負泊松比結(jié)構(gòu)應(yīng)用于拱結(jié)構(gòu)中的探索

任 鑫,羅鈺茗,張相玉,鄧洪永,張 毅,周一一,謝億民

(1.南京工業(yè)大學 土木工程學院,江蘇 南京 211800;2.常州工學院 土木建筑工程學院,江蘇 常州 213002;3.皇家墨爾本理工大學 創(chuàng)新結(jié)構(gòu)與材料中心,澳大利亞 墨爾本 3001)

拱結(jié)構(gòu)(拱形結(jié)構(gòu))已經(jīng)廣泛應(yīng)用于工程及日常生活中,工程中諸如拱橋、隧道支撐反拱以及建筑屋頂與造型等;生活中包括拱形門窗、安全帽、鞋子及鍋蓋等。常見的拱結(jié)構(gòu)類型有三鉸拱、兩鉸拱和無鉸拱。由于拱結(jié)構(gòu)能在豎向荷載作用下產(chǎn)生水平推力[1],因此各截面的應(yīng)力以軸力為主,相比相同跨度的簡支梁,拱結(jié)構(gòu)產(chǎn)生的彎矩和剪力較小[2],具有提升結(jié)構(gòu)剛度、節(jié)省材料、增大跨度[2]和提高結(jié)構(gòu)抗震性[3]等優(yōu)點。

泊松比由法國科學家泊松(1781—1840)最先發(fā)現(xiàn)并提出。泊松比也稱作橫向變形系數(shù),數(shù)學表達式為橫向應(yīng)變(εx)與縱向應(yīng)變(εy)比值的負數(shù)[4]。泊松比是用于表示材料在單向受力時的橫向變形特性。正泊松比材料十分常見,簡單來說就是在單向受壓(拉)狀態(tài)下結(jié)構(gòu)發(fā)生壓脹拉縮的現(xiàn)象[5]。1982年,Frost等[6]首次指出某些具有胞狀結(jié)構(gòu)的材料在變形時能夠產(chǎn)生負泊松比效應(yīng),自此以后,負泊松比材料與結(jié)構(gòu)進入了人們的視野,大量的負泊松比材料與結(jié)構(gòu)相繼被發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造。近些年來,負泊松比材料和結(jié)構(gòu)被應(yīng)用到了諸多領(lǐng)域,在醫(yī)學領(lǐng)域中,負泊松比材料和結(jié)構(gòu)可以用于開發(fā)智能食道支架[7]和血管支架[8]等,在生產(chǎn)生活領(lǐng)域,負泊松比材料可用于制作釘子[9]、緩沖頭盔[10]等。

負泊松比結(jié)構(gòu)具有特殊的力學性能,如抗剪切性[11-12]、抗壓痕性[13-14]、抗斷裂強度[15]、曲面同向性[16]、能量吸收性[17]等。羅偉等[18]研究了節(jié)點半剛性對木網(wǎng)殼整體穩(wěn)定性的影響,研究表明采用半剛性節(jié)點的木網(wǎng)殼具有穩(wěn)定承載能力;Easey等[17]對于負泊松比的穹頂形結(jié)構(gòu)已有初步的研究,構(gòu)建出以正、負泊松比結(jié)構(gòu)為胞元的穹頂結(jié)構(gòu),并探究這些結(jié)構(gòu)在頂部受壓時的力學特性,研究表明以負泊松比結(jié)構(gòu)為胞元的穹頂結(jié)構(gòu)具有優(yōu)良的抗壓痕性與能量吸收性[17]。

拱結(jié)構(gòu)能將結(jié)構(gòu)受到的豎向荷載或面外力轉(zhuǎn)化為軸力[1],本文分別以實心均質(zhì)拱結(jié)構(gòu)、網(wǎng)格型拱結(jié)構(gòu)、內(nèi)凹六邊形拱結(jié)構(gòu)為研究對象,分析其在水平受壓、水平受拉、豎直受壓3種受力狀態(tài)下的拱寬變化,并探究3種拱結(jié)構(gòu)拱寬變化差異的機制。

本文著眼于拱結(jié)構(gòu)在外荷載作用下產(chǎn)生水平軸力的力學特性[19],將平面結(jié)構(gòu)彎起成拱,使負泊松比胞元的排列方向能產(chǎn)生軸力的傳遞。通過改變結(jié)構(gòu)來改變結(jié)構(gòu)軸力的傳遞形式,使負泊松比效應(yīng)得以呈現(xiàn),巧妙地運用結(jié)構(gòu)力學的知識,以期開拓負泊松比結(jié)構(gòu)在拱結(jié)構(gòu)方面的應(yīng)用。

1 結(jié)構(gòu)模型及工況介紹

1.1 內(nèi)凹六邊形負泊松比結(jié)構(gòu)特性介紹

本文采用Gibson等[20]在1982年首次提出的內(nèi)凹六邊形胞元,如圖1所示。對胞元上下兩端施加等值的壓力F1,取左側(cè)兩斜桿分析,此時左側(cè)兩斜桿中存在數(shù)值相等的軸力F2,將兩斜桿的軸向力分解為水平和豎直兩個方向的力Fx、Fy,上下兩斜桿豎直方向的分力在中軸處相互抵消而水平分力相互疊加,使得兩斜桿交界處即胞元中部向內(nèi)擠壓,斜桿與橫桿夾角β減小。當對內(nèi)凹六邊形胞元上下兩端施加等值拉力時,兩斜桿交界處胞元中部向外伸展。因此,結(jié)構(gòu)整體呈現(xiàn)受壓收縮、受拉膨脹的現(xiàn)象。

圖1 內(nèi)凹六邊形胞元(受壓狀態(tài))

1.2 拱結(jié)構(gòu)幾何構(gòu)造

圖2為3種拱結(jié)構(gòu)及其胞元詳圖,運用商業(yè)軟件Rhino進行建模,3種拱結(jié)構(gòu)采用相同的結(jié)構(gòu)尺寸以及結(jié)構(gòu)布置:跨度f=95.40 cm、矢高H=22.83 cm(即矢跨比f/H=0.239 3)、拱寬D=24.83 cm,拱底兩端為24.83 cm×1.27 cm×0.30 cm的平臺。

圖2 拱結(jié)構(gòu)及其胞元詳圖(cm)

1.3 有限元分析及3種工況簡介

本文用Abaqus6.14.2有限元軟件分析結(jié)構(gòu)形變特性?；w材料采用彈塑模型,密度為7.20 g/cm3,彈性模量為616 GPa,泊松比為0.27,網(wǎng)格的初始尺寸為0.50 mm。本文設(shè)定拱結(jié)構(gòu)的水平受壓、水平受拉、豎直受壓3種受力狀態(tài),結(jié)構(gòu)形變見圖3。

1)水平受壓:拱結(jié)構(gòu)的左側(cè)平臺鉸接,右側(cè)平臺在外力推力作用下向左水平推入3.00 mm。在拱結(jié)構(gòu)中選擇標記點進行拱寬變化和泊松比研究,標記點在外力作用方向(x方向)上的位移為εx,拱寬變化(y方向)為εy(拱寬增大時,取值為正),則標記點處的泊松比可表示為ν=-εy/εx。

2)水平受拉:拱結(jié)構(gòu)的左側(cè)平臺鉸接,右側(cè)平臺在外力拉力作用下向外水平拉出3.00 mm。標記點處泊松比的計算方法與水平受壓狀態(tài)相同。

3)豎直受壓:拱結(jié)構(gòu)的兩側(cè)平臺鉸接,跨中截面處在外力豎直壓力作用下跨中下壓3.00 mm。標記點在外力作用方向(z方向)上的位移為εz,拱寬變化(y方向)為εy,則標記點處的泊松比可表示為ν=-εy/εz。

圖3 3種受力狀態(tài)結(jié)構(gòu)形變

2 分析與討論

以內(nèi)凹六邊形拱結(jié)構(gòu)為例,拱結(jié)構(gòu)中選取3處標記點A、B、C(圖4),通過監(jiān)測標記點處的位置變化表征拱結(jié)構(gòu)的拱寬變化。選取標記點時,標記點A、B、C距離其最近拱底x方向上的距離分別為1/6f、1/2f、1/4f。經(jīng)Abaqus的模擬分析,標記點A、B、C一定范圍的形變特性數(shù)據(jù)均相近。

圖4 內(nèi)凹六邊形拱結(jié)構(gòu)的標記點(cm)

2.1 水平受壓狀態(tài)下的形變表征

圖5為實心均質(zhì)拱結(jié)構(gòu)(簡稱均質(zhì))、網(wǎng)格型拱結(jié)構(gòu)(簡稱網(wǎng)格)和內(nèi)凹六邊形拱結(jié)構(gòu)(簡稱內(nèi)凹)在水平受壓時的形變圖,圖6為3種拱結(jié)構(gòu)在水平受壓狀態(tài)下標記點A、B、C處的拱寬變化和泊松比,由于拱寬變化的數(shù)值較小,且不同結(jié)構(gòu)剛度不同,拱結(jié)構(gòu)形變相差較大,因此,拱寬變化和泊松比采用對數(shù)坐標。由圖5和6可見:在水平受壓狀態(tài)下,實心均質(zhì)拱結(jié)構(gòu)呈現(xiàn)壓脹形變。實心均質(zhì)拱結(jié)構(gòu)一端受外力推入時,整體結(jié)構(gòu)產(chǎn)生較大的軸力以抵抗外力,其形變特性與平面下的實心均質(zhì)結(jié)構(gòu)單向受壓的形變特性相似。由于正泊松比材料的壓脹性,實心均質(zhì)拱結(jié)構(gòu)整體拱寬增大。拱結(jié)構(gòu)右端水平推入時,實心均質(zhì)拱結(jié)構(gòu)標記點A、B、C處拱寬增大,且3點處泊松比均為正值,拱寬變化與泊松比正負符號一致,結(jié)構(gòu)形變符合正泊松比材料的形變特性。

圖5 3種拱結(jié)構(gòu)水平受壓形變圖

圖6 水平受壓狀態(tài)下標記點處拱寬變化和泊松比

由圖5和6還可見:在水平受壓狀態(tài)下,網(wǎng)格型拱結(jié)構(gòu)中部呈壓縮、兩端呈壓脹形變。網(wǎng)格型拱結(jié)構(gòu)水平受壓時跨中處向外拱起使胞元結(jié)構(gòu)受到拉伸,與平面的網(wǎng)格型結(jié)構(gòu)受拉狀態(tài)相似,由于正泊松比結(jié)構(gòu)受拉收縮,拱結(jié)構(gòu)跨中區(qū)域拱寬減小。拱結(jié)構(gòu)兩端受到支座較大的約束作用,結(jié)構(gòu)胞元與平面的網(wǎng)格型結(jié)構(gòu)受壓狀態(tài)相似,拱兩端區(qū)域拱寬增大。網(wǎng)格型拱結(jié)構(gòu)跨中到兩端區(qū)域,拱寬呈由減小到增大的變化趨勢。由圖5和6測得:拱結(jié)構(gòu)右端水平推入時,網(wǎng)格型拱結(jié)構(gòu)標記點A處拱寬增大且泊松比為正值;標記點B、C處拱寬減小且泊松比為負值?？梢?點的拱寬變化與泊松比正負符號一致,拱結(jié)構(gòu)AC段符合正泊松比結(jié)構(gòu)的形變特性。

對于內(nèi)凹六邊形拱結(jié)構(gòu),由圖5和6可見:在水平受壓狀態(tài)下,拱結(jié)構(gòu)的中部呈壓脹、兩端呈壓縮形變。內(nèi)凹六邊形拱結(jié)構(gòu)受到水平壓力時拱結(jié)構(gòu)向上拱起,由于負泊松比結(jié)構(gòu)具有曲面同向性[16],跨中區(qū)域中心的內(nèi)凹六邊形胞元被向外擠出得到伸展,中部區(qū)域的拱寬增大。靠近支座處的兩端區(qū)域受平臺約束作用較大,兩端區(qū)域胞元的形變與內(nèi)凹六邊形胞元受壓狀態(tài)相似,兩端區(qū)域的拱寬減小。內(nèi)凹六邊形拱結(jié)構(gòu)跨中到兩端區(qū)域,拱寬呈由增大到減小的變化趨勢。由圖5和6測得:拱結(jié)構(gòu)右端水平推入時,內(nèi)凹六邊形拱結(jié)構(gòu)標記點A、C處拱寬減小且泊松比為負值;B處拱寬增大且泊松比為正值。可見3點的拱寬變化與泊松比正負符號一致,拱結(jié)構(gòu)AC段符合負泊松比結(jié)構(gòu)的形變特性。

綜上可得,與實心均質(zhì)拱結(jié)構(gòu)和網(wǎng)格型拱結(jié)構(gòu)相比,內(nèi)凹六邊形拱結(jié)構(gòu)在一端水平推入時,跨中區(qū)域能體現(xiàn)負泊松比結(jié)構(gòu)的曲面同向性[16],兩端區(qū)域能體現(xiàn)負泊松比結(jié)構(gòu)的壓縮特性。

2.2 水平受拉狀態(tài)下的形變表征

圖7為3種拱結(jié)構(gòu)在水平受拉時的形變圖,圖8為3種拱結(jié)構(gòu)在水平受拉時標記點處的拱寬變化和泊松比。由圖7和8可見:在水平受拉狀態(tài)下,實心均質(zhì)拱結(jié)構(gòu)呈現(xiàn)拉縮形變。拱結(jié)構(gòu)產(chǎn)生抵抗外力的軸力(拉力),該軸力在實心均質(zhì)拱結(jié)構(gòu)上傳導(dǎo),此受力狀態(tài)下結(jié)構(gòu)的形變與平面實心均質(zhì)結(jié)構(gòu)受拉狀態(tài)下形變相似。根據(jù)正泊松比材料結(jié)構(gòu)拉縮的特性,實心均質(zhì)拱結(jié)構(gòu)的整體拱寬減小。拱結(jié)構(gòu)右端水平拉出時,實心均質(zhì)拱結(jié)構(gòu)標記點A、B、C處拱寬減小,3點處泊松比均為正值,拱寬變化與泊松比正負符號相反,結(jié)構(gòu)形變符合正泊松比材料的形變特性。

圖7 3種拱結(jié)構(gòu)水平受拉形變圖

圖8 水平受拉狀態(tài)下標記點處拱寬變化和泊松比

由圖7和8還可見:在水平受拉狀態(tài)下,網(wǎng)格型拱結(jié)構(gòu)中部呈拉脹、兩端呈拉縮形變。網(wǎng)格型拱結(jié)構(gòu)的一端向外拉出時,拱結(jié)構(gòu)的跨度增大、矢高與跨中區(qū)域曲率減小,但網(wǎng)格胞元不會產(chǎn)生曲面同向性[16],胞元間產(chǎn)生了互相的擠壓,中部區(qū)域拱寬增大。拱結(jié)構(gòu)兩端區(qū)域受支座約束向外拉出,由于正泊松比結(jié)構(gòu)受拉收縮的形變特征,使兩端區(qū)域拱寬縮小。網(wǎng)格型拱結(jié)構(gòu)跨中到兩端區(qū)域,拱寬呈由增大到減小的變化趨勢。由圖7和8測得:拱結(jié)構(gòu)右端水平拉出時,網(wǎng)格型拱結(jié)構(gòu)標記點A處拱寬減小且泊松比為正值;B、C處拱寬增大且泊松比為負值?？梢?點的拱寬變化值與泊松比正負符號相反,拱結(jié)構(gòu)AC段符合正泊松比結(jié)構(gòu)的形變特性。

對于內(nèi)凹六邊形拱結(jié)構(gòu),由圖7和8可見:在水平受拉狀態(tài)下,內(nèi)凹六邊形拱結(jié)構(gòu)的中部呈拉縮、兩端呈拉脹形變。拱頂平面出現(xiàn)了向下凹陷的弧度,由于內(nèi)凹六邊形結(jié)構(gòu)具有曲面同向性[16],拱結(jié)構(gòu)跨中區(qū)域拱寬略微減小。拱結(jié)構(gòu)兩端的胞元受支座約束向外拉出,由于負泊松比結(jié)構(gòu)拉脹的特性,兩端區(qū)域的拱寬增大。內(nèi)凹六邊形拱結(jié)構(gòu)跨中到兩端區(qū)域,拱寬呈由略微減小到增大的變化趨勢。由圖7和8可見:拱結(jié)構(gòu)右端水平拉出時,內(nèi)凹六邊形拱結(jié)構(gòu)標記點A、C處拱寬增大且泊松比為負值;B處拱寬減小且泊松比為正值?？梢?點的拱寬變化與泊松比正負符號相反,拱結(jié)構(gòu)AC段符合負泊松比結(jié)構(gòu)的形變特性。

綜上可得,與實心均質(zhì)拱結(jié)構(gòu)和網(wǎng)格型拱結(jié)構(gòu)相比,內(nèi)凹六邊形拱結(jié)構(gòu)在一端水平拉出時,跨中區(qū)域能體現(xiàn)負泊松比結(jié)構(gòu)的曲面同向性[16],兩端區(qū)域能體現(xiàn)負泊松比結(jié)構(gòu)的拉脹特性。

2.3 豎直受壓狀態(tài)下的形變表征

3種拱結(jié)構(gòu)跨中下壓時會產(chǎn)生馬鞍形(圖3(d))。圖9和10為3種拱結(jié)構(gòu)在豎直受壓時的形變圖和標記點處的拱寬變化及泊松比。由圖9和10可見:在豎直受壓狀態(tài)下,實心均質(zhì)拱結(jié)構(gòu)呈現(xiàn)壓縮形變。由于馬鞍形的出現(xiàn),標記點A與標記點B、C在外力方向上產(chǎn)生的位移相反,標記點A處的泊松比為負值?？缰惺艿较蛳聣毫r,拱結(jié)構(gòu)內(nèi)部的軸力(壓力)傳遞至拱底支座,產(chǎn)生水平推力,在該受力狀態(tài)下實心均質(zhì)拱結(jié)構(gòu)的形變與該平面實心均質(zhì)結(jié)構(gòu)受壓形變相似,故拱寬增大。

圖9 3種拱結(jié)構(gòu)豎直受壓形變圖

圖10 豎直受壓狀態(tài)下標記點處拱寬變化和泊松比

由圖9和10還可見:在豎直受壓狀態(tài)下,網(wǎng)格型拱結(jié)構(gòu)的中部呈壓脹、兩端呈壓縮形變。標記點A位于馬鞍形的外拱處,在跨中被向下壓低時標記點A由于向外拱起產(chǎn)生與外力方向相反的位移,故標記點A處的泊松比為正值。豎直壓力時,中部網(wǎng)格胞元曲率快速減小但網(wǎng)格胞元長度變化較小,因此各個網(wǎng)格胞元結(jié)構(gòu)間產(chǎn)生壓脹,網(wǎng)格型拱結(jié)構(gòu)中部拱寬增大;網(wǎng)格型拱結(jié)構(gòu)受豎直壓力發(fā)生馬鞍形外拱形變,外拱處部分網(wǎng)格胞元向外擠出使得胞元結(jié)構(gòu)產(chǎn)生伸展,導(dǎo)致兩端拱寬減小。

對于內(nèi)凹六邊形拱結(jié)構(gòu),由圖9和10可見:在豎直受壓狀態(tài)下,內(nèi)凹六邊形拱結(jié)構(gòu)整體呈壓縮形變。標記點A位于馬鞍形的外拱處,在拱結(jié)構(gòu)整體拱寬減小的情況下標記點A、B、C產(chǎn)生了不同方向的受力位移εz,標記點A處的泊松比為正,標記點B、C處的泊松比為負。3點的拱寬變化與泊松比正負符號相反,拱結(jié)構(gòu)整體符合負泊松比結(jié)構(gòu)的形變特性。

綜上可得,與實心均質(zhì)拱結(jié)構(gòu)和網(wǎng)格型拱結(jié)構(gòu)相比,內(nèi)凹六邊形拱結(jié)構(gòu)在豎直受壓時,拱結(jié)構(gòu)整體能體現(xiàn)負泊松比結(jié)構(gòu)的壓縮特性。

3 結(jié)論

1)實心均質(zhì)拱結(jié)構(gòu)在受到水平拉(壓)力時,拱結(jié)構(gòu)中傳遞拉(壓)力,拱結(jié)構(gòu)整體寬度會發(fā)生收縮(膨脹);受到豎直壓力時,拱結(jié)構(gòu)截面產(chǎn)生壓應(yīng)力,拱結(jié)構(gòu)整體寬度發(fā)生收縮。該現(xiàn)象表明,正泊松比材料的等截面平面結(jié)構(gòu)彎起成拱結(jié)構(gòu)時,其形變特性符合壓脹拉縮的形變特點。

2)對網(wǎng)格型拱結(jié)構(gòu)進行分析，當正泊松比胞元結(jié)構(gòu)彎曲形成拱結(jié)構(gòu),在受水平拉(壓)力時,結(jié)構(gòu)整體寬度變化不一致,正泊松比結(jié)構(gòu)壓脹拉縮的形變特性不能通過結(jié)構(gòu)整體得到體現(xiàn),正泊松比效應(yīng)體現(xiàn)在結(jié)構(gòu)的局部區(qū)域。胞元拱結(jié)構(gòu)發(fā)生形變時,結(jié)構(gòu)的整體寬度與胞元結(jié)構(gòu)的曲率變化率及截面?zhèn)鬟f的應(yīng)力有關(guān)。

3)當平面的正/負泊松比胞元結(jié)構(gòu)彎曲成拱結(jié)構(gòu)時,在水平受拉(壓)狀態(tài)下,拱結(jié)構(gòu)整體寬度變化不一致,負泊松比壓縮拉脹的特性以及曲面同向性[16]可在結(jié)構(gòu)局部呈現(xiàn),但不能在結(jié)構(gòu)整體形變中體現(xiàn)。相同受力狀態(tài)下,正/負泊松比胞元組成的拱結(jié)構(gòu),拱寬變化未必有整體一致性;結(jié)構(gòu)胞元為正/負泊松比結(jié)構(gòu)時,結(jié)構(gòu)在相近位置或相同區(qū)域的形變特性也有所不同,表明拱結(jié)構(gòu)的形變性與組成其胞元的正/負泊松比特性有關(guān)。