基于單微凸體的分形接觸模型及其 靜摩擦預測模型研究

李鑫，李仁軍

(1．奇瑞汽車股份有限公司，安徽蕪湖241008；2．安徽工程大學機械工程學院， 安徽蕪湖241000)

實際工程中，所有機械表面都不是絕對平滑的，粗糙表面間的接觸特性直接影響著表面間的摩擦特性．有研究結(jié)果顯示，接觸面間的靜摩擦特性是通過粗糙表面上的微凸體相互作用體現(xiàn)的[1]．在較多的研究中，基于Amontons Coulomb理論的摩擦模型應用較為普遍，該模型認為表面摩擦因數(shù)μ與表面特征參數(shù)α之間存在關(guān)系μ = tan α[2]．通過數(shù)值研究和實驗研究發(fā)現(xiàn)，粗糙面間的實際接觸面積與法向載荷之間存在線性關(guān)系，究其原因，是因為接觸面間的微凸體發(fā)生彈性變形所致．基于此分析，典型的Amontons-Coulomb摩擦理論可以解釋為接觸區(qū)域內(nèi)的剪切行為，并產(chǎn)生了恒定的剪切應力[3]．但是也有一些研究表明，在低載情況下，摩擦力與法向載荷之間并不滿足線性關(guān)系[4-5]．于是有學者對摩擦行為和表面粗糙度參數(shù)之間的關(guān)系進行了探究，研究發(fā)現(xiàn)，機械表面展現(xiàn)出來了幾何學上的自仿射特性，并在多尺度下具有分形特征[6-7]．所以，近年來，無論是在實驗研究還是在計算機數(shù)值計算研究中，對表面分析和接觸機理研究的領(lǐng)域內(nèi)均把表面分形特性作為主要的研究方向[8-9]．

“分形”的概念最早由Archard提出[10]，在接觸模型中，更小的半球微凸體在更大的尺度下出現(xiàn)，而且接觸載荷與接觸面積之間成線性關(guān)系．文獻[11]對Archard模型在粗糙面間的彈性多尺度接觸行為進行了評估，并與現(xiàn)代分形模型的結(jié)果進行了比較．文獻[12]利用Weierstrass和Mandelbrot分形函數(shù)（W-M函數(shù)）建立了描述分形表面粗糙度的基礎(chǔ)．文獻[13]利用W-M函數(shù)建立了第一個分形接觸模型（MB模型），在過去幾十年里，許多研究者都利用過該模型進行研究．文獻[14]在此模型基礎(chǔ)上研究了彈性接觸剛度和接觸阻抗．文獻[15]將MB模型擴展到三維分形表面，文獻[16]提出了一種方法來研究不同尺度下硅微機電系統(tǒng)微凸體的幾何形狀．文獻[17-18]分析了分形表面的摩擦磨損行為，文獻[19-20]將分形表面概念應用于機電領(lǐng)域．文獻[21]比較了接觸模型的統(tǒng)計學方法和分形方法，發(fā)現(xiàn)二者之間存在本質(zhì)上的不同．

然而，MB模型以及以上介紹的相關(guān)研究成果均顯示，小的接觸點會發(fā)生塑性變形，而大的接觸點會發(fā)生彈性變形．換言之，當接觸載荷和接觸面積增加時，接觸狀態(tài)由塑性變形向彈性變形轉(zhuǎn)換．這個現(xiàn)象從本質(zhì)上與經(jīng)典接觸理論相悖，而且也是不現(xiàn)實的，可能是因為在MB模型中，將單個微凸體的接觸面積視為被剛性平面所截得的面積，并且每個微凸體均完全變形．文獻[22]提出了修正的微凸體接觸模型（ME模型）以克服MB模型帶來的這些缺點，然而，他們僅提出了單個微凸體的接觸模型，而并非完整的粗糙平面的接觸模型．

本文在單微凸體ME接觸模型基礎(chǔ)上提出了完整的粗糙面接觸模型，研究了完整粗糙面的實際接觸面積和接觸載荷，并在此基礎(chǔ)上提出了靜摩擦預測模型，還研究了粗糙面間靜摩擦系數(shù)受分形維數(shù)和粗糙度系數(shù)的影響規(guī)律．與MB接觸模型不同的是，本文所研究的模型中，臨界接觸面積是與尺度相關(guān)的，而且微凸體的變形過程與經(jīng)典接觸理論也是一致的：從彈性變形到塑性變形．

1 單微凸體的ME接觸模型

根據(jù)MB接觸模型，單個微凸體的幾何輪廓可以表示為：

其中，l表示粗糙表面微凸體在頻率指數(shù)為n時的長度尺度，且有：

D為表面輪廓曲線的分形維數(shù)，G為表面輪廓功率譜的分形粗糙度系數(shù)．

圖1給出了單個微凸體的幾何輪廓．

圖1單個微凸體幾何輪廓

在MB接觸模型中，長度尺度l與微凸體的實際接觸長度相同，也就是說，微凸體均發(fā)生完全變形，即：

其中，ω是微凸體的變形高度，δ是微凸體的總高度．微凸體的臨界接觸面積為[23]：

其中，σs為材料屈服強度，E為彈性模量，K為系數(shù)．臨界接觸面積ac是與微凸體尺寸無關(guān)的常量，當實際接觸面積a＜ac時，微凸體發(fā)生塑性變形，而當a＞ac時，微凸體發(fā)生彈性變形．換言之，當接觸面積增大時，微凸體的接觸模式從塑性接觸轉(zhuǎn)變成彈性接觸．這個結(jié)論與經(jīng)典接觸模型相悖，而且也不符合實際，這樣的不足將會影響摩擦學領(lǐng)域內(nèi)的許多研究，例如摩擦、磨損、粘著等，但是，目前仍有許多學者引用MB模型進行研究．

文獻[22]通過修改微凸體接觸模型克服了上述不足，提出了ME接觸模型．ME接觸模型中增加了獨立的參數(shù)ω來描述微凸體的變形高度，其變化范圍是0≤ω≤δ，微凸體的尺寸可由（2）式表征，臨界接觸面積可以表示為：

當a＜ac時，微凸體發(fā)生彈性變形，當a＞ac時，則轉(zhuǎn)變?yōu)樗苄宰冃危冃芜^程由彈性變形開始轉(zhuǎn)變成塑性變形，這個過程與經(jīng)典接觸模型的結(jié)論相同，與MB接觸模型的結(jié)論相反．彈性接觸載荷可表達為：

彈性接觸面積正比于接觸載荷的2/3次方，這個關(guān)系滿足Hertz接觸理論．盡管ME接觸模型克服了MB接觸模型的不足，但是ME接觸模型僅限于單個微凸體，并不適用于完整的粗糙面．

2 基于ME接觸模型的靜摩擦預測模型

為了得到基于ME接觸模型的靜摩擦預測模型，需要首先得到完整接觸面上的接觸模型．下面將給出基于單個微凸體ME接觸模型的完整平面接觸模型，包括接觸載荷和接觸面積．與MB接觸模型一樣，假設(shè)粗糙表面為各向同性表面，微凸體變形不會影響相鄰的微凸體，并且在接觸過程中體積不發(fā)生變化．

如前所述，模型中微凸體的變形順序是從彈性接觸轉(zhuǎn)變成塑性變形，并且最大接觸點是彈性變形．頻率指數(shù)n的變化范圍從nmin（對應最大接觸點）到nmax（對應最小接觸點）．長度尺度l=1/γnmax取決于粗糙度測量儀器的分辨率，l=1/γnmin取決于被觀測的樣本．γ為大于1minmax的常數(shù)，研究發(fā)現(xiàn)，γ=1.5最具有代表性．

2.1 臨界頻率指數(shù)

在每個長度尺度下，微凸體的變形順序都是由彈性變形向塑性變形轉(zhuǎn)變．由前文可知，當接觸面積a小于臨界接觸面積ac時，微凸體發(fā)生彈性變形；反之則發(fā)生塑性變形．所以，所有微凸體發(fā)生彈性變形的條件是，在頻率指數(shù)為n時，最大接觸點的接觸面積an小于該尺度下的臨界接觸面積anc，當微凸體處于彈性變形狀態(tài)時，最大接觸點的接觸面積可視為截面積的一半．由0.5an＜anc和式（2）、式（5）可得：

于是有：

考慮到頻率指數(shù)n為整數(shù)，所以彈性變形的臨界頻率指數(shù)nec即為：

其中，int[?]表示取整運算．

類似，所有微凸體都發(fā)生塑性變形的條件是，在頻率指數(shù)為n時，最小接觸點的接觸面積an+1大于該尺度下的臨界接觸面積anc，于是塑性變形的臨界頻率指數(shù)為：

通過（8）式―（10）式可知，當頻率指數(shù)nmin＜n＜nec時，微凸體發(fā)生彈性變形；當nmax＞n＞npc時，微凸體發(fā)生塑性變形；當nec≤n≤npc時，若an＜anc，則微凸體發(fā)生彈性變形，若an＞anc，則微凸體發(fā)生塑性變形．

2.2 完全接觸分形模型

由MB接觸模型可知，微凸體的接觸面積不同，而且隨機分布在接觸區(qū)域內(nèi)，接觸面積a的分布函數(shù)n(a)為：

其中，amax為微凸體最大接觸面積．

接觸區(qū)域內(nèi)的實際接觸面積可表示為：

2.3 靜摩擦預測模型

生塑性變形的微凸體，當切向力逐漸增大時，只有彈性變形的微凸體最終將達到屈服極限，此時切向力就是靜摩擦力．已知Tresca屈服條件：

如前所述，由于摩擦力僅考慮彈性接觸的微凸體，且對于單個微凸體來說P*=Pe(a)，所以總摩擦力可表示為：

由（27）式和（21）式即可求得靜摩擦系數(shù)：

3 結(jié)果與討論

計算過程中所需參數(shù)如表1所示．

表1 計算所需參數(shù)

當分形維數(shù)D = 1.4，粗糙度系數(shù)G = 10-15m時，實際接觸面積Ar和接觸載荷P之間的關(guān)系如圖2所示．

從圖2中能夠看出，當實際接觸面積增加時，接觸載荷也隨之增加，而且二者近似成線性關(guān)系，斜率由材料參數(shù)、分形維數(shù)以及粗糙度系數(shù)決定．結(jié)果還證明一點，無論粗糙面間的接觸是彈性接觸還是塑性接觸，實際接觸面積與接觸載荷之間均成線性關(guān)系，這個結(jié)論與統(tǒng)計學接觸模型所得的結(jié)論一致，但是MB接觸模型得出的結(jié)論是，只有當粗糙表面間為塑性接觸時兩者才出現(xiàn)線性關(guān)系，這與本模型的結(jié)論不同．

圖3展示了分形維數(shù)D = 1.4，粗糙度系數(shù)G = 10-15m時塑性接觸面積比Ap/ Ar與接觸載荷P之間的關(guān)系．從結(jié)果（圖3）中可以看出，當接觸載荷增加時，塑性接觸面積在實際接觸面積中的占比逐漸減小，這是因為，當載荷增大時，最大接觸點的面積也隨之增加，而臨界頻率指數(shù)nec和npc不變，換言之，載荷增大后，進入彈性接觸狀態(tài)的微凸體數(shù)量變多．這個結(jié)論與MB接觸模型的結(jié)論類似．

圖2 實際接觸面積與接觸載荷之間的關(guān)系

圖3 接觸載荷與塑性面積比之間的關(guān)系

圖4給出了粗糙度系數(shù)G = 10-15m時，分形維數(shù)對靜摩擦系數(shù)的影響規(guī)律．從圖4中可以發(fā)現(xiàn)，靜摩擦系數(shù)隨載荷的增加而變大，這個結(jié)論與經(jīng)典統(tǒng)計學摩擦模型的結(jié)果相同[26]．而且，當分形維數(shù)D在1.4―1.6時，靜摩擦系數(shù)隨著分形維數(shù)的變大而增加，當D等于1.7和1.8時，靜摩擦系數(shù)反而隨之減小，這說明，對于靜摩擦系數(shù)而言存在使其達到最大值的分形維數(shù)．

圖5給出了分形維數(shù)D = 1.5時，粗糙度系數(shù)對靜摩擦系數(shù)的影響．結(jié)果顯示，粗糙度系數(shù)越大，靜摩擦系數(shù)越?。@是由G增大時，微凸體頂端的曲率半徑R減小，使得彈性接觸的微凸體百分比下降造成的．根據(jù)前面的假設(shè)，只有彈性接觸才能承受摩擦力，如果彈性接觸的微凸體比例下降，那么靜摩擦系數(shù)應該也隨之降低．

圖4 分形維數(shù)對靜摩擦系數(shù)的影響

圖5 粗糙度系數(shù)對靜摩擦系數(shù)的影響

4 結(jié)論

本文在單微凸體ME接觸模型基礎(chǔ)上提出了完整的粗糙面接觸模型，研究了完整粗糙面的實際接觸面積和接?觸載荷，并在此基礎(chǔ)上提出了靜摩擦預測模型，還研究了粗糙面間靜摩擦系數(shù)受分形維數(shù)和粗糙度系數(shù)的影響規(guī)律．從計算結(jié)果中能夠看出，實際接觸面積與接觸載荷之間成線性變化規(guī)律，而且接觸載荷增加時，塑性接觸面積在總接觸面積中的百分比下降．靜摩擦系數(shù)隨接觸載荷增加而增大，分形維數(shù)存在極值使靜摩擦系數(shù)最大，而粗糙度系數(shù)越大，靜摩擦系數(shù)越?。@些結(jié)論都與現(xiàn)有文獻或理論的結(jié)果一致．