(shù)

圖10為外花鍵處總嚙合力沿x方向分力隨花鍵質(zhì)量偏心量的分岔圖.由圖可以看出.總嚙合力沿x向分力的變化大致分為5個階段，分別為：質(zhì)量偏心量為0時，嚙合力呈單周期狀態(tài)；偏心量區(qū)間：(0，2.2)×10-4m——2周期狀態(tài)；偏心量區(qū)間：[2.2，2.4]×10-4m——多周期狀態(tài)；偏心量區(qū)間：[2.5，3.1]×10-4m——2周期狀態(tài)；偏心量區(qū)間：[3.2，3.7]×10-4m——4周期狀態(tài)；偏心量區(qū)間：[3.8，-]×10-4m——混沌狀態(tài).

結(jié)合圖2～9，其各自對應(yīng)的質(zhì)量偏心量位于圖10相應(yīng)的狀態(tài)區(qū)間內(nèi).因篇幅所限，圖2～9未涉及的狀態(tài)未加以列出.

圖10 外花鍵處總嚙合力沿x方向分力隨質(zhì)量偏心量的分岔圖

4 結(jié)論

本文以某航空漸開線花鍵副為研究對象，建立了其彎-扭耦合非線性動力學(xué)模型及方程，并采用數(shù)值法分析了質(zhì)量偏心對航空漸開線花鍵副非線性動態(tài)嚙合力及動載系數(shù)的影響，由此得出：

質(zhì)量偏心對花鍵法向嚙合力沿x向分力及動載系數(shù)均有影響.隨質(zhì)量偏心量的增大，上述物理量的幅值和波動范圍均有不同程度的增大，由動載系數(shù)可以看出，花鍵系統(tǒng)的運行狀態(tài)隨偏心量的增大而越發(fā)地不穩(wěn)定；在頻譜方面，隨質(zhì)量偏心的增大，各物理量的頻譜在高頻處的頻率分量出現(xiàn)并增大，推測可能由于質(zhì)量偏心的增大導(dǎo)致花鍵運行時單位時間內(nèi)各齒的嚙合對數(shù)以及每對齒的嚙合次數(shù)(頻率)增加，進而影響了頻譜中的高頻部分；各頻率分量近似滿足倍頻關(guān)系，最低頻率近似等于一倍回轉(zhuǎn)頻率，但并不是十分精確的數(shù)學(xué)關(guān)系，推測可能由于本文模型涉及到的花鍵之間約束較弱，且花鍵為多齒嚙合問題，在運行過程中各齒的脫出與嚙合并不滿足嚴格的規(guī)律，從而對最終嚙合力的頻率造成了一定的影響.