躍過數(shù)學(xué)錯誤頻發(fā)這道“坎”

梁遠江

【摘要】本文分析學(xué)生在某一個數(shù)學(xué)問題上經(jīng)常性地出現(xiàn)同樣錯誤的原因，即一方面與學(xué)生自身對數(shù)學(xué)知識掌握不牢與概念不清有關(guān)，另一方面與學(xué)生心理因素有關(guān);認為教師利用好這些錯誤資源，可以幫助學(xué)生從錯誤產(chǎn)生的心理層面剖析原因，并尋求對策，從而喚醒學(xué)生的認知沖突，引導(dǎo)學(xué)生辨析，幫助學(xué)生建立正確的知識系統(tǒng)，有效地提高數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量。

【關(guān)鍵詞】小學(xué)數(shù)學(xué) 錯因分析 心理成因 方法對策

【中圖分類號】G 【文獻標識碼】A

【文章編號】0450-9889（2021）45-0046-03

小學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，經(jīng)常犯不同的錯誤在所難免，可有些問題哪怕老師一而再再而三苦口婆心地反復(fù)提醒、交代，可是部分學(xué)生仍然舊“病”復(fù)發(fā)，甚至有些成績中下的學(xué)生還會發(fā)展成“頑疾”，表現(xiàn)出持久性與多發(fā)性的特點。許多老師都簡單地將這一切歸咎為學(xué)生粗心大意或答題不認真或上課開小差等外因所致。其實不然，仔細分析學(xué)生產(chǎn)生錯誤的深層原因，我們不難發(fā)現(xiàn)，這其實是學(xué)生錯誤心理在作祟。一般來說，教師幫助學(xué)生找到真正“病因”對癥施治，遠比老師簡單重復(fù)地對同一錯誤反復(fù)說教，或讓學(xué)生進行同類習(xí)題反復(fù)操練，效果來的明顯。下面試分析學(xué)生常存在的錯誤。

一、“思維干擾型”錯誤

【例1】[16]÷（[12]+[13]）

〖錯因分析〗這一道計算題很簡單，根據(jù)四則混合運算法則，先算小括號里面的加法，再算小括號外面的除法?？珊芏嗤瑢W(xué)一開始都把它錯誤計算成“[16]÷（[12]+[13]）=[16]÷[12]+[16]÷[13]”，這樣做顯然是不對的。學(xué)生為什么會有這樣的思維過程呢？一開始筆者批評了這些同學(xué)，同學(xué)們臉上還是寫滿了“委屈”。心想，這怎么會錯呢？滿臉的不甘心。后來筆者找來其中一位學(xué)習(xí)較好的學(xué)生，問他：“你為什么這樣做？你是怎么想的？”學(xué)生答：“我這里用的明明是乘法分配律，沒錯啊。”聽了這席話，筆者頓時恍然大悟，原來是“乘法分配律”干擾了學(xué)生的正確思維。

〖心理成因〗從心理學(xué)角度分析可知，思維本是人腦對客觀事物的本質(zhì)和規(guī)律的間接的或是概括的一種反映。小學(xué)生的思維一般具有自覺性、獨立性、靈活性比較差的特點，他們往往不考慮或很少考慮題目內(nèi)容和條件的變化，仍然以已有舊經(jīng)驗來解答新問題，表現(xiàn)出思維的惰性。錯例中導(dǎo)致學(xué)生演算錯誤的是受已學(xué)“乘法分配律”的思維定式的干擾所致。因為學(xué)生腦海中已牢牢鎖定“乘法分配律”的固定模式為“（a±b）c=ac±bc”，部分學(xué)生直接遷移到除法中，得出“（a±b）÷c=a÷c±b÷c”的錯誤結(jié)果，并有這樣的知識體驗。因此當(dāng)他們遇到新題中的數(shù)字在位置排列上，類似或接近乘法分配律中數(shù)字的排列特征時，就容易受固有思維定式的干擾，仍“舊調(diào)重彈”誤入歧途。

〖方法對策〗要克服這類思維定式的負遷移或思維消極作用導(dǎo)致的錯誤，教師一是要用好學(xué)生在學(xué)習(xí)中生成的動態(tài)錯誤資源，引導(dǎo)學(xué)生進行多角度的觀察、比較，將原題與（[12]+[13]）÷[16]作比較，使學(xué)生產(chǎn)生對正、誤兩種解題思路認識上的沖突。他們弄清后就會發(fā)現(xiàn)，一個算式表面上看是除以[16]，其實可以理解為乘[16]的倒數(shù)（即乘6），當(dāng)然可以用乘法分配律進行計算（即[12]÷[16]+[13]÷[16]），而原題算式中除以的卻是一個整體（即兩數(shù)之和），二式有本質(zhì)的區(qū)別。教師引導(dǎo)學(xué)生進行觀察、對比，讓學(xué)生明白，兩數(shù)和的倒數(shù)不等于這兩數(shù)的倒數(shù)之和的算理。在具體教學(xué)中，教師要考慮不同學(xué)段學(xué)生的年齡及心理特征以及學(xué)生已有知識經(jīng)驗的儲備，教給他們必要的思維方法，注重學(xué)生思維靈活性的培養(yǎng)，強化一題多變的練習(xí)，讓學(xué)生在對比、思辨中反思錯誤。只有深挖學(xué)生錯誤的深層根源，才能從源頭上杜絕此類問題的繼續(xù)“蔓延”。

二、“條件反射型”錯誤

【例2】21.3+78.7-21.3+78.7=

〖錯因分析〗很多學(xué)生一拿到題后，不假思索，就在答案后面填寫一個0。很明顯，錯例中“21.3+78.7=100”，給了學(xué)生很大的視覺“刺激”，這是因為在這之前學(xué)生有過“湊整”思想的強刺激影響。如“182+18，2.5×4，1.25×0.8”等這一類計算，曾經(jīng)被反反復(fù)復(fù)演練了無數(shù)遍，不知不覺也在學(xué)生腦海中烙下一個深深的“印跡”，幾乎所有學(xué)生都會對這樣類似的數(shù)字特別敏感，并形成十分強烈的“湊整”效應(yīng)。

〖心理成因〗蘇聯(lián)生物學(xué)家巴甫洛夫認為，條件反射是有機體后天經(jīng)過學(xué)習(xí)獲得的一種反射，條件反射需要一個長期的建立過程。有機體在具有一定順序和強度的刺激物，多次重復(fù)作用下，大腦皮層就會以同樣的順序，形成鞏固的神經(jīng)聯(lián)系系統(tǒng)，這種神經(jīng)聯(lián)系系統(tǒng)一旦確立、形成，以后只要有刺激物再次出現(xiàn)，一系列的條件反射就會相繼出現(xiàn)。當(dāng)這種反射源再次出現(xiàn)時（即21.3+78.7=100），算式的整體運算順序，就會在一定程度上被學(xué)生弱化，甚至?xí)粚W(xué)生視而不見，因而將學(xué)生引到“溝里”。

〖方法對策〗造成以上錯誤其實是教師在平時教學(xué)中，無意識地過分強調(diào)“湊整”的結(jié)果。因此在教學(xué)中教師應(yīng)強化算式的整體運算順序，引導(dǎo)學(xué)生將錯例與“（21.3+78.7）-（21.3+78.7）”算式比較，自然就發(fā)現(xiàn)兩題之間存在差別，其區(qū)別是運算順序不同，這樣就能有效預(yù)防此類錯誤的頻發(fā)、再發(fā)。當(dāng)然也可以作適當(dāng)?shù)淖兪骄毩?xí)，如，“[15]×[57]÷[15]×[57]”與“（[15]×[57]）÷（[15]×[57]）”的對比。

三、“感知粗糙型”錯誤

【例3】“[14]與[25]的和去除[16]，結(jié)果是多少？”

〖錯因分析〗很多學(xué)生這樣列式“（[14]+[25]）÷[16]”，這是一種“感知粗糙型”錯誤，學(xué)生只關(guān)心到知識的整體部分，卻忽略了更重要的細節(jié)，從而導(dǎo)致錯誤。

〖心理成因〗心理學(xué)中所謂的感知，是指感覺和知覺的合稱，具體指人腦對客觀事物的直接反映。研究表明，當(dāng)我們在知覺一個熟悉的事物時，只要作為事物的主要特征或關(guān)鍵部分一出現(xiàn)，人腦就會根據(jù)以前的經(jīng)驗，知道它的其他特征或部分，并迅速對事物的整體作出反映和判斷。此時事物中的其他細節(jié)部分，則不易被察覺。學(xué)生的錯誤往往也就發(fā)生在這些被主觀忽略的細節(jié)處。錯例中學(xué)生讀完題后，首先映入眼簾的是“去除”二字，學(xué)生一下子就在心中有了想法，本題用除法做（即錯例所示），而忽視了“去除”與“除以”的不同，這類錯誤大多由于學(xué)生感知粗略、籠統(tǒng)的心理特征導(dǎo)致。

〖方法對策〗教師首先應(yīng)在學(xué)生容易發(fā)生錯誤的細節(jié)部分，適時提醒學(xué)生多加注意，必要時可以在出示上題前，先指導(dǎo)學(xué)生溫故“去除”與“除以”兩個概念的異同后，再放手讓學(xué)生練習(xí)，這樣效果會更佳。其次在授課中要對容易混淆的概念加以點撥，如“[35]”和“[35]千克”就是“率”和“量”的本質(zhì)區(qū)別。又如下面這道題：

信封中裝著一個三角形，只露出其中的一個角。如下圖：

問：你知道長方形信封內(nèi)藏著的是什么三角形嗎？

大部分學(xué)生都會認為這是一個銳角三角形，因為他們看到露出的那個角是銳角，所以想當(dāng)然地認為信封中裝的一定是銳角三角形。這顯然是對三角形的本質(zhì)特征掌握不牢，出現(xiàn)以點概面的感知錯誤。

因此教師要有意識地培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力，教學(xué)生具體地觀察，認真地審題，掌握審題的方法。

四、“注意分散型”錯誤

【例4】一根長1米，底面半徑2分米的圓柱形木料的體積是多少立方米？

〖錯因分析〗大多學(xué)生會錯誤列式為“3.14×22×1”，可以看出此時學(xué)生的注意力完全集中到了問題的解答上，對本題中的單位統(tǒng)一的問題卻沒有注意到，這類錯誤是典型的“注意分散型”錯誤。

〖心理成因〗心理學(xué)認為注意是心理活動對一定事物的指向和集中。實踐表明小學(xué)生的注意具有廣度小、深度淺、穩(wěn)定性不高，且持續(xù)時間短的特征，年齡越小注意品質(zhì)越差。人們常說的“沒有注意”是特指人對當(dāng)前應(yīng)當(dāng)注意的事物沒有注意，而去注意其他事物或事物的其他特征，也稱“注意分散”。正是這種“注意分散”導(dǎo)致一些本該注意的對象沒有被意識到或意識比較模糊，使之處于注意的邊緣，偏離注意的范圍。錯例中學(xué)生只想到“圓柱的體積=底面積×高”的求解方法上，注意力全在解題思路上，卻將統(tǒng)一單位的細節(jié)完全拋之腦后。顯然這是學(xué)生在注意分配上不能兼顧，因而顧此失彼。再有，許多同學(xué)在豎式算完后忘了寫橫式中的得數(shù)，解方程時經(jīng)常漏寫“解”，填空題里只填數(shù)字忘帶單位等，都是學(xué)生在注意分配上的缺陷造成的丟三落四的錯誤現(xiàn)象。

〖方法對策〗在教學(xué)實踐中，教師應(yīng)在兒童入學(xué)后，從小培養(yǎng)學(xué)生養(yǎng)成良好的注意習(xí)慣，特別在解題時，應(yīng)經(jīng)常提醒：“小心，可別掉入‘陷阱哦！”或用類似的警示語提醒。亦可讓學(xué)生在讀題時，將題中需要特別引起關(guān)注的字或詞，以重音的方式讀出來，或在考試、練習(xí)時提醒學(xué)生在這些關(guān)鍵的字眼（如“無蓋”“圓錐”“四周和頂篷”）下方打上“△”的符號以示提醒，這樣可以有效降低此類錯誤。

五、“記憶偏差型”錯誤

【例5】[15]公頃=? ? ?平方米

〖錯因分析〗錯例中“公頃”與“平方米”之間的進率比較特殊（1公頃=10000平方米），學(xué)生受1平方千米=100公頃、1平方米=100平方分米等相似面積單位進率換算的影響，會出現(xiàn)記憶“跑偏”現(xiàn)象，錯將“公頃”與“平方米”的進率也誤認為是100，因而出現(xiàn)錯誤。

這類問題還經(jīng)常出現(xiàn)在時間單位的換算中，比如“1.2時=（? ）分”，學(xué)生常常不假思索地就填上“120”。細問學(xué)生才恍然大悟，他們把進率60當(dāng)作進率100了。小學(xué)范圍內(nèi)的單位換算，主要有長度、面積、體積（容積）、重量、時間、貨幣幾類，其中大多相鄰兩個單位之間的進率主要以10，100，1000為主，唯有相鄰兩個時間單位的進率較特殊，學(xué)生往往容易在記憶過程中受影響，從而出現(xiàn)記憶模糊。

〖心理成因〗記憶指過去經(jīng)歷過的事物在人腦中的反映，人的記憶通過表象的形式保持于大腦，并在需要時再現(xiàn)。心理學(xué)認為，小學(xué)生的記憶多以具體、直觀、形象為主，年齡越小這種特點越明顯，因此抽象的公式和概念的記憶對學(xué)生而言困難較大。還有，小學(xué)生的記憶常受相似事物的干擾而出現(xiàn)記憶偏差。

〖方法對策〗在教學(xué)中，教師應(yīng)盡可能結(jié)合圖片、模型尤其是多媒體教學(xué)手段來輔助教學(xué)，提供給學(xué)生直觀、具體的形象畫面，這樣才能讓學(xué)生記憶保持時間長，遺忘速度慢。教師平時可以有針對性地對學(xué)生進行記憶方面的強化訓(xùn)練（必要的機械識記的訓(xùn)練也是需要的），比如，分數(shù)、小數(shù)、百分數(shù)互化（即分母為2，3，4，5，6，8，10的最簡分數(shù)轉(zhuǎn)化為對應(yīng)的小數(shù)與百分數(shù)），長方體、正方體、圓柱體、圓錐的表面積與體積公式的識記，不同類型單位間的進率表的熟記（尤以時間單位的換算出錯概率較高），以及一些特殊值的背誦等，這些對學(xué)生的解題都十分有幫助。

學(xué)生出現(xiàn)的各類數(shù)學(xué)錯誤，都有其深層的內(nèi)在原因，除與個體心理活動有關(guān)外，還伴有概念混淆、算理不明等知識層面的原因，更與學(xué)生缺乏良好的作業(yè)習(xí)慣、聽課習(xí)慣、檢查反思習(xí)慣密不可分。教師要有針對性地進行個別點撥輔導(dǎo)，因人施教，也可以讓學(xué)生每人準備一本“錯題集”，用于收錄自己平時練習(xí)、作業(yè)、考試中的錯題，從小養(yǎng)成常檢驗、常反思的好習(xí)慣。教師只有做到事無巨細耐心說教，才能在幫助學(xué)生糾錯方面取得明顯的成效。

總之，學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中出現(xiàn)的各種錯誤均屬正常，同一個錯誤往往會交雜一個或多個原因造成。教師對待學(xué)生的錯誤切不可藏著、掖著或只是輕描淡寫一筆帶過，更不能對錯誤學(xué)生大加申斥，雷霆大怒。而是要善于換位思考，及時發(fā)現(xiàn)學(xué)生產(chǎn)生錯誤的共性特點，分析深層原因，排除影響學(xué)生解題錯誤的心理障礙，帶領(lǐng)學(xué)生參與錯誤發(fā)現(xiàn)、錯誤討論、錯誤糾正的全過程。教師只有問好“診”、把準“脈”、洞見學(xué)生錯誤的深層癥結(jié)，方可對癥下藥辨證施治，才能真正防患于未然，幫助學(xué)生盡快躍過數(shù)學(xué)錯誤頻發(fā)這道“坎”。

心理學(xué)研究表明，學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是由思維、感知、注意、記憶等基本心理活動共同參與完成的結(jié)果，教師只有理解了學(xué)生是如何學(xué)數(shù)學(xué)的，他們在學(xué)習(xí)過程中會出現(xiàn)，甚至反復(fù)出現(xiàn)這些錯誤，以及如何有效快捷地去診斷學(xué)生的這些錯誤后面更深層的心理原因，才能進行更有效的輔導(dǎo)和補救教學(xué)，從根源上遏制或斬斷這種錯誤勢態(tài)不斷擴大之勢。

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注：本文系福建省教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃2019年度立項課題“基于信息化的交互式電子白板在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用研究”（立項批準號：FJJKXB19-727）階段性成果。

（責(zé)編 李 唐）