例談在“數(shù)學(xué)活動(dòng)”中發(fā)展核心素養(yǎng)

帥建卓

【摘要】發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)教學(xué)研究的熱點(diǎn)問題.“數(shù)學(xué)活動(dòng)”是運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題、發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的一種有效途徑.本文以“數(shù)學(xué)活動(dòng)——測(cè)量建筑物的高度”為例進(jìn)行教學(xué)分析，提出利用估算結(jié)合操作、重視思維起點(diǎn)和豐富解決問題策略等途徑發(fā)展學(xué)生的抽象、直觀和建模等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)策略.

【關(guān)鍵詞】“數(shù)學(xué)活動(dòng)”;數(shù)學(xué)核心素養(yǎng);測(cè)量

普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）提出了數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的6個(gè)要素：數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析.在這樣的背景下，由于“數(shù)學(xué)活動(dòng)”具有獨(dú)特的內(nèi)容設(shè)計(jì)和活動(dòng)形式，其可以有效發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).本文以蘇科版教材“數(shù)學(xué)活動(dòng)——測(cè)量建筑物的高度”為例進(jìn)行分析.

一、教學(xué)過程回顧

第一階段：課前了解古人測(cè)高的智慧，估測(cè)學(xué)校教學(xué)樓的高度

學(xué)習(xí)任務(wù)：

1.上網(wǎng)學(xué)習(xí)，了解古人測(cè)高的方法.

2.估測(cè)學(xué)校教學(xué)樓的高度，記錄估測(cè)數(shù)據(jù)并求出平均值.你發(fā)現(xiàn)了什么問題？你還能提出什么問題？

3.教師參與組內(nèi)討論，研究解決測(cè)量教學(xué)樓高度的方法，確定測(cè)高的數(shù)學(xué)模型，準(zhǔn)備相關(guān)的測(cè)量工具，合作自制“簡(jiǎn)易測(cè)角儀”.

【設(shè)計(jì)意圖】教師以了解古人測(cè)高的方法創(chuàng)設(shè)一個(gè)適合活動(dòng)的情境，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣和探究欲望.教師從學(xué)生目測(cè)估計(jì)開始，逐步引導(dǎo)學(xué)生為提高估測(cè)精確度而主動(dòng)聯(lián)系已知的數(shù)學(xué)知識(shí)，從理論上掌握測(cè)量的模型和方法，為實(shí)際測(cè)量奠定基礎(chǔ).

第二階段：實(shí)地測(cè)量

1.學(xué)生分組，用不同的方法測(cè)量教學(xué)樓南樓和北樓的高度.測(cè)量時(shí)要相互配合，合理分工，至少測(cè)量三次，及時(shí)準(zhǔn)確記錄數(shù)據(jù)，并記錄測(cè)量過程中遇到的問題和困難.

（1）平行投影法：選擇晴天進(jìn)行測(cè)量，主要測(cè)量樓的影長、標(biāo)桿及其影長，并計(jì)算樓高.

（2）盲區(qū)法：測(cè)量觀測(cè)者與樓之間的距離、遮擋桿及測(cè)量者手臂長，并計(jì)算樓高.

（3）鏡面反射法：測(cè)量觀測(cè)者的眼睛離地面的距離及其與鏡子之間的距離、鏡子與樓房之間的距離，并計(jì)算樓高.

（4）測(cè)角法：測(cè)量觀測(cè)者的眼睛離地面的距離、觀測(cè)樓房頂部的仰角、觀測(cè)者與樓房之間的距離，并計(jì)算樓高.

2.學(xué)生在操場(chǎng)上測(cè)量圍墻外的醫(yī)院大樓高度.

先測(cè)量觀測(cè)樓房頂部時(shí)的仰角，前進(jìn)一段距離再次測(cè)量仰角，再利用三角函數(shù)的相關(guān)知識(shí)進(jìn)行計(jì)算.

【設(shè)計(jì)意圖】這樣可以吸引學(xué)生積極投入實(shí)地測(cè)量活動(dòng)，將枯燥的數(shù)學(xué)思考變得生動(dòng)活潑，提高小組合作能力的同時(shí)使學(xué)生積累豐富的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).任務(wù)難度逐漸提升，學(xué)生思維被引入更深處，其數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)在實(shí)踐操作中得以提升.

3.計(jì)算分析，總結(jié)反思.

根據(jù)記錄的數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算分析，求出平均高度，小組內(nèi)討論，完成活動(dòng)成果報(bào)告.

【設(shè)計(jì)意圖】測(cè)量報(bào)告提高了學(xué)生的統(tǒng)計(jì)與計(jì)算能力.經(jīng)驗(yàn)和能力在反思中落地生根.

第三階段：成果匯報(bào)

學(xué)生對(duì)比各組數(shù)據(jù)，進(jìn)行思考，談?wù)勗诒敬位顒?dòng)中遇到的問題及困難，獲得了哪些經(jīng)驗(yàn)，有了哪些成長.

第一組：我們所選用的平行投影法必須在晴天進(jìn)行測(cè)量，受天氣影響，并且樓房有屋檐，因此影子不規(guī)則，這給測(cè)量帶來一定難度.通過這次活動(dòng)，我們切身體會(huì)到數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系——實(shí)踐是檢驗(yàn)真理的唯一標(biāo)準(zhǔn).

第二組：我們采用的是盲區(qū)法.測(cè)量時(shí)我們先后換了3次遮擋樓房的木棒.當(dāng)木棒太短時(shí)，視線要完全遮擋住樓房需要站很遠(yuǎn)的距離，不方便測(cè)量;當(dāng)木棒太長時(shí)，不方便觀測(cè).因此，木棒長度要適中.在活動(dòng)中，我們感受到團(tuán)隊(duì)合作的重要性.

第三組：我們使用的是鏡面反射法.測(cè)量的最大難點(diǎn)是距離的把握.鏡子小，人站遠(yuǎn)了什么都看不到，需要不斷調(diào)整距離才能看到樓頂.通過活動(dòng)，我們積累了許多測(cè)量的經(jīng)驗(yàn).如果再做這樣的測(cè)量，那么我們一定會(huì)更加得心應(yīng)手.

第四組：我們采用的測(cè)角法需要運(yùn)用到三角函數(shù)的相關(guān)知識(shí)，制作工具較為困難，而且利用量角器制作的測(cè)角工具很難觀察刻度，測(cè)量出的仰角誤差較大，導(dǎo)致最終計(jì)算出的樓高誤差大.在這次活動(dòng)中，從制作工具到具體測(cè)量，我們組內(nèi)都進(jìn)行了多次討論，這樣才保證了活動(dòng)的順利開展.面對(duì)問題，我們應(yīng)該多深刻思考，只有這樣，才能有創(chuàng)新的火花.

【設(shè)計(jì)意圖】成果匯報(bào)讓評(píng)價(jià)方式更加多元化.從自評(píng)到互評(píng)，再到教師評(píng)價(jià)，豐富的評(píng)價(jià)方式代替了傳統(tǒng)的測(cè)試考查，更容易激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，使學(xué)生更愿意主動(dòng)、積極地參與數(shù)學(xué)活動(dòng)，從而為后續(xù)進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的能力與素養(yǎng)創(chuàng)造良好的學(xué)習(xí)氛圍.

二、剖析素養(yǎng)發(fā)展

（一）情感注入，促進(jìn)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)發(fā)展

積極的情感注入是完成學(xué)習(xí)任務(wù)的基礎(chǔ)和保障.不少學(xué)困生正是由于長期缺失數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的熱情，才逐漸失去學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.實(shí)踐證明，許多學(xué)困生對(duì)“數(shù)學(xué)活動(dòng)”表現(xiàn)出異常的興趣與熱情，主要原因是數(shù)學(xué)活動(dòng)課與一般數(shù)學(xué)課不一樣，這種課更好“玩”，還能走出課堂，所有人都參與其中，同學(xué)間、師生間積極主動(dòng)的交流更頻繁，而且完成任務(wù)有成就感，很多細(xì)節(jié)久久記憶猶新.這得益于數(shù)學(xué)活動(dòng)課特有的學(xué)習(xí)任務(wù)和組織形式，其能充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性，如上述“測(cè)高”數(shù)學(xué)活動(dòng)中，無論是交流、操作、反思，學(xué)生都親身參與，樂在其中.積極的情感投入保證了學(xué)生的深度參與以及對(duì)測(cè)高方法的深度思考，深度學(xué)習(xí)得以落實(shí).“數(shù)學(xué)活動(dòng)”教學(xué)是對(duì)常規(guī)數(shù)學(xué)教學(xué)的補(bǔ)充和拓展.長期訓(xùn)練能讓更多學(xué)生在內(nèi)心深處建立對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的信心，也能保持對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的熱情，這是促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)提升的重要保障.

（二）估算結(jié)合操作，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)

“數(shù)學(xué)活動(dòng)”教學(xué)更關(guān)注過程，因此教師可以設(shè)計(jì)更加合理的抽象活動(dòng)，并給予學(xué)生充分的動(dòng)手操作與思考的空間與時(shí)間，讓學(xué)生親身經(jīng)歷數(shù)學(xué)抽象的全過程，并在活動(dòng)過程中積累抽象的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)與方法.例如，利用測(cè)高活動(dòng)培養(yǎng)與發(fā)展學(xué)生的估算能力.首先，從目測(cè)估計(jì)教學(xué)樓的高度開始，這是估測(cè)樓高最直接也最粗糙的方法，結(jié)果誤差較大.教師可提出問題：如何讓估測(cè)結(jié)果更加準(zhǔn)確，并引導(dǎo)學(xué)生借助各種不同測(cè)量工具并數(shù)學(xué)模型進(jìn)行精細(xì)化估測(cè).學(xué)生小組利用平行投影法、鏡面反射法、盲區(qū)法、測(cè)角法進(jìn)行測(cè)量并計(jì)算，可使測(cè)量后的結(jié)果精度有效提高，但仍存在一定誤差.學(xué)生對(duì)比不同方法的估測(cè)結(jié)果與實(shí)際樓高，可以發(fā)現(xiàn)不同方法誤差的大小，并尋找原因，思考改進(jìn)措施，進(jìn)一步提高估測(cè)的精確度.在反思、總結(jié)的過程中，學(xué)生能發(fā)現(xiàn)影響測(cè)量結(jié)果的諸多問題，如地面不平、卷尺受風(fēng)影響拉不直、樓房的影子是一個(gè)面而不是一條線、測(cè)角時(shí)觀察者看不到量角器上的度數(shù)等，并針對(duì)這些問題共同商討解決方案.反思、總結(jié)后所形成的經(jīng)驗(yàn)才是真實(shí)的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).

估算與抽象總是聯(lián)系在一起，因此要想發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)，就必須要求教師能設(shè)計(jì)出更多的與抽象活動(dòng)有關(guān)的實(shí)際情境，并讓所有學(xué)生親身參與其中.

（三）重視思維起點(diǎn)，發(fā)展數(shù)學(xué)直觀素養(yǎng)

直觀想象是指借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態(tài)和變化，利用空間形式特別是圖形，理解和解決數(shù)學(xué)問題.它是發(fā)現(xiàn)和解決問題的重要方法，也是建構(gòu)抽象結(jié)構(gòu)的思維起點(diǎn).估測(cè)建筑物高度的活動(dòng)，不僅研究數(shù)量之間的關(guān)系，而且是數(shù)形結(jié)合的載體.因此，估測(cè)的思維起點(diǎn)就是借助相關(guān)幾何模型，利用勾股定理、相似三角形、三角函數(shù)等方法求值.在活動(dòng)的初始階段，教師可引導(dǎo)學(xué)生將建筑物抽象為一條線段，將測(cè)高問題轉(zhuǎn)化為求線段長度的問題.學(xué)生聯(lián)系相關(guān)數(shù)學(xué)模型就能畫出對(duì)應(yīng)的直角三角形或相似三角形，這是解決問題的第二步.在直觀的圖形中，學(xué)生能清楚分析需要測(cè)量的線段長度或角度，并利用對(duì)應(yīng)方法進(jìn)行計(jì)算.畫出圖形就聯(lián)結(jié)了現(xiàn)實(shí)世界與數(shù)學(xué)問題的聯(lián)系，也聯(lián)結(jié)了未知與已知之間的聯(lián)系.畫出直角三角形的學(xué)生會(huì)思考需要測(cè)量哪些邊或角，該如何測(cè)量，也就是具體的操作方式是什么;畫出相似三角形的學(xué)生會(huì)思考如何擺放2個(gè)三角形位置，并進(jìn)一步思考如何將其轉(zhuǎn)化為實(shí)際操作.如果平時(shí)教師能指導(dǎo)學(xué)生多做這樣的思考和實(shí)踐，將形象思維與邏輯思維相融合，就能使學(xué)生的畫圖能力在得到提升的同時(shí)，數(shù)學(xué)直觀素養(yǎng)得以發(fā)展.

（四）豐富解決問題策略，強(qiáng)化數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)

數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)指出，讓學(xué)生經(jīng)歷“問題情境——建立模型——求解驗(yàn)證”的活動(dòng)過程.教師要根據(jù)這樣的要求有意識(shí)地培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模的能力.學(xué)生從測(cè)高情境中抽象出的數(shù)學(xué)問題可能不夠簡(jiǎn)練甚至并不準(zhǔn)確，但可以通過合作交流、教師點(diǎn)撥得以規(guī)范和矯正.之后，組內(nèi)討論、分析解決問題的方法，既然目測(cè)估算誤差大，就要尋找更優(yōu)化的方案，從而主動(dòng)聯(lián)系所有已知的與測(cè)高有關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)，也就是自主構(gòu)建模型.通過活動(dòng)，學(xué)生能主動(dòng)建立下列測(cè)高模型：平行投影法、鏡面反射法、盲區(qū)法、測(cè)角法，具體模型如圖1.

得到的測(cè)高模型如何才能內(nèi)化為學(xué)生的能力與素養(yǎng)？以后碰到類似的問題怎么辦？因此，活動(dòng)必須再經(jīng)歷一次討論優(yōu)化模型的過程.經(jīng)過實(shí)踐后再反思，學(xué)生發(fā)現(xiàn)平行投影法精確度最高且比較容易操作，實(shí)用性強(qiáng)，但易受天氣影響;鏡面反射法操作較為困難，很難調(diào)整鏡子的位置，誤差也較大，但不受天氣影響;盲區(qū)法準(zhǔn)備的木棒要長短適中，如果利用鉛筆等較短的工具，就需要站在很遠(yuǎn)的位置才能遮蔽建筑物，這增加了測(cè)量距離的難度;測(cè)角法準(zhǔn)備測(cè)量工具較為困難，觀察角度誤差也較大.至此，學(xué)生構(gòu)建的測(cè)高模型系統(tǒng)基本形成，但仍不夠完整，還需要通過解決更高難度的任務(wù)加以完善.教師繼續(xù)提出問題：在操場(chǎng)上如何估測(cè)圍墻外的醫(yī)院大樓高度？當(dāng)增加了圍墻作為障礙物之后，現(xiàn)有模型均不能適用，學(xué)生會(huì)借助無障礙物時(shí)的測(cè)高經(jīng) 圖2驗(yàn)，繼續(xù)聯(lián)系其他相關(guān)的幾何圖形.此處的難點(diǎn)是圍墻到醫(yī)院大樓的距離無法測(cè)量，但人到圍墻之間的距離可以測(cè)量，因此學(xué)生會(huì)自然聯(lián)系到銳角三角函數(shù)中的“雙直角模型”（如圖2），這是測(cè)角法模型的拓展.學(xué)生完成一系列具有挑戰(zhàn)性的任務(wù)之后，測(cè)高模型也逐步得以完善.在這樣的深度學(xué)習(xí)活動(dòng)過程中，學(xué)生能自然地建構(gòu)、完善測(cè)高模型系統(tǒng)，其建模思想也能真正內(nèi)化為自身素養(yǎng).

數(shù)學(xué)建模的意識(shí)和能力要達(dá)到較高層次必然經(jīng)過一個(gè)長期訓(xùn)練的過程.從測(cè)量距離到測(cè)量?jī)傻亻g的距離再到測(cè)量高度等“數(shù)學(xué)活動(dòng)”都是培養(yǎng)學(xué)生的建模素養(yǎng).教師只有重視建模的活動(dòng)過程，才能使學(xué)生逐步積累數(shù)學(xué)建模的經(jīng)驗(yàn)和方法，并形成應(yīng)用數(shù)學(xué)模型解決現(xiàn)實(shí)問題的思維意識(shí)和習(xí)慣.

三、結(jié)束語

利用“數(shù)學(xué)活動(dòng)”發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，其并非孤立的單項(xiàng)訓(xùn)練，而是一個(gè)多種能力緊密結(jié)合、共同發(fā)展、循序漸進(jìn)的過程.因此，教師在設(shè)計(jì)相關(guān)“數(shù)學(xué)活動(dòng)”時(shí)，要以發(fā)展學(xué)生某一種或幾種素養(yǎng)為主要目標(biāo)，并輔以培養(yǎng)其他相關(guān)素養(yǎng)為次要目標(biāo).例如，在上述測(cè)高活動(dòng)中，是以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)直觀、數(shù)學(xué)建模等素養(yǎng)為主要目標(biāo)的，同時(shí)輔以發(fā)展學(xué)生邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算以及數(shù)據(jù)分析等素養(yǎng).總之，正常開展“數(shù)學(xué)活動(dòng)”是發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的一種有效途徑，值得廣大教師進(jìn)一步探索.

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