井眼軌跡單根控制的新計算方法

魯港 鐘曉明 李勝中 來建強(qiáng)

1.北京四利通控制技術(shù)股份有限公司；2.中石化西南石油工程公司裝備處；3.中國石化中原石油工程公司裝備處

井眼軌跡控制是定向鉆井中的重要任務(wù)，在進(jìn)行井眼軌跡控制方案設(shè)計時，通常是從當(dāng)前井底的井斜角和方位角出發(fā)，鉆進(jìn)ΔL進(jìn)尺之后，井斜角和方位角達(dá)到預(yù)定值，這其中要確定未知的井眼曲率或工具面角［1-2］，使用空間圓弧模型可以比較方便地計算出設(shè)計方案參數(shù)。定向井工程師在現(xiàn)場進(jìn)行軌跡控制時，是根據(jù)鉆具組合造斜能力，先復(fù)合鉆進(jìn)某些進(jìn)尺，再滑動鉆進(jìn)至預(yù)定的井斜角和方位角；或者先滑動鉆進(jìn)至預(yù)定的井斜角和方位角，再使用復(fù)合鉆進(jìn)方式完成一個單根的剩余進(jìn)尺。在這一過程中，需要確定的施工參數(shù)是滑動鉆進(jìn)的工具面角以及復(fù)合和滑動進(jìn)尺各是多少。韓志勇［3-4］教授建議在圓弧型設(shè)計軌道控制時，使用恒裝置角曲線模式。

筆者根據(jù)現(xiàn)場定向井工程師的思路，給出了井眼軌跡單根控制設(shè)計方案的計算方法。約定本文計算公式中，凡是具有長度量綱的參數(shù)，其物理單位皆為m；角度參數(shù)的物理單位皆為弧度(rad)；井眼曲率的單位為rad/m。在算例中轉(zhuǎn)化為工程單位：角度單位為°，井眼曲率單位為(°)/30 m。

1 恒工具面角模型

在滑動鉆進(jìn)時，鉆具組合是給定的，鉆具組合造斜能力和工具面角基本上保持不變，因此用恒工具面角模型來描述滑動鉆進(jìn)所形成的井眼軌跡比空間圓弧模型更恰當(dāng)一些，因為在空間圓弧模型中，工具面角是隨井深而變化的，而恒工具面角模型［1-4］是滿足“井眼曲率和工具面角恒定”的曲線。

井斜角變化規(guī)律為

方位角變化規(guī)律為

式中，ω為工具面角，κ為井眼曲率， ΔL為井深增量，α和 α0分別為井眼軌跡上任意井深和初始井深處的井斜角，φ 和 φ0分別為井眼軌跡上任意井深和初始井深處的方位角。

定義

根據(jù)洛必達(dá)法則［5］可知：將式(1)代入式(2)，可將方位角變化規(guī)律簡寫為

記ΔN=N-N0、ΔE=E-E0、ΔH=H-H0分別為北坐標(biāo)增量、東坐標(biāo)增量和垂深增量，則當(dāng)α =α0時，

當(dāng)α ≠α0時，

式(8)、式(9)中的積分需要使用數(shù)值積分公式［5］來計算，例如Simpson數(shù)值積分公式，但是計算量比較大。方敏等［6］使用冪級數(shù)展開技巧給出了一種計算量較小的新方法。

2 單根控制方案設(shè)計

假設(shè)鉆具組合造斜率 κh是已知的，單根長度為ΔLg，復(fù)合鉆進(jìn)進(jìn)尺為ΔL1， 滑動鉆進(jìn)進(jìn)尺為 ΔL2、工具面角為 ω2，滑動鉆進(jìn)形成的井眼軌跡為恒工具面角曲線，則成立以下方程組

式中， αA和 φA分 別為當(dāng)前井底的井斜角和方位角，αB和 φB分別為預(yù)定鉆達(dá)的井斜角和方位角。

在方程組(11)，有3個未知數(shù) ΔL1、 ΔL2、 ω2，只要任給一個 ΔL1值 ，就可以確定出ΔL2值，再從后2個方程確定出工具面角ω2。從方程組(11)可得

工具面角的定義范圍是 0≤ω2＜2π。在工程上常常使用-180°≤ ω2＜180°，故本文公式中約定-π≤ω2＜π。

由于三角函數(shù)的周期性，單獨從式(11)的第1式或第2式并不能唯一確定角度 ω2，參見圖1，正確的計算公式是：

(1)當(dāng)s2+c2≠1時無解；

(2)當(dāng)|s|≤1并 且|c|≤1時：

需要注意的是，如果已知參數(shù)給定的不合適，可能求不出滑動鉆進(jìn)的工具面角 ω2。 ΔL1必須滿足的約束條件為

其中，δL=0.5 m。

圖1 工具面角的變化范圍Fig.1 Variation range of tool face angle

3 方案設(shè)計優(yōu)選

由于適當(dāng)給定復(fù)合進(jìn)尺 ΔL1就可以求出滑動鉆進(jìn)工具面角 ω2、使得單根結(jié)束時的井斜角和方位角達(dá)到預(yù)定值，這說明控制方案可以有很多種。這么多種設(shè)計方案中，必有一種設(shè)計方案是最佳的。

在做設(shè)計方案時，除了知道要控制的井斜角αB和 方位角 φB之外，實際上還知道目標(biāo)點(B)的NEH坐標(biāo) (NB,EB,HB)。不同的設(shè)計方案結(jié)束點的NEH坐標(biāo)是不同的，它與目標(biāo)點(B)的距離也是不同的，認(rèn)為這個距離達(dá)到最小時的設(shè)計方案是最佳的。

設(shè)井底(A)的NEH坐標(biāo)為 (NA,EA,HA)，復(fù)合鉆進(jìn)結(jié)束時的NEH坐標(biāo)為 (N1,E1,H1)，滑動鉆進(jìn)結(jié)束時的NEH坐標(biāo)為(N2,E2,H2)，ΔN2、ΔE2、ΔH2由式(5)～(7)或者式(8)～(10)來計算，則有：

滑動鉆進(jìn)結(jié)束點與目標(biāo)點B的距離為

改變段長 ΔL1，如果距離達(dá)到最小值，則是最佳方案，此時的 ΔL1、 ΔL2、 ω2即為最佳控制參數(shù)。圖2給出了某算例距離隨 ΔL1變 化的曲線，可見當(dāng) ΔL1增加時，距離逐漸減小，達(dá)到最小值后又逐漸增大；距離曲線的幾何特征是(單峰)下凸連續(xù)曲線，故可使用二分法求最小值點，下面給出兩種數(shù)值算法。

圖2 滑動鉆進(jìn)結(jié)束點與目標(biāo)點的距離隨復(fù)合鉆進(jìn)進(jìn)尺的變化Fig.2 Variation of the distance from the target point with the compound drilling footage

3.1 算法一

給定復(fù)合進(jìn)尺分辨率dL=0.01 m，在 ΔL1的允許取值區(qū)間(式(14))中取等間距點

如果單根長度 ΔLg≈10 m，則算法一至多需要1 000次計算就可以求出最佳控制參數(shù)的近似值，誤差至多為1 0-2，這對于工程應(yīng)用來說，近似值已經(jīng)足夠準(zhǔn)確，但是缺點是計算量比較大。

3.2 算法二

簡記Y={ΔL1,ω2,d}，稱之為一個計算點。給定復(fù)合進(jìn) 尺 精度 dL=10-m和 距 離 精度 ε=10-p，其中m≥2、p≥4,均為正整數(shù)。

(0)初始：令

分別計算滑動鉆進(jìn)結(jié)束點與目標(biāo)點B的距離，相應(yīng)的計算點記為Y[1]、Y[3]、Y[3]。

如果d[m]=min{d[1],d[2],d[3]}≤ε， 則計算點Y[m]記為最小值點，結(jié)束。

(2)判斷：如果d[m]=min{d[a],d[2],d[b]}≤ε，則計算點Y[m]為最小值點，循環(huán)結(jié)束。

(3)選擇：當(dāng)d[a]≤d[1]且d[a]≤d[2]， 稱1 /a/2是一個下凸構(gòu)型；當(dāng)d[b]≤d[2]且d[b]≤d[3]， 稱2 /b/3是一個下凸構(gòu)型。

如果 1/a/2 和 2/b/3都 是下凸構(gòu)型，則：當(dāng)d[a]≤d[b]時 ，令Y[3]=Y[2]、Y[2]=Y[a]， 轉(zhuǎn)(1)；當(dāng)d[a]＞d[b]時，令Y[1]=Y[2]、Y[2]=Y[b]， 轉(zhuǎn)(1)。如果只有1 /a/2是下凸構(gòu)型，則令Y[3]=Y[2]、Y[2]=Y[a]， 轉(zhuǎn)(1)。如果只有2/b/3是下凸構(gòu)型，則令Y[1]=Y[2]、Y[2]=Y[b]，轉(zhuǎn)(1)。否則令Y[1]=Y[a]、Y[3]=Y[b]，轉(zhuǎn)(1)。

由于復(fù)合進(jìn)尺區(qū)間每次循環(huán)后都縮小1/2，故至多計算M次就可以求出近似最小值點。

取 δL=0.5 m， ΔL1max= 9.5 m， dL=10-6m，則M≈23，這個次數(shù)比算法一的1 000次減少50多倍。

4 算例

4.1 算例1

為檢驗算法二的性能，制作一個算例。設(shè)計鉆具組合造斜能力 κh=7.87(°)/30 m，單根長度ΔLg=10 m，復(fù)合鉆進(jìn)長度 ΔL1=3 m，滑動鉆進(jìn)長度ΔL2=7 m，工具面角 ω2=6 0°，井底井斜角 αA=30°、方位角φA=120°，使用這些數(shù)據(jù)計算出來的單根結(jié)束時的井斜角、方位角、坐標(biāo)增量見表1，其中實數(shù)至多保留小數(shù)點后8位有效數(shù)字是為了考察算法二的性能。算法二的精度參數(shù)取 dL=ε=10-10。其求解結(jié)果為： ω2=6 0.000 000 012 7°， ΔL1=2.999 999 997 3，ΔL2=7.000 000 002 7，d=9.263×10-11，其他計算結(jié)果見表2。求解結(jié)果表明，算法二非常正確地求出了最佳設(shè)計參數(shù)。

4.2 算例2

現(xiàn)場計算中，數(shù)據(jù)一般只能保證小數(shù)點后2位有效數(shù)字。將表1中數(shù)據(jù)保留小數(shù)點后2位有效數(shù)字，見表3。算法二的求解結(jié)果為： ω2=60.277 1°，ΔL1=2.926 7， ΔL2=7.073 3，d=0.001 85，其他計算結(jié)果見表4。求解結(jié)果表明，算法二求出的最佳設(shè)計參數(shù)與制作算例時使用的參數(shù)非常接近。

表1 算例1的已知數(shù)據(jù)Table 1 Known data of example 1

表2 算例1的計算結(jié)果Table 2 Calculation result of example 1

表3 算例2的已知數(shù)據(jù)Table 3 Known data of example 2

表4 算例2的計算結(jié)果Table 4 Calculation result of example 2

4.3 算例3

待鉆井眼軌設(shè)計數(shù)據(jù)的井身點的數(shù)據(jù)見表5，由于井眼軌道設(shè)計使用的是最小曲率法(空間圓弧模型)，工具面角在設(shè)計井段上不是常數(shù)，表中的11.97°是設(shè)計井段開始點的工具面角，11.37°是結(jié)束點的工具面角。使用“復(fù)合+滑動”鉆進(jìn)方式進(jìn)行施工參數(shù)優(yōu)化設(shè)計，鉆具組合造斜能力κh=7.87(°)/30 m，使用算法二求得： ω2=19.352 1°，ΔL1=2.970 0， ΔL2=7.029 97，d=0.029 9，井身參數(shù)計算結(jié)果見表6。

表5 算例3的已知數(shù)據(jù)Table 5 Known data of example 3

表6 算例3的計算結(jié)果Table 6 Calculation result of example 3

5 結(jié)論

(1)對于現(xiàn)場單根控制問題，用“線段+恒工具面曲線”建立了“復(fù)合+滑動”鉆進(jìn)數(shù)學(xué)模型，給出了使用正弦值和余弦值計算工具面角的正確公式。

(2)對于單根控制設(shè)計的求解，使用最優(yōu)化思想給出了兩個數(shù)值算法，尤其是算法二的計算量很小，滿足實時控制的要求。

(3)使用理論模型算例和實際鉆井?dāng)?shù)據(jù)對算法進(jìn)行了大量驗證，結(jié)果表明，在理論模型算例的情形，算法二能夠無限精確地反求出理論模型參數(shù)；在實際鉆井?dāng)?shù)據(jù)的情形，算法二也能比較精確地求出控制參數(shù)。

(4)本文是針對現(xiàn)場定向井工程師研制的數(shù)學(xué)模型和求解算法，既可以適用于現(xiàn)場定向井工程師用于單根鉆進(jìn)時進(jìn)行施工參數(shù)設(shè)計，也可以適用于電控系統(tǒng)的實時反饋控制。