解答分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)問(wèn)題的教學(xué)策略

黃英秀

【摘要】本文論述分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)的教學(xué)策略，教師引導(dǎo)學(xué)生抓住關(guān)鍵詞句厘清解題思路，以數(shù)形結(jié)合畫出線段圖理解題意，巧用常用公式，強(qiáng)化分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)概念知識(shí)之間的融會(huì)貫通，搭建比較量和對(duì)應(yīng)分率之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，從不同角度分析理解題意，真正掌握分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)問(wèn)題的解題方法，提高學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力。

【關(guān)鍵詞】分?jǐn)?shù) 百分?jǐn)?shù) 數(shù)形結(jié)合 公式

【中圖分類號(hào)】G 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A

【文章編號(hào)】0450-9889（2021）45-0125-02

分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)是人教版數(shù)學(xué)六年級(jí)教材的重要內(nèi)容，是數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的重點(diǎn)，也是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn)。不少年輕的特崗教師在教學(xué)這一知識(shí)內(nèi)容時(shí)感到很困惑，不懂得如何幫助學(xué)生分析理解有關(guān)分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)問(wèn)題的題意。那么，如何正確有效地引導(dǎo)學(xué)生理解題意，掌握解題方法、提高教學(xué)質(zhì)量呢？下面，以分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)問(wèn)題的教學(xué)為例，探析數(shù)學(xué)課堂教學(xué)策略。

一、抓住關(guān)鍵，厘清思路

解決分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)實(shí)際問(wèn)題的核心在于正確地找出題目中的數(shù)量關(guān)系。而數(shù)量關(guān)系大多隱藏在關(guān)鍵句中，教師要指導(dǎo)學(xué)生抓住關(guān)鍵句進(jìn)行分析。分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)的關(guān)鍵句一般就是含有分率的句子。教學(xué)時(shí)，教師引導(dǎo)學(xué)生先用橫線畫出含有分率的句子進(jìn)行分析，利用課前3分鐘經(jīng)常進(jìn)行訓(xùn)練。如：（1）一袋米，吃了[13];（2）白兔的只數(shù)比黑兔多[14];（3）水的體積是冰的體積的[910];（4）實(shí)際比原計(jì)劃節(jié)約了[15];（5）松鼠尾巴的長(zhǎng)度占身體長(zhǎng)度的[34]。學(xué)生讀題后思考：這些分?jǐn)?shù)表示什么意義，單位“1”是哪個(gè)量？是把單位“1”平均分成了幾份，其中的幾份是哪個(gè)量，對(duì)應(yīng)量是總數(shù)量的幾分之幾，它們之間有什么樣的關(guān)系？你能寫出它們之間的等量關(guān)系嗎？根據(jù)這些問(wèn)題，學(xué)生很快發(fā)現(xiàn)：（1）[13]表示把一袋大米的重量看作單位“1”，平均分成3份，吃了其中的1份，吃了的大米的重量就是這袋大米重量的[13]，這袋大米的重量[×][13]=吃了的大米的重量。如果要引導(dǎo)學(xué)生發(fā)散思維，還可以繼續(xù)追問(wèn)，其他2份指的是什么，它和單位“1”之間又有什么關(guān)系，怎樣列出等量關(guān)系式？（2）把黑兔的只數(shù)看作單位“1”平均分成4份，白兔的只數(shù)比黑兔多1份，白兔的只數(shù)就是4+1=5份，白兔的只數(shù)是黑兔的[54]，黑兔的[14]就是白兔比黑兔多的只數(shù)。這里可以列出兩個(gè)等量關(guān)系式：黑兔只數(shù)[×][54]=白兔的只數(shù)，黑兔只數(shù)[×][14]=白兔比黑兔多的只數(shù)。結(jié)合后面的三個(gè)句子，學(xué)生可以參照解題思路和方法獨(dú)立分析完成。由此得出，在解決分?jǐn)?shù)的實(shí)際問(wèn)題時(shí)，教師可以引導(dǎo)學(xué)生找出題目中關(guān)鍵的分率句，并分析列出等量關(guān)系式，再根據(jù)題目中其他的信息和問(wèn)題，采用方程或者算術(shù)方法來(lái)列式計(jì)算。

二、數(shù)形結(jié)合，理解題意

數(shù)形結(jié)合是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的重要思想方法，借助這種方法可以將抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)變得直觀并且具有可操作性，從而幫助學(xué)生快速解題。線段圖是數(shù)形結(jié)合的一種重要方式，通過(guò)畫線段圖，學(xué)生可以把晦澀難懂的問(wèn)題變得清晰明了。因此，在解決分?jǐn)?shù)問(wèn)題時(shí)，教師把題中的信息用線段圖準(zhǔn)確地畫出來(lái)，對(duì)幫助學(xué)生理解題意、分析數(shù)量關(guān)系，起到“撥云見日”的效果。那么，如何指導(dǎo)學(xué)生正確畫出線段圖，把分?jǐn)?shù)問(wèn)題里的“數(shù)”和線段圖里的“形”有效結(jié)合起來(lái)，達(dá)到事半功倍的效果呢？要讓學(xué)生理解分子和分母對(duì)應(yīng)的量是從屬關(guān)系還是平行關(guān)系，也就是要用一條線段還是兩條線段來(lái)表示，要先引導(dǎo)學(xué)生找出單位“1”的量，把它用一條線段來(lái)表示，再平均分成對(duì)應(yīng)的份數(shù)。其中的“幾份”就是單位“1”的一部分，可以在圖中直接表示出來(lái)。如上述“（1）一袋米，吃了[13]”“（5）松鼠尾巴的長(zhǎng)度占身體長(zhǎng)度的[34]”，就只需畫一條線段。從線段圖可以清楚地看出松鼠的身體長(zhǎng)度被平均分成了4份，尾巴長(zhǎng)度占其中的3份，即身體長(zhǎng)度的[34]=尾巴長(zhǎng)度。當(dāng)其中的幾份不是單位“1”的一部分時(shí)，就要畫另外一條線段，用兩條線段來(lái)表示兩個(gè)量之間的關(guān)系，每條線段的前面注明畫的是什么量。如“（2）白兔的只數(shù)比黑兔多[14]”“（3）水的體積是冰的體積的[910]”“（4）實(shí)際比原計(jì)劃節(jié)約了[15]”，就可以畫兩條線段。從“（4）實(shí)際比原計(jì)劃節(jié)約了[15]”線段圖可以看出，原計(jì)劃就是將標(biāo)準(zhǔn)量這條線段平均分成5份，實(shí)際上這條線段比原計(jì)劃的線段少了1份，因此實(shí)際是原計(jì)劃的[45]。

三、巧用公式，化繁為簡(jiǎn)

小學(xué)數(shù)學(xué)教材中有很多常見的公式，利用這些公式有時(shí)可以快速解決生活中的一些問(wèn)題。工程問(wèn)題是一類常見的分?jǐn)?shù)問(wèn)題，主要解決了工作和行程問(wèn)題。這類問(wèn)題的主要特點(diǎn)是把工作總量和總行程看作“1”，但由于題型千變?nèi)f化，很多學(xué)生不知道如何分析。巧妙利用工作總量、工作效率、工作時(shí)間，路程、速度、時(shí)間三者之間的公式，可以化繁為簡(jiǎn)，使解題思路清晰明了。

如有一批零件，張伯伯單獨(dú)做需要12天完成，李叔叔單獨(dú)做需要18天完成，問(wèn)題：（1）兩人合做，幾天能完成？（2）李叔叔單獨(dú)做5天后，兩人合做，還要幾天能完成？（3）兩人合做3天后，由李叔叔單獨(dú)做，一共需要幾天能完成？（4）兩人合做，5天能修完這條路的[23]嗎？從表面上看，這4個(gè)問(wèn)題一個(gè)比一個(gè)繁瑣，但只要引導(dǎo)得當(dāng)，學(xué)生很快就能理解題意并解決問(wèn)題。在教學(xué)時(shí)，教師要先讓學(xué)生自己觀察，發(fā)現(xiàn)這些這些問(wèn)題的共性：都是求工作時(shí)間，那么必然都要用到“工作量/工作效率=工作時(shí)間”這個(gè)公式;再引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步分析：是兩人合作，還是單人完成？由此找出對(duì)應(yīng)的工作效率，如第（1）（2）（4）問(wèn)中最后是兩人合作，就要除以兩人的工作效率和，第（3）問(wèn)是由李叔叔單獨(dú)做，其對(duì)應(yīng)的是李叔叔的工作效率。要明確“工作量”是總量還是部分量，如（1）的工作量是單位“1”，（2）（3）（4）題只是部分量，（2）的工作量是：1-[118][×]5，（3）的工作量是：1-（[112]+[118]）[×]3，（4）的工作量是：[23]。只有將思路捋清，這些問(wèn)題才能全部迎刃而解。這樣教學(xué)，教師注意讓學(xué)生理解、記憶和背誦常用的公式，以便運(yùn)用起來(lái)得心應(yīng)手。

四、算法多樣，融會(huì)貫通

分?jǐn)?shù)、比、除法之間是互通的，可以相互轉(zhuǎn)換。在解決分?jǐn)?shù)問(wèn)題時(shí)，教師可以用比和比例等知識(shí)，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)多種算法，提高分析解決問(wèn)題的能力。如解這類題目：學(xué)校圖書館故事書的本數(shù)是圖書總數(shù)的[25]，已知故事書有300本，圖書館一共有多少本書？“故事書的本數(shù)是圖書總數(shù)的[25]”可以表示成“故事書的本數(shù)：圖書總數(shù)=2[∶]5”。這樣一來(lái)，這道題可以用分?jǐn)?shù)知識(shí)解決，根據(jù)數(shù)量關(guān)系式：圖書總數(shù)×[25]=故事書本書，列式300÷[25];也可以用按比的知識(shí)解決，先求每份的量，再求總數(shù)量300÷2×5;還可以用解比例的方法求得：300[∶]x=2[∶]5。

又如和（差）倍問(wèn)題有：“一套衣服300元，褲子的價(jià)錢是上衣的[23]。上衣和褲子的價(jià)錢分別是多少？”傳統(tǒng)的教學(xué)方法是根據(jù)等量關(guān)系式列方程來(lái)解答，但這種方法對(duì)中下水平的學(xué)生來(lái)說(shuō)，不管是對(duì)題意的分析理解，還是列式計(jì)算的過(guò)程，難度都比較大。如果把分?jǐn)?shù)[23]轉(zhuǎn)換成褲子來(lái)理解，即“上衣=2[∶]3”，學(xué)生豁然開朗：褲子2份，上衣3份，這套衣服一共有2+3=5份，求出每份數(shù)300÷5=60元，褲子2份：2×60=120元，上衣3份：3×60=180元。這樣教學(xué)，學(xué)生學(xué)會(huì)運(yùn)用多種算法解題，有效提高了數(shù)學(xué)分析解決問(wèn)題的能力。

五、強(qiáng)化概念，提升能力

概念是數(shù)學(xué)知識(shí)的分子，是進(jìn)行數(shù)學(xué)邏輯思維的基本要素，運(yùn)用已有的數(shù)學(xué)概念進(jìn)行比較、分析、綜合、判斷、推理的過(guò)程，就是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)的過(guò)程。學(xué)生正確理解和掌握了數(shù)學(xué)概念，才能準(zhǔn)確、有效、分析解決問(wèn)題。如根據(jù)“百分?jǐn)?shù)表示一個(gè)是另一個(gè)數(shù)的百分之幾，百分?jǐn)?shù)也叫百分率或百分比”這個(gè)概念，可以輕松解決百分?jǐn)?shù)的有關(guān)問(wèn)題。在解決求各種百分率，如命中率、發(fā)芽率、達(dá)標(biāo)率、出勤率、出油率等和“增產(chǎn)百分之幾”“節(jié)約百分之幾”等典型百分?jǐn)?shù)問(wèn)題時(shí)，如果教師生硬地出示公式讓學(xué)生背誦，然后根據(jù)公式直接列式計(jì)算，那么，學(xué)生是很難理解和接受的，也不利于學(xué)生發(fā)展思維能力，提升其分析解決問(wèn)題的能力。教學(xué)要讓學(xué)生知其然，更知其所以然。以達(dá)標(biāo)率為例，教師在教學(xué)時(shí)可以提問(wèn)學(xué)生：根據(jù)百分?jǐn)?shù)的意義，達(dá)標(biāo)率的意義應(yīng)怎樣表示？（達(dá)標(biāo)學(xué)生人數(shù)是總?cè)藬?shù)的百分之幾）發(fā)芽率、命中率呢？這些百分率的概念有什么共同特點(diǎn)？（都是求一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的百分之幾，因此要用除法來(lái)計(jì)算。）再如“求增產(chǎn)百分之幾”，也可根據(jù)百分?jǐn)?shù)的概念理解成：求增產(chǎn)的部分是原計(jì)劃的百分之幾，即用增產(chǎn)的部分÷原計(jì)劃×100%。學(xué)生在充分理解百分?jǐn)?shù)的意義后，不用死記硬背公式，自然而然列式解答，進(jìn)一步提升分析理解能力。

六、一一對(duì)應(yīng)，搭建橋梁

在解決分?jǐn)?shù)和百分?jǐn)?shù)的問(wèn)題中，至少要有兩個(gè)量，即單位“1”的量和比較量（部分量）。已知單位“1”的量，求比較量（部分量）用乘法列式，比較量=單位“1”的量×比較量（部分量）的對(duì)應(yīng)分率;已知比較量（部分量），求單位“1”的量，用除法列式，單位“1”的量=比較量（部分量）÷比較量（部分量）的對(duì)應(yīng)分率。因此，只要找出這些比較量的對(duì)應(yīng)分率，在它們之間搭建起溝通的橋梁，就能有效地解決一般的分?jǐn)?shù)乘除法應(yīng)用題。

例如：學(xué)校里有楊樹180棵，柳樹的棵數(shù)比楊樹少[14]，柳樹有多少棵？可以先讓學(xué)生理解題意，明確單位“1”是楊樹的棵數(shù)，比較量柳樹的棵數(shù)對(duì)應(yīng)的分率是楊樹的（1-[14]），求柳樹的棵數(shù)列式為：180×（1-[14]）。又如：班級(jí)圖書角有故事書40本，比科技書的本數(shù)多20%，科技書有多少本？這道題的標(biāo)準(zhǔn)量（單位“1”）即科技書的本數(shù)是未知的，比較量故事書的本數(shù)是40本，對(duì)應(yīng)的分率是科技書本數(shù)的（1+20%），即求標(biāo)準(zhǔn)量科技書的本數(shù)就是40÷（1+20%）。

總之，在教學(xué)分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)時(shí)，教師要深挖教材，了解學(xué)生的知識(shí)水平和分析理解能力;通過(guò)改變單一的教學(xué)模式，引導(dǎo)學(xué)生抓住關(guān)鍵的詞句;通過(guò)數(shù)形結(jié)合畫出線段圖，巧用常用公式;強(qiáng)化分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)概念，將知識(shí)之間融會(huì)貫通;搭建比較量和對(duì)應(yīng)分率之間的橋梁，并建立一一對(duì)應(yīng)關(guān)系等。由此，學(xué)生可以從不同角度分析理解題意，選擇適合自己的方法來(lái)解答問(wèn)題，有效提高了學(xué)習(xí)效率。

（責(zé)編 楊 春）