非線性雙寡頭R&D競爭的動力學分析

劉宏珍，周偉

(蘭州交通大學數(shù)理學院，甘肅蘭州730070)

現(xiàn)如今，隨著社會的發(fā)展，企業(yè)之間的競爭越來越激烈，消費者的需求也越來越多樣化，比如說，消費者都喜歡性價比高的產(chǎn)品，物美價廉，所以企業(yè)需要站在消費者的角度考慮問題．研究和開發(fā)（Research and Development，R&D）活動可以使企業(yè)的生產(chǎn)成本降低，生產(chǎn)效率提高，所以很多企業(yè)選擇進行R&D活動，以此在市場中獲取競爭優(yōu)勢．關(guān)于R&D努力，自從D’Aspremont 和Jacquemin[1]的研究之后，企業(yè)R&D問題引起了眾多學者的關(guān)注，他們主要利用微分或差分方程的方法來研究R&D問題．Dawid等[2]通過在技術(shù)進步影響下的雙寡頭投資行為，發(fā)現(xiàn)由于推出新產(chǎn)品的影響，R&D合作的利潤高于R&D競爭．Prokop[3]基于一個二次的成本函數(shù)，指出企業(yè)R&D努力的價值由其研究的外部性決定，當公司組建合資企業(yè)時，企業(yè)投入的R&D努力值最低．文獻[4]建立了一個不同期望條件下的雙寡頭R&D競爭模型，分析了模型出現(xiàn)分岔和混沌的條件．文獻[5]提出了一個寡頭壟斷隨機研發(fā)對策的模型框架，發(fā)現(xiàn)市場可以在單一模式下生存，并可利用R&D降低生產(chǎn)成本．文獻[6-7]在R&D成果共享的條件下建立了一個兩階段動態(tài)博弈模型，且分析了模型的穩(wěn)定性．文獻[8]分析了產(chǎn)品市場競爭對手之間的R&D合作，發(fā)現(xiàn)當企業(yè)有足夠的耐心時，R&D合作是可以實現(xiàn)的．

目前，國內(nèi)也有大量學者在研究企業(yè)R&D競爭問題．袁立科等[9]指出在非對稱的Stackelberg寡頭競爭模型下，企業(yè)的R&D努力以及利潤均會受到產(chǎn)品市場行為的影響．胡榮等[10]建立了一個不同理性層次的雙寡頭R&D競爭模型，并分析了該模型均衡點的存在性與穩(wěn)定性．Askar等[11]采用有限理性和Puu方法兩種機制研究了離散時間尺度下的動態(tài)雙寡頭古諾模型，并分析了其動力學特性．趙帥等[12]通過Cournot和R&D兩個模型的對比發(fā)現(xiàn)，市場的集中度越高，技術(shù)水平進步就越大．盛昭瀚等[13]指出企業(yè)初始R&D努力的微小變化會導致企業(yè)在長期演化中出現(xiàn)巨大的差異．路正玉等[14]研究了一個多寡頭博弈模型，研究結(jié)果表明，初始條件的微小變化可能會對寡頭廠商以及市場產(chǎn)生較大影響．黃東衛(wèi)等[15-17]研究了多個企業(yè)的R&D競爭問題，為企業(yè)的R&D投入奠定了理論基礎(chǔ)．

以上文獻中，不管是國外還是國內(nèi)的學者，對企業(yè)R&D競爭的研究，都是基于線性的逆需求函數(shù)進行的，但在現(xiàn)實的市場經(jīng)濟中，很多企業(yè)的需求函數(shù)可能是非線性的，因此，本文將考慮一個非線性逆需求函數(shù)下的雙寡頭R&D競爭模型，運用理論與數(shù)值相結(jié)合的方法對該非線性模型均衡點的穩(wěn)定性與存在性進行分析，并通過Matlab數(shù)值模擬該模型在不同參數(shù)下的復(fù)雜動力學行為．

1 模型的建立

2 模型分析

3 數(shù)值模擬

僅通過以上理論分析不能動態(tài)展現(xiàn)出所建模型（10）的復(fù)雜動力學行為，因此需要通過數(shù)值模擬的方法，這樣可以直觀地反映出動態(tài)博弈進程．本文主要采用的工具有單參數(shù)分岔圖、最大Lyapunov指數(shù)圖、相圖以及吸引盆．固定參數(shù)a-c=14.8737，b=4.0593，α1=0.5767η=2.5．初值為(2.1883,2.7552)．

3.1 技術(shù)創(chuàng)新參數(shù)對模型穩(wěn)定性的影響

固定參數(shù)a-c=14.8737，b=4.0593，α1=0.5767．圖1是關(guān)于技術(shù)創(chuàng)新參數(shù)η的一維分岔圖．

圖1 模型（10）關(guān)于參數(shù)η的單參數(shù)分岔圖與最大Lyapunov指數(shù)圖

固定調(diào)整速度α2=0.3624時，系統(tǒng)（10）在η＜2.648時是穩(wěn)定的，隨著技術(shù)創(chuàng)新參數(shù)η的增加，納什均衡點的穩(wěn)定性發(fā)生改變．當η=2.648時，納什均衡點發(fā)生倍周期分岔失去穩(wěn)定性，當η＞2.904時，系統(tǒng)（10）進入混沌狀態(tài)．值得注意的是，在η=3.634至η=3.696時，系統(tǒng)（10）再次進入短暫的周期，當η＞3.696時，系統(tǒng)再次進入混沌狀態(tài)．這種從周期到混沌期間出現(xiàn)周期窗口的情況，表示為經(jīng)濟的不可預(yù)測性，如圖1（a）所示．圖1（b）是其相應(yīng)的最大Lyapunov指數(shù)圖，當Lya＜0時，系統(tǒng)處于Cournot-Nash穩(wěn)態(tài)，當Lya=0時，系統(tǒng)發(fā)生分岔失去穩(wěn)定性，當Lya＞0時，系統(tǒng)進入混沌狀態(tài)，此時意味著市場變得不穩(wěn)定．

增加調(diào)整速度，當α2=0.3924時，如圖1（c）所示，發(fā)現(xiàn)當η＜2.583時，系統(tǒng)（10）是處于穩(wěn)態(tài)的，在η=2.583時，納什均衡點發(fā)生倍周期分岔失去穩(wěn)定性，當η＞2.687時，系統(tǒng)（10）進入混沌，隨后中間出現(xiàn)了周期窗口，在η=2.817至η=2.878時，系統(tǒng)（10）進入周期，最后在η＞2.878時，系統(tǒng)（10）進入混沌．圖1（d）是對應(yīng)的最大Lyapunov指數(shù)圖，從中也可以觀察到系統(tǒng)從穩(wěn)定到混沌的變化過程．對比圖1（a）與圖1（c）可以發(fā)現(xiàn)，調(diào)整速度過大會影響系統(tǒng)的穩(wěn)定性，會導致系統(tǒng)提前進入混沌，市場陷入混亂，因此要合理調(diào)控調(diào)整速度的大?。?/p>

3.2 吸引子的演化與其吸引盆

吸引子是動力學方程的解在相圖中描繪的軌跡終態(tài)集，它是動力學系統(tǒng)在相空間中最后的穩(wěn)態(tài)，具體定義可以參見文獻[19]．通過吸引子的部分動力學行為可以研究一個系統(tǒng)的動力學行為．

圖2是系統(tǒng)（10）的吸引子演化圖．如圖2（a），當調(diào)整速度α2=0.3524時，吸引子為兩個二周期焦點，但當調(diào)整速度α2增加至0.3600時，二周期焦點會通過Neimark-Sacker分岔變成帶有毛邊的不變環(huán)，如圖2（b）；繼續(xù)增加調(diào)整速度α2，帶有毛邊的不變環(huán)會消失并出現(xiàn)兩個邊界光滑的不變環(huán)，然后不變環(huán)逐漸破裂，如圖2（c）和圖2（d）；更有趣的是，當調(diào)整速度α2增加至0.3646時，破裂的不變環(huán)重組再次形成邊界光滑的兩個不變環(huán)，如圖2（e）；最后當α2=0.3663時，不變環(huán)隨著參數(shù)的變化形成了混沌吸引子，如圖2（f）．系統(tǒng)出現(xiàn)吸引子不斷經(jīng)歷破裂形成“鎖相”后重組再次出現(xiàn)不變環(huán)的現(xiàn)象，這種現(xiàn)象意味著系統(tǒng)的無規(guī)律行為，也就是說外在條件的影響會導致市場出現(xiàn)不可預(yù)測性．

固定參數(shù)a-c=14.8737，b=4.0593，α1=0.5767，α2=0.3524，η=2.5，得到這組參數(shù)下的均衡點E2(0,8.121)，其特征值的絕對值為λ1=0.2266和λ2=6.3661，所以E2(0,8.121)是不穩(wěn)定的鞍點．如圖3（a），當α2=0.3524時，E2(0,8.121)與二周期焦點共存，黃色區(qū)域（A）是二周期焦點的吸引域，綠色區(qū)域（B）是邊界均衡點E2(0,8.121)的吸引域，深藍色區(qū)域（C）是逃逸區(qū)．增加調(diào)整速度α2至0.3600時，如圖3（b），二周期焦點會通過分岔變?yōu)閮蓚€不變環(huán)，這兩個不變環(huán)與邊界均衡點E3(8.121,0)共存，且邊界均衡點的吸引域面積會有少許增加．

圖2 系統(tǒng)（10）的吸引子演化圖

4 結(jié)論

本文基于非線性逆需求函數(shù)，建立了一個兩階段雙寡頭R&D競爭模型，從理論上研究了系統(tǒng)不動點的局部穩(wěn)定性．接下來，通過數(shù)值模擬的方法研究了調(diào)整速度和技術(shù)創(chuàng)新參數(shù)對系統(tǒng)穩(wěn) 定性的影響，發(fā)現(xiàn)隨著技術(shù)創(chuàng)新參數(shù)的增加，系統(tǒng)會發(fā)生倍周期分岔失去穩(wěn)定性進入混沌狀態(tài)，如果調(diào)整速度過大，也會導致系統(tǒng)提前失去穩(wěn)定性進入混沌狀態(tài)，所以要合理調(diào)整參數(shù)的大?。送?，通過吸引子的演化過程研究了調(diào)整速度2α對系統(tǒng)最終行為的影響，發(fā)現(xiàn)調(diào)整速度的增加會使系統(tǒng)的全局行為發(fā)生改變，出現(xiàn)一種邊界均衡與吸引子共存的現(xiàn)象，這為企業(yè)的決策提供了依據(jù)．

圖3 系統(tǒng)（10）吸引盆