基于寬度與期望值的區(qū)間值映射的若干性質(zhì)

張林芬，包玉娥

(內(nèi)蒙古民族大學(xué) 數(shù)理學(xué)院，內(nèi)蒙古 通遼 028043)

區(qū)間數(shù)及區(qū)間值映射是區(qū)間分析中的兩個(gè)重要組成部分.因此，Moore R E等[1-4]對(duì)區(qū)間數(shù)及區(qū)間值映射進(jìn)行了研究，使得區(qū)間數(shù)及區(qū)間值映射成為國(guó)內(nèi)外學(xué)者關(guān)注的熱點(diǎn)問(wèn)題.

代兵等[5]給出了區(qū)間數(shù)絕對(duì)值的概念及相關(guān)的性質(zhì)，并利用區(qū)間數(shù)的H-差和區(qū)間數(shù)絕對(duì)值的概念給出了區(qū)間值函數(shù)的極限概念及相關(guān)性質(zhì).李娜等[6]用區(qū)間數(shù)的半序關(guān)系給出了區(qū)間數(shù)集的有界及確界概念，并證明了確界的存在性定理.Luciano S等[7]利用區(qū)間數(shù)的寬度和期望值討論了區(qū)間值函數(shù)的廣義可微性(gH-可微性)問(wèn)題，并得到了一系列有價(jià)值的結(jié)論.Bao Y E等[8-10]給出了區(qū)間值映射的D-可微性和方向可微性的概念及相關(guān)性質(zhì)，并且利用區(qū)間數(shù)的寬度和期望值給出了一種新的區(qū)間數(shù)的距離公式及相關(guān)性質(zhì)，證明了其完備性.

上述文獻(xiàn)[5-6]及已有的有關(guān)區(qū)間值映射的可微性方面的研究工作均在區(qū)間數(shù)的半序關(guān)系下涉及到區(qū)間數(shù)的H-差或gH-差.區(qū)間數(shù)的序關(guān)系及差運(yùn)算的復(fù)雜性，對(duì)研究工作帶來(lái)了一定的難度.從而受文獻(xiàn)[7]的啟發(fā)，在文獻(xiàn)[8-10]的基礎(chǔ)上，利用區(qū)間數(shù)的寬度和期望值，給出區(qū)間數(shù)的一種新的全序關(guān)系，并討論區(qū)間數(shù)集的有界及確界的存在性問(wèn)題.同時(shí)利用寬度函數(shù)和期望值函數(shù)討論區(qū)間值映射的極限、連續(xù)性及可微性問(wèn)題.

1 區(qū)間數(shù)集的有界性

下面利用期望值與寬度給出區(qū)間數(shù)的一種全序關(guān)系，并討論此全序關(guān)系下的區(qū)間數(shù)集的有界性及確界的存在性問(wèn)題.

設(shè)a為A的任意上界，a0為A的一個(gè)上界.若a0≤a，則稱a0為A的上確界.記作a0=supA.同樣的方法可定義A的下界和下確界b0=infA.

定義4[6]設(shè)A為一個(gè)非空的區(qū)間數(shù)集.若A既有上界又有下界，則稱A為有界的區(qū)間數(shù)集.

且易證a0為A的一個(gè)上界，b0為A的一個(gè)下界.

2 區(qū)間值映射的極限與連續(xù)性

下面利用期望值函數(shù)和寬度函數(shù)討論區(qū)間值映射的極限和連續(xù)性問(wèn)題.

所以F(x)在x=x0處若存在極限，則有唯一的極限.

定理3 設(shè):

于是根據(jù)實(shí)值函數(shù)的極限性質(zhì)，有:

又由性質(zhì)1得:

于是根據(jù)實(shí)值函數(shù)的極限性質(zhì)有:

又因?yàn)榇嬖讦?0，當(dāng)0<|x-x0|<δ時(shí),有:

于是根據(jù)實(shí)值函數(shù)極限的兩邊夾定理，有:

下面討論區(qū)間值映射的EW-連續(xù)性問(wèn)題.

定理6 若區(qū)間值映射:

均在x0處EW-連續(xù)，則:

(i)F+G在x0處EW-連續(xù)；(ii) 若F-HG存在，則F-HG在x0處EW-連續(xù).

所以F+G在x0處EW-連續(xù).

3 區(qū)間值映射的可微性

本節(jié)利用期望值函數(shù)和寬度函數(shù)討論區(qū)間值映射的可微性問(wèn)題.

定理7 設(shè)F:M→[R]是區(qū)間值映射，M是R中開(kāi)集，如果F在x0處EW-可導(dǎo)(x0∈M)，則F在x0處EW-連續(xù).

定理8 設(shè)F:M→[R]是區(qū)間值映射，M是R中開(kāi)集，如果F在x0處H-可導(dǎo)(x0∈M)，則F在x0處EW-可導(dǎo).

根據(jù)H-差的性質(zhì)，有:

從而:

(1)

(2)

同理可得:

(3)

(4)

于是由式(1)和式(2)有:

(5)

(6)

同理由式(3)和式(4)可以推出:

(7)

(8)

因此如果F在x0處H-可導(dǎo)，則F在x0處EW-可導(dǎo).

注1F在x0處EW-可導(dǎo)，但不一定H-可導(dǎo).

例2 設(shè)區(qū)間值映射F(x)=[x2,x3+4],x∈(-1,1)，則對(duì)x=0∈(-1,1)，有:

所以F在x0處EW-可導(dǎo)，且FEW′(0)=[0,0].

4 結(jié)論

在研究區(qū)間值優(yōu)化及區(qū)間值微分方程等理論中，區(qū)間值映射的極限及微分概念起著重要作用.本文基于區(qū)間數(shù)的期望值和寬度的全序關(guān)系，引進(jìn)了區(qū)間數(shù)集的有界及確界原理.在此基礎(chǔ)上，借助寬度函數(shù)和期望值函數(shù)給出了區(qū)間值映射的EW-極限、EW-可微等概念，并討論了相關(guān)性質(zhì).本文的研究工作避免了對(duì)區(qū)間數(shù)差運(yùn)算的討論，這對(duì)區(qū)間值映射的可微性及其應(yīng)用問(wèn)題的研究提供了一種新的思想方法.